精品解析：山西太原市2026届高三下学期模拟考试(二) 数学试题

太原市2026年高三年级模拟考试（二） 数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名､考试编号填写在答题卡上. 3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知平面，直线满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则向量与夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（ ） A. 5或11 B. 7或13 C. 9或18 D. 12或21 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 物体在太阳光照射下影子的长度是随着太阳高度（相对于地面）的变化而变化.如图，在某斜坡面道路旁两点处（其中在斜坡路面底，在斜坡路面上），有两根长度均为10米且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下（阳光可视为平行光），处路灯杆的影子在水平路面上，长度为10米；处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为米.则该斜坡面与水平面的夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，则 10. 已知抛物线的焦点为点，过的直线与抛物线交于两点，点是线段的中点，过作轴的垂线，交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标大于等于1 B. 若，则直线的斜率为1 C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若有两个极值点，则实数的取值范围为 C. 当时，的值域为 D. 若存在，使得成立，则实数的最大值为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别是，点是其左､右顶点，点是双曲线的一条渐近线与圆的一个交点，若，则双曲线的离心率为__________. 14. 费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当的三个内角均小于时，则使得的点为的费马点；当有一个内角大于或等于时，则最大内角的顶点为的费马点.已知中，分别为内角的对边，且，点为内（含边界）一个动点，则的最小值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的周期为，且. （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 16. 已知椭圆的离心率为，点分别为的左､右焦点，过点的直线交于点，且的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）设和的面积分别为，且，求直线的方程. 17. 如图，三棱锥中，. （1）若，求三棱锥的体积； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的取值范围. 18. 已知函数. （1）若在处的切线经过点，求的值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 19. 如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. （1）求； （2）用表示； （3）某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市2026年高三年级模拟考试（二） 数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名､考试编号填写在答题卡上. 3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合补集交集运算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，即， 则. 3. 已知平面，直线满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以当时，成立，即充分性成立； 当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知，则向量与夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 将代入化简可得， 所以， 所以向量与夹角为. 5. 已知随机变量，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，逐项判断即可. 【详解】因为， 所以由正态分布的对称性知， 所以，不能判断，故A错误； 由知，，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为大小未知，所以不能判断，故D错误. 6. 已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（ ） A. 5或11 B. 7或13 C. 9或18 D. 12或21 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，，，， ，即，化简可得， 因为，即， 代入可得， 化简可得， 解得或， ， 代入可得或. 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分、、、讨论，进而得到，则，得到，进而得到即可求解． 【详解】，且定义域为， 又的解为或或，且， 当时，易知时，，不符合题意； 当时，易知时，，不符合题意； 当时，易知或时，存在，不符合题意； 当，如图，函数与的图像， ，即， 解得， ，当且仅当时取等， 则的最小值为． 8. 物体在太阳光照射下影子的长度是随着太阳高度（相对于地面）的变化而变化.如图，在某斜坡面道路旁两点处（其中在斜坡路面底，在斜坡路面上），有两根长度均为10米且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下（阳光可视为平行光），处路灯杆的影子在水平路面上，长度为10米；处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为米.则该斜坡面与水平面的夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据在处的路灯杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的路灯杆算出斜面角的正弦值. 【详解】 水平路面，是照射过处路灯杆最高点的光线，光线交斜面于点， 如图可知，在处，，解得，即太阳光与水平面的夹角为， 所以，，， 在中，根据正弦定理可得， 代入可得，解得，即， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据与的关系可得，结合等比数列通项公式和题意求得，，再依次判断各选项即可. 【详解】当时，，解得， 当时，由题意可得， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，是等比数列，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，若，则，即， 而当时，，故D错误. 10. 已知抛物线的焦点为点，过的直线与抛物线交于两点，点是线段的中点，过作轴的垂线，交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标大于等于1 B. 若，则直线的斜率为1 C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，联立得到，进而得到即可判断A；由弦长公式，解出即可判断B；由得到，结合求出即可判断C；根据题意得到，，结合求出即可判断D． 【详解】解：焦点， 由题可知直线斜率不为0，设，， ，， ， 线段的中点， 又，所以点的横坐标大于等于1，A正确； ， 解得，则直线的斜率，B错误； ，，， ，则，解得， ，解得， 则直线的斜率，C正确； ，则，， ，又， ，即，解得（负值舍去）， ，直线的斜率，D正确． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若有两个极值点，则实数的取值范围为 C. 当时，的值域为 D. 