09 阶段小测(三)(范围：21.3)（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

阶段小测（三） （范围：21.3时间：40分钟满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD 长的最小值是 () 是BC边上的中线，且AD=5,则BC的 A.6 B.2√3 C.2√6D.3√3 长是 ( D A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 D (第6题图) (第8题图) (第1题图) (第3题图) 二、填空题（每小题5分，共20分） 2.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( 7.已知菱形的边长为5，一条对角线的长为 A.对角线相等且互相平分 8,则菱形的面积为 B.对角线相等且互相垂直平分 8.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DF∥ C.对角线互相平分 AB,DE∥AC,当∠A的度数为 D.四条边相等、四个角相等 时，四边形AEDF是矩形， 3.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交9.如图，菱形ABCD的顶点A恰好是矩形 于点O,E,F分别是AO,AD的中点.若 BCEF的对角线的交点.当菱形ABCD的 EF=3,则AC的长是 周长为4时，矩形BCEF的面积为 A.3 B.6 C.8 D.12 4.如图，一块直角三角尺放在一张菱形纸片 上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度 数是 ( ) B A.45° B.50° C.60° D.75 (第9题图) (第10题图) 60° 10如图，在边长为4的正方形ABCD中， AC为对角线，AE平分∠BAC,BE⊥AE 于点E,交AC于点G,F为BC的中点， (第4题图) (第5题图) 连接EF,则EF的长为 5.如图，在△ABC中，DE∥AC,DF∥AB, 三、解答题（共50分） 下列四个判断不正确的是 11.(12分)如图，在□ABCD中，对角线AC山 A.四边形AEDF是平行四边形 BC,延长BC至点E,使CE=BC,连接 B.若∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形 DE.求证：四边形ACED是矩形. C.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是 矩形 D.若AD⊥BC,且AB=AC,则四边形 AEDF是菱形 6.如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD= 6√3，E是BC边的中点，P,M分别是AC, ·17. 12.(12分)如图，某兴趣小组需要在正方形 (2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的 纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部 周长 分)，点E在对角线BD上 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形 组成，请写出△ABE≌△CBE的证 明过程； (2)若裁剪过程中满足DE=AD,求“机 翼角”∠BAE的度数. 14.(14分)如图，菱形ABCD的对角线AC 与BD相交于点O,已知∠DAC= ∠DBC. (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)E是OB上一点，DH⊥CE,垂足为 H,DH与OC相交于点F,求证： OE-OF. 13.(12分)如图，四边形ABCD是矩形，AC 是矩形的一条对角线，EF垂直平分AC, 分别交AD,AC,BC于点F,O,E,连接 CF,AE. (1)求证：四边形AECF是菱形； ·18-7.A8.1509.2010.13 11.解：AD⊥AC,AC=20,AD=15,∴.CD=√/AC+AD=25..BD=BC-CD=7. 12.解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=17m,AC=8m,.AB=√BC-AC= 15m.,CD=10m,∴AD=√CD-AC=6m..BD=AB-AD=9m.答：船向岸边 移动了9m. 13.解：(1)AB⊥BC.理由如下：在△ABC中，，AB2+BC=722+962=14400,AC= 1202=14400,.AB2+BC=AC..