第19章 二次根式 归纳与提升&新趋势 提能练新情境·新题型·新思维-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第十九章归纳与提升 思维导图梳理 二次根式一形如 的式子 概念 (1)被开方数不含 最简二次根式 (2)被开方数中不含 a≥0(a≥0) 性质 -(a)2= 次根 乘法√a·√b= (a≥0，b≥0) 运算 除法源 (a≥0，b>0) 加减法一先将二次根式化成 ,再将 的二次根式进行合并 混合运算一类比整式的运算法则进行运算 核心考点突破 考点个二次根式的有关概念及性质 6.下列计算正确的是 ( 1.有下列各式：3，-6，√a-I,√一2，√a2十3， A.52-32=2 B.3+√2=3√2 其中二次根式的个数为 C.√3×√7=√21 D.√/15÷√3=5 A.2 B.3 7.若x为实数，则在（√2一1）□√2的“口”中，分 C.4 D.5 别添加运算符号后，使得运算结果最小的符 2.下列运算正确的是 号是 ( ) A.√(-10)2=-10 B.(-√/10)2=10 A.+ B.- C.× D.÷ C.√a2=a 8.新趋势新定义)对于任意的实数m,n,定义一 3.(北京中考)若√3x一3在实数范围内有意义， 种新运算“*”：m*n=m(m一n)十n(m+ 则实数x的取值范围是 n),则√2*√5的值为 4.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图 9.计算： 所示，则化简（√a一4）2-√(a-11)2的结果 (16: 是 0 5a10 考点2二次根式的运算及化简求值 5.下列各式是最简二次根式的是 A B.√0.3 C.3 D.√20 第十九章二次根式 15 22xs÷, 考点3二次根式的应用 11.情境题安全教育交警为了估算肇事汽车在 出事前行驶的速度，总结出经验公式= l6√df,其中v表示车速（单位：km/h),d 是汽车刹车后车轮滑过的距离（单位：km), f是摩擦因数.某日，在一段限速为60km/h 的公路上，发生了一起两车追尾事故，交警 (3)V5-3 赶到后，经过测量，得出d=20,f=1.2,则 L×20; √3 估计肇事汽车在出事前行驶的速度为 km/h,该汽车 (填“超速” 或“没超速”). 12.如图，小明家有一块长方形空地ABCD,长 BC为√72m,宽AB为√32m,现要在空地 中挖一个长方形的水池（阴影部分），其余 部分种植草莓.其中长方形水池的长为 (4)(3+√5)(5-√5)+（⑧-√6）÷√2 (√10+1)m,宽为（√10-1）m. (1)求长方形空地ABCD的周长； (2)已知小明家种植的草莓售价为8元/kg, 且每平方米产草莓15kg,若小明家将 所种的草莓全部销售完，则销售收入为 多少元？ 10.先化简，再求值：2(a十√3)(a-√3)-a(a √2)十6，其中a=√2-1. 16数学八年级下册人教版 新趋势提能练 新情境·新题型·新思维【聚焦课标】 1.新趋势过程纠错)若x<2,化简√x2一4x十4十 3.新趋势规律探究)小丽根据学习“数与式”积 4一x|,小明的解答过程如下： 累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探 解：原式=√(x-2)十(4-x)…第一步 究下列二次根式的运算规律，下面是小丽的 =x一2十4一x…第二步 探究过程，请补充完整： =2 第三步 (1)具体运算，发现规律： (1)小明的解答过程从第 步开始出 等式1v+2 现错误，错误的原因是用错了性质： (2)写出正确的解答过程。 等式33+=4,得 等式4： (2)观察、归纳，得出猜想： 等式n(n为正整数)可表示为 ,并证明你的猜想； 2.新趋势类比探究课堂上，老师出了一道题， (3)应用运算规律： 比较一2与号的大小.小明的解法如下： 3 化简：V99+而×V199+×4硬× 解：19-2-2=19-4 √10I. 33 3 .42=16<19, .√19>4..√19-4>0. 19-40..19-2名 3 31 31 我们把这种比较大小的方法称为作差法. (1)根据上述材料填空：（填“>“<”或“=”） ①若a-b>0,则a b; ②若a-b=0,则ab; ③若a-b<0,则a b; (2)利用作差法比较一3与的大小 2 提示 请完成易锴章测（一）汇第十九章] 第十九章二次根式17参考答案 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 1.B2.23.D4.3 5.解：(1)x≤0.(2)x<8. 6.m+107.2√58.C9.x>3且x≠5 10.解：由x-2≥0，且6-3x≥0，得x=2.y=3.x十y=5. 1.解：(1)根据题意，设d=k.将d=40,0=20代人，得40=202，解得k=0d= .。-10.