20.1 勾股定理及其应用-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

12.解：(1)原式=46÷22-4×÷22+ 102÷22 =23-1+5 =23+4. (2)原式=3+25+1-[32-(7)2] =4+23-9+7 =2+25 (3)原武=(-3,6)+5+25×6 =-46:5+62 3 -4g5+62 3 =142 3 (4)原式=2(1+3)(1-3)-[(25)2 2×25×1+12] =2[12-(3)2]-(13-43) =-22-13+43 13.解：(1)三角形周长为(5√5+2√10)cm, 两边长分别为√45cm和√40cm, ∴.第三边的长为(5W5+2√10)-√45 √40=5W5+2√10-35-2√/10=25(cm). (2).三角形的面积为(10√6+4√5)cm2, ·第三边上的高为2(106+45)=(2√30+ 25 4)cm. 14.D(√10+6)×(10-6)=（√10）2- (6)2=10-6=4. 15.A(2-√3)×(2+√3)=1，故A选项符合 题意；(2-√3)×2=4-23，故B选项不符 合题意；(2-√3)×√3=2√3-3，故C选项 不符合题意；(2-3)×(2-3)=7-45，故 D选项不符合题意. 16.BA.3√5-2√5=√5，原计算错误.B.（1 2)(1+√2)=12-(2)=1-2=-1，原 计算正确.C.(2-√2)(3+√2)=6+2√2- 32-2=4-2,原计算错误D.(5+7)2= (5)2+25×7+(7)2=5+2V35+7= 12+2√35，原计算错误 17.解：原式=a-6+ √a √a+√b a(a+√b) 6 x√b B(b-a)] (√a-√6)2 (√a+√b)(√a-√6) +（a+万 1 b-√a ×√B -a-2a+b+a-6+(,a+b)×,6 a-b a-b =a-2Vab+b2/ab a-b a-b =atb a-b' 当a=2,6=2时，原式=2+2= √2-2 (2+2)2 _6+42=-3-22. (2-2)(2+2) 2 18.解：(1)，长方形的空闲地块ABCD的长AB 为8√2m,宽BC为52m, ∴.长方形空闲地块ABCD的周长为2× (8√2+5√2)=26W2(m). 答：长方形空闲地块ABCD的周长为26√2m. (2)通道的面积为8√2×52-2×（√13+ 1)×(13-1)=8×5×(2)2-2× [(√13)2-12]=80-2×12=56(m2), ∴.购买地砖的花费为56×50=2800（元） 答：若铺完整个通道，购买地砖共需花费 2800元. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其实际应用 1.B2.C 3.C设“矩尺”的较长的直角边长为x尺.根 据题意，得52+x2=（x+1)2,解得x=12,即 “矩尺”的较长的直角边长为12尺， 4.D在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2, AB=25.由勾股定理，得BC=√AB2-AC= 45=(+(+ 4c.Bc-分m·(=7+2m+4 ,AB21 5 2T-4. 5.23 6.解：由题意，得 BC=4×10=40(m), AC=3×10=30(m). 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=302+402= 2500=502,.AB=50m. 答：两人相隔50m. 7.解：.AB=AD=8cm,∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形 ∠ADC=150°， .∠CDB=150°-60°=90°， ∴.△BCD是直角三角形. 又四边形的周长为32cm, .CD+BC=32-AD-AB=16(cm). 设CD=xcm,则BC=(16-x)cm, 根据勾股定理，得82+x2=(16-x)2, 解得x=6, 1 SARCD=2×6×8=24(cm). 8.D9.B 10.1011.3 12.110如图，延长AB交KF于点0，延长AC 交GM于点P. 易得A0=3+4=7,KL=3+7=10,LM= 4+7=11,∴.长方形KLMJ的面积为KL· LM=10×11=110. 13.(1)证明：由题图(2)可知，S梯形cD= (a+b)(a+b】,或S0形ACED=SacB,SaeD+ 2 :（a+b)(a+b)-1 2 =ab+7ab+7 整理，得-，即+= (2)解：.BD=x,∴.CD=BC-BD=6-x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD= AB2-BD2=16-x2. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2= AC2-CD2=25-(6-x)2, 16-2=25-(6-)2,解得x=号 14.C设BC=x,则BD=BA=x+1.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得BA2=AC2+BC2,即(x+ 1)2=52+x2,解得x=12,即BC=12. 15.C如图，连接AB. 北 由题意得，360°÷12×3=90°，∴.∠A0B= 90°..1个单位长度代表100m,∴.0A= 300m,OB=400m.在Rt△AOB中，根据勾 股定理，可得AB=√OA2+0B2=500m. 16.D 17.D由题意可知，AB=AD,DE=20cm,AE= 15cm,BC=7cm.在Rt△ADE中，由勾股定 理，得AD=√DE+AE=√202+152= 25(cm),∴.AB=AD=25cm.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=√AB2-BC2= √/252-72=24(cm). 