20.1 勾股定理及其应用&20.2 勾股定理的逆定理及其应用（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 √知识梳理 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 针对训练 1.已知直角三角形的两条直角边长分别为 5.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠ACB= 5,12,则斜边长为 ( ) 90°，CD=12,AD=16,BC=15,求AB A.13 B.14 C.15 D.16 的长 2.如图，三个正方形围成一个直角三角形，其 中两个正方形的面积分别是3和7，则字母 A所代表的正方形的面积是 A.2 B.10 C.√/10 D.4 03x 6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了 (第2题图) (第3题图) 勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图， 3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形 点.若点P的坐标为(3,5)，则OP的长 围成的一个大正方形，中空的部分是一个 为 小正方形，用它可以证明勾股定理.请写 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别 出证明过程.（提示：利用大正方形的面积 是∠A,∠B,∠C的对应边. 的两种不同求法列出等式) (1)若a=16,b=12,求c的值； (2)若c=41,b=9,求a的值， 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 √针对训练 1.如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在 北 竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁的距 3 dm 离为3m,则该竹竿的顶端A离地面的 dm 12 dm 竖直高度为 ) (第4题图) (第5题图) A.2 m B.3 m 5.如图，一个长方体木箱的长、宽、高分别 C.4 m D.√34m 为12dm,4dm,3dm,则能放入此木箱 感应器A 中的木棒最长为 dm. 4 60m B 6.如图，一只小鸟旋停在空中点A处，点A 80m 到地面的高度AB=20m(AB⊥BC),点 A到地面点C处(B,C两点处于同一水 B D B (第1题图)（第2题图） (第3题图) 平面)的距离AC=25m.若小鸟竖直下 2.一个长方形水泥操场的示意图如图所 降12m到达点D处（点D在线段AB 示，若某同学要从点A走到点C,则至少 上)，求此时小鸟到地面点C处的距离 要走 ( CD. A.140m B.120m C.100m D.90m 3.如图，某自动感应门的正上方装着一个 感应器A,离地面的距离AB=2m,当人 进入感应范围内，感应门就会自动打开 若一名身高1.5m的学生CD刚走到离 门间距BC=1.2m的地方时，感应门自 动打开，则该感应器的感应距离AD为 ( ) A.1.2m B.1.3m C.1.5m D.2 m 4.如图，A,B两艘船同时从港口O出发， 船A以15km/h的速度向东航行，船B 以10km/h的速度向北航行，它们离开 港口2h后相距 km. ·8· 第3课时利用勾股定理作图与计算 √针对训练 1.如图，点A表示的实数是 )6.如图，已知△ABM,MN是高.若AM=17, A.√3 B.√5 C.-√3 D.-√5 AN=15,BM=12,求△ABM的面积. -4-3 T-2-1 01 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在边长为1的正方形网格中，四边 形的顶点A,B,C,D都在格点上，则下 列线段的长度为√13的是 ( ) A.AB B.BC C.CD D.AD 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=16, AD是高，则△ABC的面积是 ( 7.如图，在边长为1的正方形网格中，三角 A.24 B.48 C.60 D.96 形的顶点A,B,C均在格点上， S (第3题图) (第4题图) (1)求△ABC的面积； 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是 (2)求△ABC的周长； 高，分别以AC,BC,AD,BD为边向外作 (3)求AB边上的高. 正方形，则S1+S2 S3+S4.（填 “>”“<”或“=”) 5.在如图所示的数轴上作出表示一√10 的点 43201234 9 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 √针对训练 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形4.如图，在3×3的正方形网格中，每个小 的是 ( 正方形的边长都为1，△ABC的顶点均 A.2,3,4 B.3,4,6 在网格的格点（网格线的交点）上， C.4,6,7 D.5,12,13 △ABC是直角三角形吗？请说明理由. 2.下列各组数为勾股数的是 ( A.√3,4，W5 B.9,12,15 C.1,W2,W3 D.2,3,4 3.若三角形的三边长a,b,c满足(a十b)2 c2=2ab,则此三角形为 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 第2课时 勾股定理逆定理的应用 针对训练 1.埃及人曾经用如图所示的方法画直角，2.如图，OA=6,OB=8,AB=10,点A在 把一根长绳打上等距离的13个结，然后 点O北偏西50°方向，则点B在点O 以3个结间距、4个结间距、5个结间距 ( 的长度为边长，用木桩钉成一个三角形， A.北偏东40°方向 其中一个角便是直角，这样做的数学依 B.北偏东50°方向 据是 C.南偏东40°方向 D.南偏东50°方向 3.如图，某农场有一块菜地，现测得AB= (1)(13) .(12 12 m,BC=13 m,CD=4 m,AD=3 m, (2) (11) (3) (10) 北 ∠D=90°，则这块菜地的面积是 m2. (9) 468) O 东 (第1题图) (第2题图) ·10·针对训练 1.C2.C3.A4.5(答案不唯一)5.9√3 6.解：(1)原式=-√2.(2)原式=4√3+12√3=163.(3)原式=25-5+√5-√3= .(0原式=26+95-26-2 9 7.解：由题意，得正方形纸片A的边长为√I8=3√2(cm),正方形纸片B的边长为√48 =4√3(cm),∴.原长方形纸片的长为(3√2+4√3)cm,宽为43cm..原长方形纸片的 周长为2×(3√2+4√3+4√3)=6√2+16√5(cm). 第2课时二次根式的混合运算 针对训练 1.D2.C3.(1)-1(2)15+6√64.3 5.解：(1)原式=(32-√②)×2厄=2V2×2-8.(2)原式=23-5-5=2y 3 (3)原式=35_ 万1V12之号=3-6=-3.(40原式=(9=2)-(3+2②=7-3-22 =4-2√2. 6.解：：m=√5+1，n=√5-1，∴.m+n=√5+1+√5-1=2√5，mn=(W5+1)×(W5-1) =4.(1)nm2+mn2=mn(m+n)=4×2√5=8√5.(2)m2+mn+n2=(m+n)2-mn= (2√5)2-4=16. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 知识梳理 a2+b2=c2 针对训练 1.A2.D3.W34 4.解：∠C=90°，.a2+b=c2.(1),a=16,b=12,∴c=√a+b=20.(2)c=41, b=9,∴.a=√/c2-6=40. 5.解：在Rt△ADC中，AD=16,CD=12,由勾股定理，得AC=√AD+CD=20.在 Rt△ABC中，BC=15,由勾股定理，得AB=√AC十BC=25. 6.证明：SE厘=2，S大是=4S三E十SE责E=4×分b十(b-a),c2=4X 2b+(6-a)2.化简，得a2+=c2. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 针对训练 1.C2.C3.B4.10135.13 6.解：在Rt△ABC中，AB=20m,AC=25m,由勾股定理，得BC=√AC-AB2= 15m.,BD=AB-AD=20-12=8(m),.在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD= √BD+BC=17m.∴.此时小鸟到地面点C处的距离CD为17m. 第3课时利用勾股定理作图与计算 针对训练 1.D2.D3.B4.> 5.解：如图，点A即为所求. -43-2-101234 6.解：：MN是△ABM的高，∴.∠N=90°.在Rt△AMN中，MN=√AM-AN=8. 在Rt△BMN中，BN=√BM-MNz=4V5.∴.AB=AN-BN=15-4V5.∴.S△ABM= 合AB·MN=号×15-4X8=60-165. 7.解：()SAc=号×3X1=多.(2)由图可得，BC=3,AC=V+T-,AB √2+4=√17，∴.C△A8c=BC+AC+AB=3+√2+√17.(3)设AB边上的高为h. 一 34 SAABC= 合ABA=是A-3图，即AB边上的离为3 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 针对训练 1.D2.B3.B 4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：由图可知，AC=12+12=2,AB2=22+22=8, BC2=12+32=10,∴.AC+AB2=BC.∴.△ABC是直角三角形. 第2课时勾股定理逆定理的应用 针对训练 1.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b=c2,那么这个三角形是直角三角形2.A 3.24 第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 针对训练 1.B2.∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA∠FAD,∠GBC,∠DCE,∠CDE 3.四边形具有不稳定性4.90° 5.证明：设∠3的度数为x°，则∠1=2x°∠2=3x°，∠4=2.x°.根据题意，得∠1十∠2+ ∠3+∠4=360°，即2x+3.x十x+2x=360,解得x=45..∠1=∠4=90°..AB⊥AD, CD⊥AD..AB∥CD. 21.1.2多边形及其内角和 针对训练 1.D2.B3.C4.12 5.解：，五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，∴.x°+(x十30)°+60°+x°+(x-10)° =540°，解得x=115. 21.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 第1课时平行四边形及其性质(1) 知识梳理 ①分别平行②平行且相等，相等③互相平分 针对训练 1.B2.C3.B4.D5.96.(5,3) 7.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,OA=OC,AB=CD..∠OAE= ∠OAE=∠OCF, ∠OCF.在△AOE和△COF中，OA=OC, .△AOE≌△COF(ASA)..AE= ∠AOE=∠COF, CF...AB-AE-CD-CF..BE-DF. 第2课时平行四边形及其性质(2) 知识梳理 ①平行 针对训练 1.A2.D3.B4.35.66.8 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，.∠A=∠C.在△AEF和△CHG中， AF=CG, ∠A=∠C,.△AEF≌△CHG(SAS)..EF=HG AE=CH, 21.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1) 知识梳理 ①相等②相等③互相平分 针对训练 1.D2.D3.AB=CD(答案不唯一) 4.证明：AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠CDB=90°.∠A=∠C,.90°-∠A= 90°-∠C,即∠ADB=∠CBD.∴，∠ADB+∠CDB=∠CBD+∠ABD,即∠ADC= ∠CBA.∴.四边形ABCD是平行四边形. 5.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∴.∠B=∠D,AB=CD.在△ABE和 -35 f∠B=∠D, △CDF中，AB=CD,△ABE≌△CDF(ASA).(2)'△ABE≌△CDF,∴.AE= ∠1=∠2， CF,BE=DF.,四边形ABCD是平行四边形，∴.BC=AD.BC-BE=AD-DF,即 CE=AF.,.四边形AECF是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定(2) 知识梳理 相等 针对训练 1.C2.D3.50°4.25.是 6.证明：：BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE.DE∥AB,∠ABD= ∠BDE..∠DBE=∠BDE..BE=DE.BE=AF,∴.DE=AF.又.DE∥AF,∴.四 边形ADEF是平行四边形. 7.证明：(I)四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=CB,AD∥CB..∠DAE= ∠BCF.AF=CE,∴AF-EF=CE-EF.∴.AE=CF.∴△ADE≌△CBF(SAS). (2)N△ADE≌△CBF,DE=BF,∠AED=∠CFB.∴∠DEF=∠BFE.∴DE∥ BF.四边形DEBF是平行四边形. 21.2.3三角形的中位线 知识梳理 ①中点②平行于一半 针对训练 1.D2.D3.444.35.226.25° 7.解：：BD⊥CD,.∠BDC=90°，在Rt△BCD中，BD=4,CD=3,.BC= √BD+CD=5.:E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点EH=FG=BC, EF=GH=号AD.四边形EPGH的周长为EH+GH+PG+EF=AD+BC=7+5 =12. 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直②(1)直(2)相等③斜边的一半 针对训练 1.B2.C3.C4.A5.7 6.解：四边形ABCD是矩形，AC=BD,OA=2AC,OB=合BD.0A=OB.又 :∠AOB=56,∠OBA=∠OAB=令(180°-∠AOB)=62.:AELBD,∠BAE =90°-∠ABE=28°. 第2课时矩形的判定 知识梳理 ①直角②相等③三 针对训练 1.D2.D3.BF=DE(答案不唯一)4.85.10 6.(1)证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形.AC=2OA,BD= 2OD.OA=OD,∴AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：由(1)可知四边形 ABCD是矩形，∠BAD=90°.：OA=OD,∠AOD=60°，∴.△AOD是等边三角形. .OD=AD=5..BD=2OD=10.∴.AB=√BD-AD=5√3. 21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①邻边②(1)相等(2)互相垂直平分(3)轴对称对称轴③乘积的一半 针对训练 1.C2.C3.B4.C5.115° 6.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.BD⊥AC.CE⊥AC,.BD∥CE.(2)解：四 边形ABCD是菱形，∴AB∥CD,CD=AB=5.:BD∥CE,∴.四边形BECD是平行四 边形..四边形BECD的周长为2(CD+CE)=22. —36