△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°..AB⊥ BC.(2):AB∥CD,∴.∠BCD=∠ABC=90°.在Rt△BCD中，BC=96m,CD=40m, 由勾股定理，得BD=√BC+CD=104m..AB+BD=72+104=176(m),AC+CD =120+40=160(m)..176>160,..路线A一C-D更短. 14.解：(1)连接BD.AB=AD=15m,∠A=60°，△ABD为等边三角形..BD= AB=AD=15m,且∠ABD=60°.：∠ABC=150°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°. 在Rt△BCD中，BC=20m,BD=15m,.CD=√BC+BD=25m.(2)S四边形ABcD= 5Aam+San=9AB+2BC,BD=9×152+2×20X15=2婴55+150(m2). 4 15.解：(1)4(2)由题意，得BP=2tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB=90时，点 P与点C重合，则BP=BC=4cm,∴.2t=4,解得t=2.②当∠BAP=90°时，如图，CP =BP-BC=(2t-4)cm,AC=3cm.在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2=32+(2t- 4)2,在Rt△BAP中，AP2=BP2-AB2=(2)2-52,.32+(2t-4)2=(2)2-52,解得t -要综上所述，当△ABP为直角三角形时，d的值为2或复 B 几何专练（三）与四边形、多边形有关的内外角计算问题 1.证明：∠ABE=∠D,∠ABE+∠ABC=180°，.∠ABC+∠D=180°.又∠A+ ∠ABC+∠C+∠D=360°，∴.∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D)=180°. 2.解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得180°(n一2)一360°=540°，解得n=7.7一 3=4(条).∴从这个多边形的一个顶点可以引4条对角线. 3.解：设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x°，∠4=4x°.根据题意，得x十2x十3x十4x=360, 解得x=36..∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°，∠4=144°.∴.∠BAD=180°-∠1= 144°，∠ABC=180°-∠2=108°，∠BCD=180°-∠3=72°，∠ADC=180°-∠4=36°. ∴.∠BAD:∠ABC:∠BCD:∠ADC=4:3:2:1. 4.解：1520°=8×180°+80°=(10一2)×180°+80°，∴.该多边形的边数为10，多加的 外角的度数为80°. 5.解：五边形ABCDE是正五边形，∠BAE=∠B=5-2)X180°=1O8.由折叠的 5 性质，得∠BAB'=∠BAE=54,∠AB'F=∠B=108,∠BAF=合∠BAB=27, .∠AFB=180°-∠B'AF-∠AB'F=45°. 6.解：根据题意，得∠BEF=(8-2)×180°÷8=135°，∠CEG=(6-2)×180°÷6= 120°，∠EBC=360°÷8=45°，∠BCE=360°÷6=60°.在△BCE中，∠BEC=180° ∠EBC-∠BCE=75°..∴.∠FEG=360°-∠BEF-∠BEC-∠CEG=30°. 7.解：，∠A+∠C=∠GHF,∠B+∠D=∠HGE,∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=∠GHF+∠HGE+∠E+∠F=360°. 8.解：(1)∠1十∠2=40°+∠a.理由如下：由题意知∠A十∠B十∠BFP+∠EPF十 ∠AEP=∠A+∠B+(180°-∠2)+∠a+(180°-∠1)=(5-2)×180°.∠A=100°， ∠B=120°，∴.∠1+∠2=40°+∠a.(2)∠1-∠2=∠a+40°.理由如下：设PE,BC的 交点为H.由题意知∠BHE=∠2+∠a,:'∠A十∠B+∠BHE+∠AEH=360°， .100°+120°+∠2+∠a+(180°-∠1)=360°，即∠1-∠2=∠a+40°. 阶段小测（二） 1.B2.C3.B4.B5.B6.C7.68.49.24°10.5 11.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD.,EC∥BD,∴四边形 BECD是平行四边形..BE=CD..AB=BE. 12.