18.C由题图可得，0D=0.8m,0C=0A=1m, △0DC为直角三角形，·.0C2=CD2+0D2, 即12=CD2+0.82,.CD=0.6m.CH= CD+DH=0.6+2.3=2.9(m),∴.卡车不得 高于2.9m. 19.61220.(50+100√3)cm 21./74cm22.25cm2 23.解：在进行爆破时，公路AB段有危险需要暂 时封锁.理由如下：如图，过点C作CD⊥AB 于点D. B D C .AC=300m,BC=400m,∠ACB=90°， .由勾股定理，得AB=√BC2+AC2= √/4002+3002=500(m). SAM-AG BG-AB CD, 1 1 ÷2×500CD=2×300×400, ∴.CD=240m. .…240<250, ∴.在进行爆破时，公路AB段有危险需要暂 时封锁 24.解：(1)如图，连接AE交BD于点C,则点C 即为所求， A (2)设BC=xkm,则CD=(12-x)km,从而 AC+CE=(√/x2+42+√(12-x)2+22)km 如图，过点E作ET⊥AB交AB的延长线于 点T .DE⊥DB,∴.∠D=∠T=∠DBT=90°. 由题意，可知DE=BT=2km,BD=ET= 12km, .AT=AB+BT=4+2=6(km), .AE=√AT+E7=√62+122=6V5(km), .AC+CE的最小值为65km, 即√x2+42+√(12-x)2+22的最小值为 65. 第2课时利用勾股定理进行作图和计算 1.B由勾股定理，得√12+22=√5，即圆弧的 半径为√5，∴.点A到表示2的点的距离为√5， 由题图知，点A在表示2的点左侧，∴.点A表 示的数为2-√5. 2.A在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC= 1,.AB=√22+12=V5,.BD=AB=√5. ·点B表示的数是3，.点D表示的数是 3-√5. 3.10-1,四边形ABCD是长方形，AD=1, ∴.BC=AD=1,∠ABC=90°.又AB=3,∴.AC= √JAB2+BC2=√32+12=√10，.AM=AC= √10，∴.点M表示的数为√10-1. 4.D 5.解：如图，点D表示的数是-√13. 作法：在数轴上画出表示-√13的点，则可以 在数轴上找出表示0与3的点，分别记为点A 与点C,过点C作BC⊥AC,且BC=2,以点A 为圆心，AB长为半径画弧，交数轴负半轴于 点D,则点D表示的数为-√13. 理由：.BC⊥AC, .AB=√AC+BC=√32+2=√13. 点D位于点A的左侧， ∴.点D表示的数是-√13. B -5-4-3-2-10123”45 63而7.7或98.C 9.3·AB=AC,AD是△ABC的角平分线， BD-GD-7RG-3,ADLRC LADB- ∠ADC=90°.在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AD=√AC2-CD2=W52-32=4.'E为AD 的中点AB=BD=)AD=2,△BDE的 面积为2BD·ED=号×3x2=-3. 10.72或36当△ABC的高AD在△ABC内部 时，如图(1).AB=6√10，AC=6√2，AD=6, .BD=√AB2-AD=18,CD=√AC-AD= 6,∴.BC=BD+CD=24,.△ABC的面积为 2BC·A0=7×24x6=72.当△ABC的高 AD在△ABC外部时，如图(2).同理，得 BC=BD-CD=12,.△ABC的面积为)BC· AD=2×12×6=36,综上，△ABC的面积 为72或36. (1) (2) 11.解：AB=10,BD=6,AD=8, .BD2 +AD2=AB2. ∴.∠ADB=90°，∠ADC=90° 设CA=BC=x,则CD=BC-BD=x-6. 在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2,即x2= 82+(x-6)2,解得x=3, 25 nc 12.解：(1)∠B=60°，∠C=45°， ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=75°. (2)在Rt△ADC中，∠C=45°，∴.AD=DC, 由勾股定理，得AD2+CD2=AC2=4, ∴.AD=DC=2. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 1.A①若a>b,则ac>bc,是假命题，它的逆 命题是：若ac>bc,则a>b,是假命题；②若 a=1,则√a=a,是真命题，它的逆命题是：若 √a=a,则a=1,是假命题；③同位角相等，是 假命题，它的逆命题是：相等的角是同位角， 是假命题；④直角三角形的两锐角互余，是真 命题，它的逆命题是：有两个锐角互余的三角 形是直角三角形，是真命题， 2.A对应角相等的两个三角形不一定全等，故 A选项符合题意；与线段两个端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上，正确，故B 选项不符合题意；有两个角相等的三角形是 等腰三角形，正确，故C选项不符合题意；如 果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜 边长为c,那么a2+b2=c2,正确，故D选项不 符合题意 3.C 4.互补的角是同旁内角假 5.AAB2=(√2)2=2，BC2=(√5)2=5， AC2=(5)2=3,.AB2+AC2=BC2,.∠A=90°. 6.B 选项 分析 正误 a:b:c=2:3:4,∴.设a=2k, b=3k,=4k,.a2+b2= A (2k)2+(3k)2=13k2,c2= (4k)2=16k2,.a2+62≠c2, 不能组成直角三角形 a2+b2=82+152=289, B c2=172=289,.a2+b=c2, V .