20.1 第1课时 勾股定理及其验证（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时 勾股定理及其验证 A分点训练 。夯实基础 知识点2利用勾股定理进行计算 知识点①勾股定理的认识及验证 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,AB=4, 1.在△ABC中，∠A=90°，则下列结论成立 则BC的长为 ( 的是 ( ) A.2 B.√3 C.√10D.2√5 A.BC=AB+AC B.AC2=AB2+BC 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, C.AB2=AC+BC2 D.BC=AB +AC BC=4,以AB为一条边向△ABC外部作正 2.下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理 方形，则该正方形的面积是 () 的是 A.10 B.52 C.68 D.92 -4 S.=4 =) S,=3 S-6 (第5题图) (第7题图) 6.(教材P25练习T1变式)在△ABC中，∠C 90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c. S=5 S,5 S=5 S,=4 (1)若c=8,∠A=30°，则b的值为 ,=10 (2)若a:b=3:4,c=15,则a的值为 S=3 ,b的值为 D 7.(教材P26练习T3变式)如图，在平面直角 3.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定 坐标系中，已知点A(2,5),则OA的长为 理之一，也是用代数思想解决几何问题最重 要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定 8.如图，在△ABC中，AB=13,AC=20,AD= 理的有 ) 12,且ADI BC,垂足为D,求BC的长. ③ ④ A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 20数学八年级下册人教版 B综合运用 。提升能力 (a一b)2,由此推导出重要的勾股定理：如果 9.(易错题)若直角三角形的两条边长分别是3 直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为 和4，则第三边的长是 ) c,则a2十b=c2. A.7 B.5 C.√7 D.5或√/7 10.(教材P26练习T2变式)在如图所示的图 形中，所有的四边形都是正方形，所有的三 图① 图② 图③ 角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 【结论探究】 的边长是7cm,则正方形A,B,C,D的面积 (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总 的和是 统证法”，请你利用图②推导勾股定理。 cm 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有 一村庄C,河边原有两个取水点A,B, 7 cm AB=AC,由于某种原因，由C到A的 (第10题图) (第11题图) 路现在已经不通，该村为方便村民取水 11.(育才中学期中)如图，由四个全等的直角 决定在河边新建一个取水点H(A,H, 三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形AB- B在同一条直线上)，并新修一条路 CD与正方形EFGH,连接CE.若正方形 CH,且CH⊥AB.测得CH=0.8km, ABCD的面积为6，EF=BG,则CE的长 HB=O.6km,求新路CH比原路CA 少多少千米 为 12.数学建模方程思想如图，在△ABC中，∠C 90°，AC=12,BC=5,D为AB的中点，过 点D作ED⊥AB,交AC于点E,连接BE, 求AE的长 C创新拓展 。发展素养 13.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三 角形较长的直角边长都为α，较短的直角边 长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积 可以表示为，也可以表示为4×号ab十 第二十章勾股定理21第十九章归纳与提升 1.B2.B3.x≥14.b5.四6.B7.B8.79.12 10.解：(1)原式=3√6+√6-2√6=2√6.(2)原式= 2√号×36÷6=2E.(3)原式=3-5+÷E-万÷万 =-2十2-√5=-3.11，解：a= W5+1 (3-1)(√3+1) ,6= 3-1 (W3+1)(W3-1) =2,原式 ra十b b (a-b)2 (a+b)(a-b)(a+b)(a-b) a(a-b) a+b-b,(a-b)2=1 1 1 (a+b)(a-6'a(a-万-aF6B+1+B15 2 2 .12.(2厄-2)13.解：(1)由题意，得长方形空地 ABCD的周长为2(BC十AB)=2(√72+√32)= 20V2(m).(2)由题意，得S四边形ABcD=BC·AB=√72X √32=48(m),S水池=（√10+1）（√10-1）=9(m), .S种值非莓=S四边形BcD一S水池=39(m2)..39X15X8= 4680(元).答：小明家将所种的草莓全部销售完，销售收入 为4680元.14.13-2√42=(W7-√6)215.解：(1)(3， 4)(-5,-4)(2):无理数-√a的“阳光区间”为(-3， -2),∴.2<√a<3,.22<a<3,即4<a<9.√a+3的 “阳光区间”为(3,4)，∴.3<a十3<4，∴3<a十3<4，即 9a十3<16，.6<a<13,.6<a<9.a为正整数，.a =7或a=8,当a=7时，√a+I=√/7+1=2√2，当a=8 时，√a+I=√8十I=3,∴.√a+I的值为2√2或3. (3)(44,45) 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 分点训练 1.D2.D3.D4.D5.B6.(1)4√3(2)912 7.W298.解：AB=13,AC=20,AD=12,AD⊥BC, ∴.在Rt△ABD中，BD=√AB-AD=√132-12=5. 在Rt△ACD中，CD=√AC-AD=√20-12=16. ..BC=BD+CD=5+16=21. 综合运用 9.D10.4911.√612.解：设AE=x,则CE=ACAE =12-x.:D为AB的中点，ED⊥AB,∴.ED垂直平分 AB..BE=AE=x.在Rt△BCE中，BE=BC十CE, x2=52+(12-),解得x=19.AE=1,9. 24 241 创新拓展 13.解：1)棉形ABCD的面积为宁(a十b)a十o)=号d十 参考答案第 a6叶号，也可以表示为号ab十+号b十合，号ab十 含b+-=d+a6叶台，即a+8=c.(2设AB= AC=xkm,∴.AH=AB-BH=(x-0.6)km.在Rt△ACH 中，根据勾股定理，得CA2=CH十AH,.x2=0.82十(x -0,6),解得=号.即CA=号kmCA-CH=号 6 0,8=动(km.答：新路CH比原路CA少易km 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 分点训练 1.C2.15003.解：(1)根据题意，得∠ACB=90°，AC= 30m,AB=50m,∴.BC=√AB-AC=V√502-30= 40(m)..BC的长为40m.(2)这辆小汽车超速了，理由如 下：：该小汽车的速度为40÷2=20(m/s),20m/s= 72km/h>70km/h,.这辆小汽车超速了.4.解：(1) 题意，得∠AOB=90°，AB=10m,BO=6m.在Rt△AOB 中，由勾股定理，得AO=√AB一BO=8m.答：此时梯子 顶端A离地面8m.(2)由(1)可知AO=8m,,梯子顶端A 下滑了3m到C处，∴.AC=3m.∴.m=CO=AO-AC= 5m.在Rt△COD中，CD=AB=10m,由勾股定理，得n= D0V0D-0=55ma-0--9:9< n553· 1.7,.这时使用梯子不安全. 综合运用 5.D6号 7.解：(1)过点B作BE⊥CD于点E,过点D 作DF⊥AB于点F.由题意，易得BE=DF,∠ADF=60°， ∠CBE=45°.在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠ADF=60°， AD=40m,∠A=30,DF=号AD=200m,∴BE= 200m.在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∠EBC=45°，.∠C =45°，.CE=BE=200m,∴.BC=W/BE+CE= 200√2m.答：BC的长度为200√2m.(2)易得BF=DE= CD-CE=200m.在Rt△ADF中，AF=√AD-DF= 200√3m..AB=AF+BF=(200√3+200)m.选择线路① 的路程为AB+BC=200√3+200+200√2≈829(m).选择 线路②的路程为AD十CD=800m.,829>800,故选择线 路②的路程更短. 创新拓展 8.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= √AB-BC=8m.AD=8十1.8=9.8(m).答：风筝离 地面的垂直高度AD为9.8m.(2)风筝沿DA方向再上升 12m,则A'C=8十12=20(m).由勾股定理，得AB= √/BC+AC=25m.:25-17=8(m),∴.他应该再放出 8m线. 2页（共55页）