证明：AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.，BF=DE,.BF-EF= DE-EF,即BE=DF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， AB=CD:Rt△ABE≌ BE=DF, 43 Rt△CDF(HL).·∠ABE=∠CDF.∴.AB∥CD..AB=CD,.四边形ABCD是平行 四边形. 13.解：AD∥BC,DE∥AB,∴.四边形ABED是平行四边形..BE=AD=5..CE= BC-BE=3.:AD/∥BC,∴S△AE:SAE=BE:CE=5:3.∴.SAAE=号SACE=10. 14.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.:E,F分别是OB, OD的中点，∴OE=号OB,OF=号OD.“OE=OR.四边形AECF是平行四边形. (2)解：AB1AC,∠BAC=90.∴AC=VBC-AB=8.∴0A=号AC=4.在 Rt△AOB中，由勾股定理得OB=√AB十OA=2√13..BD=2OB=4√13. 15.(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.∴∠GAE= ∠HCR.:G,H分别是AB,CD的中点，∴AG=号AB,CH=合CD.AG=CH. :AE=CF,∴△AGE≌△CHF(SAS).∴.GE=HF,∠AEG=∠CFH.∠GEF= ∠HFE..GE∥HF..四边形EGFH是平行四边形.(2)解：，四边形ABCD是平行 四边形，∴OA=OC,OB=OD=号BD=9.“四边形EGFH是平行四边形，OE= 2 OF.AE+CF=EF,AE=CF,.2AE=EF=2OE..AE=OE.G是AB的中点， ∴EG是△AB0的中位线.∴EG=20B=号 几何专练（四）与矩形、菱形的性质和判定有关的证明或计算 1.解：，E,F分别是AB,AD的中点，∴.EF是△ABD的中位线..BD=2EF=4.,四 边形ABCD是菱形，.AB=AD=BC=CD.又.∠A=60°，∴.△ABD是等边三角形. .AB=BD=4..菱形ABCD的周长为4AB=16. 2.证明：.四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AD∥BC..∠DAF=∠BCE..BE⊥ AC,DF⊥AC,∴.∠AFD=∠CEB=90°.·△AFD≌△CEB(AAS).∴.AF=CE. 3.解：△ABO是等边三角形，.OA=OB=AB=6.,四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD.∴.OA=OC=OB=OD..AC=BD=12,四边形ABCD是矩形. .∠ABC=90°..BC=√AC-AB=6√3. 4.(1)证明：.四边形ABCD是菱形，∴·AC⊥BD.∴.∠COD=90°..CE∥OD,DE∥OC, .四边形OCED是平行四边形.又∠COD=90°，.四边形OCED是矩形.(2)解：4 5.(1)解：AP=ABAQ平分∠PAB(2)证明：由作图可知AP=AB=PC,AQ平分 ∠PAB,∠PAC=∠PCA=∠CAB..PC∥AB.·'PC=AB,.四边形ABCP是平行 四边形.，AP=AB,.四边形ABCP是菱形. 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,OD=OB..∠OED ∠OED=∠OFB, ∠OFB.在△ODE和△OBF中，∠DOE=∠BOF,.△ODE≌△OBF(AAS).(2)解： OD=OB, 由(1)，得△ODE≌△OBF,∴.DE=BF.,DE∥BF,∴.四边形BEDF是平行四边形. EF⊥BD,'.四边形BEDF是菱形..DF=BF=BE=DE=l5cm..四边形BEDF 的周长为60cm. 7.(1)证明：.CE平分∠ACB,.∠ACE=∠ECB..MN∥BC,.∠ECB=∠OEC. ∴∠ACE=∠OEC..OE=OC.同理可得OC=OF.∴OE=OF.(2)解：，CE,CF分别 平分∠ACB和∠ACD,.∠ACE=号∠ACB,∠ACP=号∠ACD.∠ACE+∠ACP =号（∠ACB+∠ACD=90.:EF=VCE+CF-13.由(1）知OE=OP,0为EF 的中点.0C=之EF=65.(3)解：当0为AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由 如下：当O为AC的中点时，OA=OC.由(1)可知，OC=OE=OF,∴.OA=OC=OE= OF..四边形AECF为矩形. 阶段小测（三） 1.D2.C3.D4.C5.C6.D7.248.90°9.W310.22-2 11.证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.CE=BC,.AD= CE.四边形ACED是平行四边形.：AC⊥BC,∴.∠ACE=90°..四边形ACED是 矩形. 12.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，.AB=CB,∠ABD=∠CBD.又BE=BE, .△ABE≌△CBE(SAS).(2)解：：四边形ABCD是正方形，∠BAD=90°，∠ADB -44 =45.DE=AD,.∠DAE=∠DEA=2(180°-∠ADB)=67.5R.·∠BAE= ∠BAD-∠DAE=22.5°. 13.(1)证明：EF垂直平分AC,∴.AF=CF,AE=CE,∠AOF=∠COE=90°，OA= OC.四边形ABCD是矩形，.AD∥BC.∴∠OAF=∠OCE.在△OAF和△OCE中， ∠AOF=∠COE, OA=OC, .△OAF≌△OCE(ASA).∴.AF=CE..AF=CF=CE=AE. ∠OAF=∠OCE, .四边形AECF是菱形.(2)解：设AE=a,则AF=CF=CE=AE=a,∴.BE=BC-CE =8一a.四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2= AB2+BE,即a2=42+(8-a)2,解得a=5.∴菱形AECF的周长为5×4=20. 14.证明：(1)：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,∠BAD=2∠DAC,∠ABC= 2∠DBC..∠BAD+∠ABC=180°.，∠DAC=∠DBC,.∠BAD=∠ABC=90. .四边形ABCD是正方形.(2)：四边形ABCD是正方形，.∠COB=∠DOC=90°， CO=DO.,DH⊥CE,∴∠DHE=90°.∠CFH=∠DFO,.∠ECO=∠FDO.在 f∠ECO=∠FDO, △ECO和△FDO中，CO=DO, '.△ECO≌△FDO(ASA)..OE=OF. ∠COE-∠DOF, 易错章测（三） 1.A2.D3.C 4.B【易错点拨】无图时，题干没有明确边BC被分成的两部分的情况，需要分类讨论. 5.C 6.A【易错点拨】连接AC,易证四边形AECF是平行四边形，弄清平行四边形变成矩 形、菱形、正方形时，对角线需满足的情况是解题的关键。 7.70°8.20√2 9.12【快速解小题技巧】筝形（对角线互相垂直的四边形）的内接中点四边形是矩形， 矩形的面积等于筝形的两条对角线乘积的.【延伸易错点】对角线互相垂直的四边形 不一定是菱形；对角线相等的四边形不一定是矩形，可能是等腰梯形. 10.①②④ 11.解：(1)多边形的每一个内角都相等，.这个多边形的每一个外角都相等.设这个 多边形的每一个外角的度数为x,则每一个内角的度数为5x.x十5x=180°，解得x= 30°.∴这个多边形的边数为360°÷30°=12.(2)这个多边形的内角和为(12-2)×180 =1800°. 12.解：(1)四边形ADCE为菱形.证明如下：，AE∥CD,CE∥AB,∴.四边形ADCE为 平行四边形.：∠ACB=90°，D为AB的中点，.CD=AD..四边形ADCE为菱形. (2)45° 13.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.OB=OD.∴O是BD的中点.，DH⊥AB, ∠DHB=90.∴OH=2BD=OD.∠OHD=∠ODH.(2)解：四边形ABCD是 菱形，∴AB=BC=CD=AD,0D=号BD=3,AC=20C=8,BD1AC.CD= √OC+OD=5.菱形ABCD的周长为4CD=20,面积为2AC·BD=24. 14.解：(1)小明的说法是正确的.理由如下：，四边形ABCD是矩形，∴.AB∥CD.,CG ∥AF,∴.四边形AFCG是平行四边形.AB∥CD,∴.∠FCA=∠GAC.由折叠的性质， 得∠GAC=∠FAC,∴∠FCA=∠FAC.∴.FC=FA.∴.四边形AFCG是菱形..小明 的说法是正确的.(2)，四边形ABCD是矩形，.∠DCB=90°.∴∠BCE=∠FCE+ ∠DCB=130.由折叠的性质，得∠ACB=∠ACE=合∠BCE=65 易错章测（四） 1.B 2.C【易错点拨】π是一个常数，不是变量. 3.C4.A 5.C【易错点拨】无法正确判断点P在不同的阶段与点O之间的距离，OP是先变长， 然后不变，最后变短 6.D7.S和a8.799.足球守门员踢出去的球的高度与时间的关系（答案不唯一） 10.①②③ 11.解：(1)点A表示当温度为4℃时，水的密度为1000kg/m3.(2)水的密度ρ随温度t -45