能组成直角三角形 a2+b2=(3)2+22=7, c2=(5)2=5,a2+b2≠c2, ,不能组成直角三角形 .a2+b2=52+52=50,c2= D (53)2=75,a2+b2≠c2, ∴.不能组成直角三角形Q新学期对照学数学八年级下册RJ 第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角 敲黑板多 是直角、其余两个角互余.对于直角三角形的三条边，它们之间有什 么特殊关系呢？ 第1课时勾股定理及其实际应用 我国古代把直角三角形中短的直角边叫作勾」 长的直角边叫作股，斜边叫作孩 因方法点拨 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾 用“拼图法”证明勾 股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”， 股定理时，要注意组 意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正 成的图形的面积有两 方形的面积 种表示方法： (1)大图形的面积的 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图 表示方法： 20.1-1,红色直角三角形的三边长分别为3,4,5， (2)各组成部分图形 分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面 的面积的和。 积分别为9,16,25，且9+16=25.从边的角度看， 这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方 和等于斜边长的平方.直角三角形三边的平方分别对应 图20.1-1 白外作的三个正方形的面积 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ ?习探究 如图20.1-2，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1,B1,C1的 面积之间有什么关系？A2,B2,C2呢？A3,B3,C3呢？ 以格点为顶，点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三 个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角 三角形三边关系的猜想吗？ 转化为一个大的正方形的面积 减去四个直角三角形的面积 以直角三角形 斜边为边的正方形的 面积，等于某个正方 B 形的面积减去4个直 角三角形的面积 图20.1-2 24丨中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和， 敲黑板多 等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想（图201-3)： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 区易错提醒 a2+b2=c2. 、)前提条件 (1)勾股定理只适用于 直角三角形，揭示的是 B 赵爽弦图 B 直角三角形三边之间的 关系 C a 、(孩) (2)只有在c为斜边时， (勾) 卡实 黄实 才有a2+62=c2.若b为 b(股) 斜边，则关系式是a2+ 图20.1-3 图20.1-4 c2=62:若a为斜边，则 关系式是b+c2=a2 证明这个猜想的方法有很多， 下面介绍我国古代数学家赵爽（约 赵爽指出：按弦图，又可 3世纪)的证法 下以勾股相乘为朱实2，信之为朱 实四，以勾股之差自相乘为中黄 网拓展提升 如图20.1-4，这个图案是赵爽在 实.加差实，亦成弦实 (1)勾股定理是通过等 注解《周髀算经》时给出的，人们称 (6-a)月 面积法来验证的，即对 同一个图形用两种不同 它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红 的方法计算面积，进而 色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形 建立等量关系： (2)勾股定理的验证， (黄色). 是将“形”（直角三角形） 赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图20.1-5（1)， 的问题转化为“数”（图 形的面积)的问题来解 把边长分别为a,b的两个正方形连在一起，它的面积是。2+b2.这两 决，体现了数形结合的 个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形 思想 (黄色)，把图20.1-5(1)中左、右两个三角形移到图20.1-5(2) 中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图20.1-5(3))， 它的面积是c2.因为图20.1-5（1)与图20.1-5(3)都由四个全等的直 角三角形（红色）和一个正方形（黄色)组成，所以它们的面积相等， 即a2+b2=c2 (1) (2) S=c (3) S=a2+b2 图20.1-5 中小学AI教辅引领者|25 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 这样就证明了前面的猜想.它表明了 直角三角形三边之间的关系，我国把它称 在西方，人们称勾股 为勾股定理→注意只有在直角三角形中才 定理为毕达哥拉斯定理 能用勾股定理 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧 图方法点拔 1CM2002 妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种 应用勾股定理可以求 解直角三角形的边 方法是我国古代数学家常用的“出入相补 长；当已知三角形不 法”·“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明 是直角三角形时，常 Belling u9ut2028,200 通过作高构造直角三 才智和对数学的钻研精神，是我国古代数 角形，再利用勾股定 学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图 理求解， 为原型设计的（图20.1-6） 习探究 根据“赵爽弦图”（图20.1-4），你能通过计算弦图的面积推导出 勾股定理吗？ ☒易错提醒 若未明确直角三角形 例1②如图20.1-7，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边 中已知边的类型（直 角边或斜边)，则需 的长. 分类讨论，以免漏解 17 6 D E (1) (2) 图20.1-7 解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+62= 100,所以AB=10. (2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE+EF2=DFP2,从而DE= DF2-EF=17-152=64,所以DE=8. 一练习答泉 凸练习 1.(1)8. 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c. (2)13. (1)已知a=6,c=10,求b; (3)20 (2)已知a=5,b=12,求c (3)已知b=15,c=25,求a. 26丨中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已 敲黑板国多 知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方 )注意是边长，正方形的面积=边长 。练习答案 形E的面积 2.625 3.41. 5 B S=S+SB 以 S、=S+S 34 SE SM+S A 0123456 网拓展提升 (第2题) (第3题) 下列各图中，分别以 3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0,4).求 两直角边为边（或直 这两点间的距离.，在1△A0B中，0A=5,0B=4,注意OA,OB 径)所作的两个图形 均为直角边 的面积和，等于以斜 边为边（或直径）所 勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题 作的图形的面积，即 S3=S1+S2. 例22一个门框的尺寸如图20.1-8所示，一块长3m, D 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 木板的长和宽都比门框的长和宽高 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过， 作正方形 作等边三角形 只能试试斜着能否通过，门框对角线AC的长度 A B e-1m> 是木板斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木图20.1-8 作半圆作等腰直角三角形 板的宽比较，就能知道木板能否通过 解：连接AC,在Rt△ABC中，根据勾股定理， 、>找到直角三角形 AC2=AB2+BC2=12+22=5, AC=5≈2.24 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过. 例30如图20.1-9，一架长为2.5m的梯子斜 靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面 的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面 的距离B0为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移 O B D 动0.8m,那么梯子顶端也沿墙A0下滑0.8m吗？ 图20.1-9 中小学A教辅引领者|27 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到 点D,顶端由点A下滑到点C.可以看出，AC=OA-OC.9 要求AC,需先求OA,OC 在Rt△AOB中，根据勾股定理， 因方法点拨 0A2=AB-0B=2.52-0.7=5.76, 在应用勾股定理解决实 际问题时，首先要从情 0A=2.4 境中抽象出直角三角 形，将已知与待求的线 在Rt△COD中，根据勾股定理， 段置于直角三角形中： 0C2=CD2-0D2=2.52-(0.7+0.8)2=4, 若不存在直角三角形， 则考虑添加辅助线来构 0C=2. 造直角三角形 所以，AC=0A-0C=2.4-2=0.4. 因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m, 而是下滑0.4m. 一练习答亲 凸练习 1.A,B两点间的距离约 为57m. 1.如图，A,B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上 2.在Rt△ABC中，根 一点，测得BC=60m,AC=20m.求A,B两点间的距离（结果取整数）. 据勾股定理，得 斜边 )直角边 BC2=AC2-AB2= 31.92-23.12=484 所以BC=22. 故楼高为22m 3.这台电视机屏幕对角 线的长=72+40 81.49(cm).因为 B 1英寸=254m,所以 (第1题) (第2题) 8149=32(英寸).故 2.54 2.如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度.位于地面上点A处的激光 这台电视机的屏幕尺 寸约是32英寸. 测距仪先将激光射向楼底端的点B,仪器显示AB=23.1m;再将激 光射向楼顶端的点C,仪器显示AC=31.9m；最后仪器自动显示出 楼高BC=22m.你能说出其中的数学道理吗？ 斜边 3.电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英 寸=2.54cm)为单位.王芳测得自家电视机的屏幕宽为71，cm,高 )直角边← 为40cm,这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数)？ 28丨中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 第2课时利用勾股定理进行作图与计算 敲黑板多 交思考 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角 边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一 结论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图20.1-10，在Rt△ABC和 Rt△AB'C中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B', AC=A'C'. B 求证：△ABC≌△AB'C 图20.1-10 证明：在Rt△ABC和Rt△AB'C'中，∠C=∠C'=90°，根据勾股定理， BC=AB-AC,B'C=A'B?-A'C? 又AB=A'B',AC=A'C, .BC=B'C'. .△ABC≌△A'B'C(SSS) 习探究 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在 数轴上画出表示13的，点吗？ 因方法点拨 一般地，利用勾股定 如果能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.我 理在数轴上画出长为 们知道，长为2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜 √nn为大于1的整 边.长为13的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的 数)的线段，关键是 找到两个正整数a, 斜边吗？ 当直角边为正整裁时 作图较方便 b,使a2+b2=n;因此 由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2,3的直角三角形， 只要作出两条直角边 的长分别为a,b的 其斜边长为13.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示13的点. 直角三角形，其斜边 如图20.1-11,0为数轴原点，首先在数轴上 的长即为√厉.例如， 找出表示3的点A,则O4=3.然后过点A作直线1 长为√3的线段就是 B 两直角边的长分别为 垂直于OA,在l上取点B,使AB=2.最后以原点 2,3的直角三角形的 O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的 斜边. 交点C即为表示13的点. 0 123 也可作OA=2,AB=3 图20.1-11 中小学AI教辅引领者丨29 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 类似地，利用勾股定理，可以画出长为2,3,5，…的线段（图 20.1-12）.按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示T,2,3, 4,5,…的点（图20.1-13）. ☑速记可诀 在数轴上画出表示无 理数的点的步骤： 一拆分、二构造、三 画弧 /15 10 /16 因方法点拨 /17 8 作一条长度等于无理 18 7 数的线段的方法不唯 19 6 2345 一，应尽量构造直角边 2 长为整数的直角三 角形. 图20.1-12 图20.1-13 练习 区易错提醒 不是所有的无理数都 1.在数轴上画出表示17的点 0提示：17=√2+4 能用尺规作图在数轴 2.如图，等边三角形ABC的边长为6，求： 上画出对应的点，如 T,0.1010010001… (1)高AD: (相邻的两个1之间依 次多一个0) (2)等边三角形ABC的面积. 一练习答亲 1.如图所示，点A即 S 为所求 S D /17 B S 0123 4A D 2.(1)33 (第2题) (第3题) (2)95 3.在Rt△ABD和 3.如图，AD是△ABC的边BC上的高.分别以线段AB,AC,BD,CD Rt△ADC中，由勾 股定理和正方形的 为边向外作正方形，正方形的面积分别为S1,S2,S,S4.请写出关 面积公式，分别得 于S,S2,S,S4的等式. AD'=AB-BD= S-S1.AD=AC2- CD=S2-S4,所以 S-S,=S2-S4 30丨中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a+b=c2 ● 实质 由“形”得到“数” 找直角一找出图中的直角三角形或作辅助线构造直角三角形 求线段长度问 定关系一找出所求线段与直角三角形三边的关系 勾股 题的一般思路 计算—根据勾股定理计算相关线段的平方 定理 求值—判断所求数值是哪个数的平方，然后确定线段的长度 两点间距离问题 航海问题 实际 应用 折叠问题 梯子问题 侧面展开问题 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 第1课时勾股定理及其实际应用 一、勾股定理 A.7尺 B.8尺C.12尺 D.13尺 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4, BC=3,则AB的长为 ( 5 A.√5 B.5 ?尺 C.6 D.7 (第3题) (第4题) 2.已知一个直角三角形两边的长分别为6和 4.重点题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 8,则第三边的长为 ( 分别以各边的长为直径作半圆，图中阴影 A.5 部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当 B.2V7 AC=2,AB=2J5时，阴影部分的面积为 C.2√7或10 D.不确定 A.8T B.8 C.4T D.4 3.选材新风向矩尺有一种古代工匠们使用 5.如图，直线1上有三个正方形A,B,C, 的名为“矩尺”的测量工具.如图，这种 若A,C的面积分别为8和15，则B的面积 工具的形状类似于一个直角三角形.若书 为 中所描述的“矩尺”的较短的直角边长为 5尺，斜边长比较长的直角边长多1尺， 则“矩尺”的较长的直角边长为() 中小学AI教辅引领者|31 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 6.如图，在野外平地上，小李和小王同时出 9.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若 发，小李以每秒4m的速度从C点向正东 EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面 方向移动到B点，小王以每秒3m的速度 积为 从C点向正南方向移动到A点，10s后， D 两人相隔多远？ 小李北 B B A.√3 B.3 A小玉 C.√5 D.5 10.下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直 角三角形，若正方形A,B,C,D的面 7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD= 积分别为2,5,1,2，则最大的正方形 8cm,∠A=60°，∠ADC=150°，已知四 E的面积是 边形ABCD的周长为32cm,求△BCD的 B 面积. 11.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了 勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角 二、勾股定理的证明 三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 8.重点题勾股定理是历史上第一个把数与形 形.设直角三角形较长直角边长为a,较短 联系起来的定理，其证明是论证几何的发 直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为 端.下面四幅图中，不能证明勾股定理 25,则小正方形的边长为 的是 ( ) a b A.dLb B b a b a 12.勾股定理是几何中的一个重要定理.《周髀 算经》中就有“若勾三，股四，则弦五” C.ab a 的记载.由边长相等的小正方形和直角三角 形构成的图形如图(1)所示，可以利用面 32丨中小学A教辅引领者 第二十章勾股定理 积之间的关系验证勾股定理.把图(1)放 (2)如图(3)，在△ABC中，AD是BC边 入长方形M内得到的图形如图(2)所示， 上的高，AB=4,AC=5,BC=6.设BD=x, ∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D,E,F,G, 求x的值 H,I都在长方形KLMJ的边上，则长方形 KLMJ的面积为 a B 1 (2 (1) (2) 13.著名的赵爽弦图（如图(1))由四个全 三、勾股定理的应用 等的直角三角形拼成，用它可以验 14.《九章算术》中有一个问题：今有池方 证勾股定理：大正方形的面积有两 一丈，葭生其中央，出水一尺，引 种求法，一种是大正方形的面积等 葭赴岸，适与岸齐.问水深几何？ 于c2,另一种是大正方形的面积等于 如图，AC=5,DC=1,BD=BA, 四个直角三角形与一个小正方形的 则BC= 面积之和， 即号ab×4+(b-a)2, 从而得到等式c-bx4+(b-a), 化简便得结论。2+b2=c2.这样用两种求 法表示同一个量，从而得到等式或方程 的方法，我们称为“双求法 请利用“双求法”解决下面的问题： A.8 B.10 C.12 D.13 (1)把两个全等的直角三角形按如图(2) 15.选材新风向雷达图如图，规定1个单 所示的方式放置，请根据图形面积之间的 位长度代表100m,以点0为原点，n(n 关系，证明勾股定理a+b2=c2. 为正整数)个单位长度为半径画同心圆， 并将同心圆十二等分.如果一艘海洋科 考船在点O处用雷达发现A,B两处鱼群， 那么A,B两处鱼群的距离是() A.5mB.400m C.500mD.300m 北 中小学AI教辅引领者丨33 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 16.重点题《九章算术》中的“折竹抵地” C 问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地.去 0月 B 根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹 子，原高一丈（一丈=10尺)，一阵风将 2.3m 竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹 H 子底部6尺远.问折断处离地面的高度是 0.8m 多少？设折断处离地面的高度为x尺， 2m 则可列方程为 A.3.1m B.3m C.2.9m D.2.8m 19.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m, 长13m,宽2m的楼道铺上地毯.已知地 毯每平方米18元，请你帮助计算一下， 资四 铺完这个楼道至少需要 元. A.x2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2 C.x2+6=（10-x)2D.x2+62=(10-x)2 13m 5m 17.真实任务情境笔记本电脑)某数学兴趣小 组开展了笔记本电脑（如图(1）)的张 20.如图，15只空油桶堆在一起，每只油桶的 角大小的实践探究活动.如图(2)，当 底面直径均为50cm现在要给它们盖一个遮 张角为∠DAF时，点D离桌面的高度DE= 雨棚，遮雨棚的最低高度为 20cm,此时AE=15cm.小组成员调整张 角的大小继续探究，发现当张角为∠BAF 时，点B离桌面的距离BC=7cm,则AC= 21.重点题如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为 3cm、高为5cm的长方体纸箱的A点沿 B 纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短 路线的长是 (1) (2) A.13 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm 18.选材新风向隧道一辆装满货物，宽为 1.6m的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧 道下方为长方形，上方为半圆形)，则 22.如图，折叠长方形的一边AD,使点D 卡车不得高于 落在BC边的点F处，已知AB=8cm, 34|中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 BC=10cm,△ADE的面积为 24.中考新角度数形结合)如图，一条河流的 BD段的长为12km,在点B的正北方向 4km处有一个村庄A,在点D的正南方 向2km处有一个村庄E,计划在BD上 建一座桥C,使得桥C到村庄A和村庄 23.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开 E的距离之和最小.请根据以上信息， 发，现有一C处需要爆破，已知点C与 回答下列问题： 公路上的停靠站A的距离为300m,与公 (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C 路上的另一停靠站B的距离为400m,且 到村庄A和村庄E的距离之和最小？请 CA⊥CB,如图所示，为了安全起见，爆 在图中画出此时桥C的位置 破点C周围半径250m范围内不得进入， (2)求出√x+4+12-x)2+22的 问在进行爆破时，公路AB段是否因为有 最小值. 危险而需要暂时封锁？请说明理由 B 甲 中小学AI教辅引领者|35 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 知识对照 第2课时利用勾股定理进行作图和计算 一、利用勾股定理作长为√ā的线段 1.如图，根据尺规作图痕迹，图中点A 表示的数为 234 A.√2026 B.√2024 A.-5 B.2-V5 C.√2023 D.√2027 C.-2-V5 D.2+V5 5.在如图所示的数轴上画出表示-√13的点， 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2, 并说明该点表示的数是-√13. AC=1,BC在数轴上.若以点B为圆心， AB长为半径画弧，交数轴于点D,则点D 5-4-3-2-1012345 表示的数是 A B -101234 A.3-5 B.√5 C.5-3 D.3-√3 3.如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=1, AB在数轴上.若以点A为圆心，对角线AC 长为半径作弧，交数轴正半轴于点M,则点M 表示的数为 0 2 4.如图，OP=1,过点P作PP⊥OP且PP=1, 得OP=√2；再过点P作PP2⊥OP1, 且PP2=1,得OP2=√3；又过点P作 P2P3⊥OP2且P2P3=1,，得OP3=2…依 此法继续作下去，得0P22s=() 36|中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 二、利用勾股定理进行计算 11.如图，在△ABC中，CA=BC,D是BC 6.如图，△ABC的顶点A,B,C都在边长为 上的一点，AB=10,BD=6,AD=8,求 1的正方形组成的网格的格点上，CD⊥AB BC的长. 于点D,则CD的长为 B 7.重点题△ABC中，AB=AC=10,BC=16, 点D在BC边上，连接AD,若AD=√37， 则线段BD的长为 8.如图，在5×5的网格中，每个格点小正方 形的边长均为1，△ABC的三个顶点A,B, C都在网格格点上，则△ABC的边AB上 的高为 12.重点题如图，在△ABC中，AD⊥BC, 垂足为D,∠B=60°，∠C=45°. (1)求∠BAC的度数； B C (2)若AC=2,求AD的长. 8√3 A.√5 B. 5 G.45 D.25 5 5 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC 的角平分线，E为AD的中点.若BC=6, AC=5,则△BDE的面积为 B 10.中考新角度分类讨论在△ABC中，AD 是△ABC的高，AD=6,AB=6√10，AC= 6J2,则△ABC的面积为 中小学AI教辅引领者|37