(2)当d-25.5时，0-V-V0X255=V25 第2课时二次根式的性质 1.C2.23.-34.C5.(1)(W7)2 a(√)】 2 (3)(√x)2 6.解：1)原式=4.(2②)原式=号(3)原式=0.6（④）原式=63. 7.C8.C9.C 10.解：1D原式=-8.(2)原式=7.(3)原式=0.36，(4原式=-分(5)原式=x-3. (6)原式=子 11.D【变式题】C12.B13.(1)-3(答案不唯一)(2)5 14部：1)原式-号号引+号-（导合）十号-合②）照式=20-3x号=18 15.解：由数轴可知a<0,b>0,.a-b<0..原式=|a-|b-|a-b|=(-a)-b+a -b=一2b. 16.解：原式=|a十1|十a-3.当a<-1时，原式=-a-1十3-a=-2a十2=6，解 得a=-2;当-1≤a≤3时，原式=a十1十3-a=4≠6，等式不成立；当a>3时，原式= a十1十a-3=2a-2=6,解得a=4.∴.a的值为-2或4. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 1.B2.D3.1615 4解：(1原式=V1=10,(2)原式=-合×=-1.(3)原式=2√6x写=2 2111 (4)原式=√3X6=√g=: 5.C6.B7.A 8.解：(1)原式=√400×3=√400×3=20√3.(2)原式=√49×√121=7×11=77. (3)原式=√/14X14X42=√/14×4×√2=14×2×√2=28√2.(4)原式=√9·√· √元·√y=3·x·√E·y=3.xyWE. 9.B10.C11.10W2 12.解：1原式=9×()×V18X=-是V18X3=-275.(2)原式=√月 /6 x2,5×()-2x(）×V×8x10=-6 13.解：p=号×6+6+)=9，S=V9X(9-5X9一6X9-万=V9X4X3X2= √§X√4X√6=6√6. 14.解：(1)7×9(2)第⑦个等式为√(4n2+1)2-(4n)=(2n-1)(2n+1).证明如下： √(4n2+1)2-(4n)z=√(4n2+1-4n)(4m2+1+4n)=√(2n-1)2(2n+1)F= √(2n-1)7·√(2n+1)z=(2n-1)(2n+1). 第2课时二次根式的除法 1.a1536(②号是号号22B3B 4解：1原式=√窖=斤，(2)原式=√厚==8(3原式=√侣×要=v丽= 1 2w原式=哥-受 5.A 6.解：(1)原式= 焉品激式-层-层⑧源式-震-等 9a3a2, (4)原式=Y2西×V25x5-5×55_25v5 √196 14 14 7.B 8解(1原式=√92)原式=√=四(8)原式-得 22V22 (4)原式= √22×0=⑤ 3×2√106√10×√1030 9.D10.D11.(1)2√3(2)212.2√3 13,解：(1)原式=-0@=-602V匹=-3a.(2②原式=-号√受=-号 √2a·w2a 2a ×-1.(3)原式=合×4×2√6×12x7-3V=18 √4 14.解：)A=60m4=√臣-√2=25(9.六该物品落地的时间为25 (2该玩具最低的下落商度=10-64(m.1=√昏-√-85≈4(s) 64 5 最少经过4s落地就可能会伤害到楼下的行人. 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 1.C2.B3.A4.(1)33(2)0 5.解：(1)原式=3√7-√7=2√7.(2)原式=4√+8√=12√元.(3)原式=3V3-√2- 2√3=√3-√2. 6.解：(1)③(2)原式=3√2+3√5+5√2=8√2+3√3. 7.12W5 8.解：d2-d1=7×√30-12-7×√20-12=21√2-14√2=7√2(cm).答：d2与d1的 差为7√2cm. 9.C10.C 1.解：(1)原式-3厅-3厄-2+月=4v月-5反.(2)原式-5×号+号×25+ 号×25-5+5+5=8v5.(8)原式=32-5y5-号+29-反-反 32 3 12.解：(1)由题意，得正方形AEFG的边长为√I92=8√3(cm),.AD=83-2√3= 6√3(cm),AB=83-7√3=√3(cm)..长方形木板ABCD的长为6√3cm,宽为W3cm. (2)长方形木料的长为12÷9=46(cm.:46=V丽，6=V10s5=平， 2, 4v厅<6V3,<3.能栽出符合条件的长方形木料. 13.解：(1原式=6×写-5x5-2v5+2×25=26-后-26+5=0.(2)设原 3 题中的■是a,则原式-a…-5x9-2v6+宁×25=写写。后-26十 5=。=5当，解得a=识原题中的“■是识 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.(1)3√6(2)2 3.解：①原式=25-5=.(2)原式=8×-√合×=4-1=3.(3)原式=2 -5+2√3-3=-1+3.(4)原式=3V3×2×2W2-6V2=12√2-62=62. 3 4.B5.(111+20√1)π6.(1)a(a-2)(2)6 —2 7.解：1原式=1-25+3+23=4.2)原式=68)-(23同)=8-是-翠 (3)原式=3-6√2+6+9-12=6-6√2. 8.C9.A10.36+6√3 11.解：(1)原式=(W5+√5⑤)(3-√5)=(3十√5)(3-√5)=9-5=4.(2)原式=(3√3-3 ×9)=5xv万-4+45+5》=2÷月x25-0+4=45-g-45-g 12.解：(1)ab=(W5+2)(W5-2)=5-4=1.(2),a=√5+2，b=√5-2，∴.a+b=(w5+ 2)+(W5-2)=2√5.∴.a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(2√5)2-3×1=17. 13.解：(1)√n+I-√m(2)原式=（√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2037- W2036)×(√2037+1)=（√2037-1）×（√2037+1）=2036. 专题特训二次根式中常见的化简求值技巧【期末热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(5-1-1)(W5-1+3)=(5-2)(W5+2)=5-4= 1.(2)当a=√5+2时，原式=(9-45)（√5+2）2一（√5-2）（√5+2）+4=(9-4√5)(9 +4√5)-(5-4)+4=81-80-1+4=4. 2.-13.D4.D5.D6.B7.-2c 8.解：由数轴，得a<0,a十b<0,c-a>0,b十c<0.∴.原式=-a十(a十b)十c-a-b-c =-a. 9.C 10.解：：a=2-√3，b=2+√3，.a+b=4,a-b=-2√3，ab=1.(1)原式=(a+b)(a b)=4×(-2W3)=-8√3.(2)原式=ab(a-b)=1X(-2√3)=-2√3. 1解+=8(+方)》=++2-5计>0+后6 x 【延伸问】士1 12.解：(1)x=√10-3，.x+3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√10)2，即x2+6x+ 9=10.x2+6x=1.x2+6x-8=1-8=一7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将 代数式x2+6x一8变形为(x十3)2一17，再将x十3=√10整体代入求值.(2)，x= 52x=5-12z+1=5.两边平方，得2x+1》=5,即+r+1 5..4x2+4x=4,即x2+x=1.∴.x2+3x=x2+x+2x=1+2x=V5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2 【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,∴∠B=90°，AB=BE.AE= VAB+BE-EAB第二次折叠，得AD=AE=EAB品-验-E.即AM纸 的长与宽的比值为√2. 【进阶问】解：由题意，得A5纸的长为b,宽为分.”a:b=√瓦，a=26.b:合=b: =2.∴A5纸长与宽的比值为V 2 【类比归纳√瓦减半 【拓展探究】片 【延伸探究】解：由题意，得B4纸的面积为250×353=88250(mm2).B5纸的面积为 S4纸÷2=44125(mm2).A4纸的面积为210×297=62370(mm2).A5纸的面积为 SA纸÷2=31185(mm2).∴S纸：SA4版=88250：62370≈1.4≈√2，Ss纸：SA5纸= 44125:31185≈1.4≈√2. 【归纳√2 第十九章归纳与提升 思维导图梳理 Va(a≥0)分母能开得尽平方的因数或因式a(a≥0)1u=(a(a≥0)， -a(a<0) √ab 最简二次根式被开方数相同 —3 核心考点突破 1.B2.B3.x≥14.2a-155.C6.C7.B8.7 1 9.解：(1)原式=3V5+6-2V5=26.(2)原式=2√3×36÷6=2V2.(3)原式 √厚-1-√号×20=5-1-2=2,0原式=3-5+8+区-5÷2=-2+2-5 =-√5. 10.解：原式=2(a2-3)-a2十√2a+6=2a2-6-a2+√2a+6=a2+√2a.当a=√2-1 时，原式=(W2-1)2+√2(W2-1)=3-2√2+2-√2=5-3√2. 11.32√6超速 12.解：(1)由题意，得长方形空地ABCD的周长为2(BC+AB)=2(√72+√32)= 20V2(m).(2)由题意，得S四边形ABcn=BC·AB=√72X√32=48(m2),S水港=（√10+ 1)(√10-1)=9(m2),.S种救苹莓=S四边形AcD一S水溢=39(m2).∴.39×15×8=4680 (元).答：小明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元. 新趋势提能练新情境·新题型·新思维【聚焦课标】 1.解：(1)二√a=|a=-a(a<0)(2)x<2,∴.x-2<0,4-x>0..原式= √(x-2)7+(4-x)=2-x+4-x=6-2x. 2.解：10>②=@<(2)3-是-四8=36>191<6 2 2 V19-6<0.1⑨-6<0.g-3<3 2 2 21 3解：V4+-5V后Va+=a+1 1 证明如下：左边= /n2十2n+1_ 1 1 n十2 √)=(n+少2右边，猪想成立.③)原式=1000 ×20V×v2×v1=(10x20o)x(而×v1)×(V2石×) 20000√2. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 1.D 2.4913 AC BC AB 3.解：证明如下：，Rt△ABE≌Rt△DEC,∠ABE=∠DEC.∠ABE十∠AEB= 90°，∴∠DEC十∠AEB=90°.∠BEC=90°.∴.△BEC是直角三角形.：S梯彩ABCD= E+s+sa+a+》-空+号+学即+g+-生2咖c 2 2 2 +b=c2. 4.D5.B6.√29 7.解：AB=13,AC=20,AD=12,AD⊥BC,∴.在Rt△ABD中，BD=√AB-AD= √132-12=5.在Rt△ACD中，CD=√AC-AD=√202-122=16.∴.BC=BD+ CD=5+16=21. 8.D9.D10.(1)4V3(2)91211.49 12.解：设AE=x,则CE=AC-AE=12一x.D为AB的中点，ED⊥AB,.ED垂直 平分AB..BE=AE=x.在Rt△BCE中，BE=BC+CE,.x2=52+(12-x)2,解 得x2AE-架 13.解：【感知5【探究】图形的总面积可以表示为S=+2×2a6=2十a6,S=a2+ 6+2×7b=a2+8+ab,c2+ab=a2+8十a6,即a2+8=2.【拓展】这个风车的 外围（实线）周长为76.【解析】由题意知，外延的4部分全等，且AD=AC=6,∴.CD= 12.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=√CD2十BC=13..这个风车的外围周长为 4(BD+AD)=4×(13+6)=76. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 1.C2.2.43.44.1500 5.解：(1)根据题意，得∠ACB=90°，AC=30m,AB=50m,∴.BC=√AB2-AC= 4 √502-30=40(m)..BC的长为40m.(2)这辆小汽车超速了.理由如下：，该小汽 车的速度为40÷2=20(m/s),20m/s=72km/h>70km/h,∴.这辆小汽车超速了. 6.解：D是AC的中点，CD=号AC=3dm:∠ACB=90,∠DCE=180°- ∠ACB=90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE=√DE-CD=4dm.∴.BC=BE CE=8dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC十BC=10dm.答：两轮圆心 A,B之间的距离为10dm. 7.C8.D 9.解：(1)由题意，得∠AOB=90°，AB=10m,BO=6m.在Rt△AOB中，由勾股定理， 得AO=√AB2-BO=8m.答：此时梯子顶端A离地面8m.(2)由(1)可知AO=8m, ,梯子顶端A下滑了3m到C处，AC=3m..m=CO=AO-AC=5m.在 Rt△COD中，CD=AB=10m,由勾股定理，得n=DO=√CD2-CO=5√3m..a= ”-5:<1.7这时使用梯子不安金 n5√53· 10.解：(1)过点B作BCLAD于点C.易得CD=BE=1.6m,BC=ED=15m.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=√AB2一BC=8m,∴AD=AC十CD=9.6m.答：风筝离地面 的垂直高度AD为9.6m.(2)风筝沿DA方向再上升12m后，AC=12十8=20(m),此 时风筝线AB的长为√202+15=25(m).∴.25-17=8(m).答：小明应该再放出8m线. 第3课时利用勾股定理作图与计算 1.C2.-√13 3.解：如图，点A即为所求， -45-210234→ 4.C5.√5 6.解：设AB边上的高为h.:AB=V3+=5,Sac=号×5A=子×3X3,解得A =号.△ABC中AB边上的高为号 7.24 8.解：AB=AC=25,ADLBC,BD=CD=号BC=6.在RIAABD中，根据勾股 定理，得AD=VAB-BD=V压.SaAc=合BCAD=合×26XV瓜=2V瓦. 9.2-√1010.7 1.解：I):AD⊥AB,∠BAD=90.:∠B=30,.AD=号BD.在Rt△ABD中， 由勾股定理，得AB+AD=BD,即(232+（合BD)）=BD,BD=4(负值己 舍).(2)过点A作AE⊥BC于点E,则∠AEB=∠AEC=90°.：∠B=30°，∴AE= 之AB=.在R△AEB中，由勾股定理，得BE=VAB-AE=3.在R△ABC中， 由勾股定理，得CE=VAC-AE=5.BC=BE+CE=8.Sx=AE·BC= 号××8=45. 12.解：(1DSc=3X3-号×3×1-号×3×2-合×2X1=子.(2)如图，△DBF即 为所求.由图可知，△DEF的第三边长为√22+2=2√2. 5 大单元整合练利用勾股定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图，点E和点F即为所求. 车方20十23 任务话动2：解：在Rt△ABC中，AC=√12+1=√2，同理得AD=√W2)2+12=√3， AE=√(W3)2+1=2,AF=√22+1=√5.由题意知AP=AF=√5.∴.点P表示的数 为-√5. 任务活动3：解：(1)如图，点P即为所求.(2)√5一1 -3-2-1 0123 任务活动4：解：(1)√2一√2(2)①如图①所示.②如图②，点A表示-3十√5，点B 表示-0.5..-0.5>-3+√5. A -4-3-2-TB012 图① 图② 专题特训l 勾股定理中的方程思想【回归教材·期末热点】 7 1.5 【变式题】36 2.解：设BD=x,则CD=14-x.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2= 152-x2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2..152- 2=132-(14-x3,解得z=9.AD=V15-g=12.∴Se=BC·AD=号× 14×12=84. 3.B4.D5.C 6.解：I)由折叠的性质知∠EDG=∠ADG,∠GDF=是∠CDG.又：四边形ABCD 是正方形，∴.∠ADC=∠ADG+∠CDG=90°.∴.∠EDF=∠EDG+∠GDF= 合（∠ADG+∠CDG)=45.(2):正方形ABCD的边长为6，∴AB=BC=AD=CD 6,∠ABC=∠C=∠ADC=∠A=90°.，E为AB的中点，∴.AE=BE=3.由折叠性质， 得DG=AD=6,EG=AE=3,CF=FG,∠DGE=∠A=∠DGF=∠C=90°，∴∠EGF =∠DGE+∠DGF=180°.∴.E,G,F三点共线.设CF=FG=x,则BF=6-x,EF=x +3.在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2,.32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2..EF= x+3=5.∴SADEF=号EF,DG=15. 7.48.10 9.解：延长FC,交AB于点G,则CG⊥AB,AG=CD=1m,CG=AD=15m.设BG= xm,则BC=(26-1-x)m.在Rt△BGC中，：BG+CG=BC,∴.x2+152=(26-1 -x)2,解得x=8..BG=8m.∴.AB=BG+AG=9m.答：AB段的长度为9m. 10.解：设BE=xkm,则CE=BC-BE=(16-x)km.:AB⊥l,DC⊥L,,∠ABE= ∠DCE=90°.∴.EA2=AB2十BE2,ED=CD2十CE.,调运站E到A,D两个村庄的 距离相等，∴.EA=ED.∴.AB2十BE=CD2十CE2,即82十x2=122十(16一x)2,解得x =10.5..BE=10.5km.答：此时调运站E到村庄B的距离为10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.B2.B 3.解：(1)2√5√55(2)△ABC是直角三角形.理由如下：：AB=2√5，BC=√5，AC =5,∴.AB2+BC=(2√5)2+(W5)2=25=AC.∴.△ABC是直角三角形. 4.B5.156.D7.11,60,618.45° 9.解：(1)，BC=132=169,BD+CD=5+12=169,.BC=BD+CD.,△BDC是直 角三角形，且∠BDC=90°.(2)由(1)，得∠BDC=90°，∴∠ADC=90°.设AB=AC=x, 则AD=AB-BD=x-5.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD2+CD2,∴.x2=(x —6