若存在，使得成立，则实数的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可； B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可； C选项，直接利用导数分析的值域即可； D选项，令，设出的根，保证即可. 【详解】 ，求导得 A选项，当时，，， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 即的最小值为，所以A选项错误； B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解， 令，则，在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，；且时，，， 所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确； C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增， 当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确； D选项，存在，使得，即存在，使得， 令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则， 不妨设为的根，即 ， 当，单调递减，当，单调递增， 则在处取得最小值， ， 需要满足存在，使得成立， 令，则，其中， 令，解得，所以在上单调递减，在单调递增， 则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确. 【点睛】本题需要构造不同的函数，利用新函数的导数去研究原函数的单调性和取值范围，构造函数的时候需要注意自变量的取值范围. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 【答案】10 【解析】 【详解】解：根据题意男、女运动员的比例为， 所抽样本中男运动员的人数为16， 则该样本中女运动员的人数为． 13. 已知双曲线的左､右焦点分别是，点是其左､右顶点，点是双曲线的一条渐近线与圆的一个交点，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨取在渐近线上，且在第一象限，渐近线倾斜角为，求出点的坐标，进而得到，即，再求离心率即可． 【详解】解：不妨取在渐近线上，且在第一象限，渐近线倾斜角为， 则， 又点在圆，即上， 点的横坐标，纵坐标， ，又， ， ， ，即，， 则双曲线的离心率． 14. 费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当的三个内角均小于时，则使得的点为的费马点；当有一个内角大于或等于时，则最大内角的顶点为的费马点.已知中，分别为内角的对边，且，点为内（含边界）一个动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理得 ，化简得：， 因，则得，则，故 由余弦定理，d，则， 由于，，，，所以是以为顶点的直角三角形，且，. 如图所示，设是内的一点，将沿点逆时针旋转得， 由题意可得：，，且，， 所以是等边三角形，则， 当、、、四点共线时，取得最小值为， 因，，且，则， 故的最小值为. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的周期为，且. （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期，可得，结合求出，再利用整体法求正弦型函数单调区间即可； （2）由平移变换得到，再利用恒等变形化简求出值域即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ， 由得， 的单调递增区间为； 【小问2详解】 由题意得， 的值域为. 16. 已知椭圆的离心率为，点分别为的左､右焦点，过点的直线交于点，且的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）设和的面积分别为，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知椭圆离心率，三角形周长，以及建立等式，求解即可； （2）联立方程组，利用韦达定理，距离公式以及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示： 因为椭圆的离心率为，所以，① 又的周长为8，所以，② 且，③ 联立①②③解得：，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图所示： 由（1）得，设直线的方程为， 联立消去得：， 由， 设，则， 所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 17. 如图，三棱锥中，. （1）若，求三棱锥的体积； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，结合面积公式求三棱锥的体积； （2）建系并标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角，进而分析其取值范围. 【小问1详解】 因为， 则，可得， 且，即，则， 又因为，即，则， 且，平面，则平面， 又因为，且，则， 可得的面积为， 所以三棱锥的体积. 【小问2详解】 过点作，垂足为， 以为原点，所在直线分别为轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 可得， 过点作平面，垂足为，由直线与平面所成的角为， 可得， 设为在平面内射线从轴的非负半轴开始， 绕点按逆时针方向旋转至时的旋转角， 则， 可得，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，可得， 由题意可知：是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 令，则， 可得在上单调递增，且，， 则，即， 又因为，则， 所以平面与平面夹角的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若在处的切线经过点，求的值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 【答案】（1） （2） 当或时，有一个零点，当时，有三个不同零点. （3）1 【解析】 【分析】（1）根据导数求切线的斜率和切线的方程来进行参数的求解； （2）通过构建辅助函数，研究辅助函数的单调性，从而判断原函数的单调性，然后根据单调性和极值点来判断函数零点的分布和数量； （3）在已知零点个数和分布的情况下，结合第二问得到的结论，通过发现零点间的关系来进行解答. 【小问1详解】 ，求导可得， 当时，，， 所以在处的切线方程为，即， 因为该切线过点，代入可得，解得. 【小问2详解】 易知，， 令， 判别式，解得，分类讨论， 当时，，，在上单调递减，所以有唯一零点， 当时，，，在上单调递增，所以有唯一零点， 当时，令，则或， 当，，，在和上单调递增， 当，，，在上单调递减， 因为，所以在内的零点是； 因为在上单调递减，所以， 当时，，在内有一个零点， 当时，，在内有一个零点， 综上所述，当或时，有一个零点，当时，有三个不同零点. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有三个不同零点， 即在内的零点是，在和内各有一个零点， 设两个零点分别为，， 代入可得，， ，且， 因为在内有一个零点，所以， 所以的三个不同零点的乘积为. 19. 如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. （1）求； （2）用表示； （3）某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先得出，然后再根据全概率公式即可求解； （2）首先根据全概率公式求出，，三个式子联立结合即可求解； （3）根据题目提示构造可得的递推公式，然后求出方程的复数根即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ， ， ， . 【小问2详解】 由题意可得， ，且， ， ， 又 ， ， . 【小问3详解】 由（2）得，设， 则，且， 由方程的根为， 可得， 则， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $