21.1.1 四边形及其内角和-同步探究学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

同步探究学案 课题 21.1.1 四边形及其内角和 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1．理解四边形的定义，掌握四边形的内角和定理； 2．能通过分割法将四边形转化为三角形，推导内角和公式； 3．能运用四边形内角和定理进行简单计算与推理． 重点 掌握四边形内角和定理，并能运用定理进行简单的角度计算． 难点 理解将四边形转化为三角形的推导过程，体会转化思想在几何研究中的应用． 探究过程 导入新课 【引入思考】 现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂…… 在小学，我们知道什么是四边形，还学习过长方形、正方形、平行四边形和梯形等特殊的四边形的有关知识． 本章我们将进一步学习四边形，特别是一些特殊的四边形———平行四边形、矩形、菱形、正方形．在掌握它们的概念，理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识，探索并证明它们的性质和判定方法；进一步体会研究图形性质的一般思路和方法，即通过观察、实验、类比、推广、特殊化等途径和方法，对构成图形的边、角等元素的数量关系和位置关系进行讨论，利用几何直观发现图形的性质，再通过逻辑推理证明它们． 新知探究 本节课来研究： 本节我们类比三角形，研究四边形的相关概念和性质。 与三角形类似，如图所示，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作________，组成四边形的各条线段叫作四边形的______，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的_______．四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”． 如图（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形． 而图（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧． 今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形． 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的________．如图所示，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为____个三角形． 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的______，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的________．请在图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角． 思考：我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°．那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 分析：由于四边形的一条对角线将这个四边形分为_____个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决．下面按照上述思路解决这个问题． 归纳：四边形的内角和等于________． 例：如图所示，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？ 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°．根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和． 归纳：四边形的外角和等于_________． 在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？ 探究：如图（1），在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图（2），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 归纳：四边形不具有稳定性． 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图所示中的伸缩门、升降机等； 有时又需要克服四边形的不稳定性，如图所示中在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等． 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 3．求出下列图形中x的值． 选做题： 4．如图（1），四边形纸片中，，．如图（2），将纸片右下角沿直线向内翻折得到．若，，则为（   ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中哪些具有稳定性？ 3．四边形中，，，比大30°，求的度数．    选做题： 4．如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在 中，将 沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示． 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $