第19章 二次根式 整合与提升（讲本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

【变式练习】 4.已知x,y满足x2-4x十4+√y-3=0, 3.若xy是实数，且y=√4x一I+√-4x十3， 求代数式(3.x+y)2-3(3x-y)(x+y) 求（号，+A-(F+ (x-3y)(x+3y)的值. 的值. 提示 更多相关练习见练本P12 第十九章整合与提升 A思维导图 ⊙ 定义：形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式 √a≥0(a≥0)，(a)2=a(a≥0) 性质 a(a≥0) √a=lal= a(a<0) 二次根式 √a·√b=√ab(a≥0，b≥0) 计算公式。 6 二次根式的乘除 √ab=√a·b(a≥0，b≥0) 公式的逆用 运算 最简二次根式 概念 二次根式的加减 同类二次根式 合并同类二次根式的原则 ·11· B考点突破 316任-2x√图)÷3后 考点① 二次根式的概念及性质 【例1】1)下列式子为最简二次根式的是( A.√6 B.√9 C.8 【方法点拨】合并被开方数相同的二次根式 (2)若式子a)有意义，则实数a的取值 时，根号前的因式可以看作二次根式的系 a-2 数，只需把系数相加减，这与合并同类项非 范围是 常相似.在运算时注重运算技巧，灵活运用 (3)若√x-I-√1一x=(x十y)2,则x-y 公式使计算简便 的值为 考点3二次根式的化简求值 【方法点拨】(1)由最简二次根式的定义可得 出正确答案；(2)二次根式的非负性体现在两 【制31u知a=2店，6=2+，求克 个方面：一是被开方数具有非负性；二是算术 的值. 平方根具有非负性.由a十1≥0且a-2≠0 【方法点拨】本题考查了代入求值的方法，此 可得出结果；(3)由x一1≥0且1-x≥0，且 类题一般不能直接代入，要先化简再求值： x十y=0,可得出x,y的值. 考点2二次根式的运算 【例2】计算： 13-2√+图)÷2 考点④二次根式的实际应用 【例4】如图，在长方形ABCD内，两个小正 方形的面积分别是18,2，则图中阴影部分的 面积为 (2)5(5-√15)+（√15+2√5）（√/15 18 2√3)； A.4 B.9 C.6 D.42 【方法点拨】根据两个小正方形的面积分别 是18,2，可以得到两个小正方形的边长，即 可表示出阴影部分的长和宽，然后即可计算 出图中阴影部分的面积. ·12·古·aG瓜=-abv瓜.6.①⑥7d 8解：原式=√=四②原式-√- =30 6 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 知识梳理 2.(1)最简二次根式被开方数 例题导学 【例1】Vs和√分【例2】解：1原式=45+3-E -2)原式-后+5-4v万--4反 2 3 变式练习 1D2-13解：1原式=号+5+25-号-号+ 82)原式=45-反-万+2万=85+厄 4解W4-√号+尽=2-昌万+E=2-E “-√4号十号压=a十b厄，a,6为有理数，a=2,b 是6-6=厄-√日=E-9-9 第2课时二次根式的混合运算 知识梳理 2.a-ba±2/ab+b 例题导学 【例1】解：(1)原式=3√-32-35=-3√2.(2)原式 (6-3压+)×顶=4-3v丽+85-0 3 3 -3√30.(3)原式=(60√6-16√6+2√6)÷2√6=46√6 ÷2V6=23.【例2】(1)√3+√E(2)√1T-2 【例3】解：(1)原式=8-4√6+3=11-4√6.(2)原式=5 3=2.(3)原式=(5-2√6)(5+2√6)=25-24=1.(4)原式 =[(W2+1)-√3][(W2+1)+√3=(W2+1)2-3=2+2√2 +1-3=2√2. 变式练习 1.C2.解：1)原式=(25-5)×6=号后×6 号×6=-5(2)原式=65-45)÷万-32= (-3√5)÷√3-3√2=-3-3√2.3.解：(1)原式= √1+2√3+3=√12+23+(W3)2=√(1+√3)2=1+ √5.(2)原式=√1-2√2+2=12-2√2+(W2)2= 参考答案第 √/(1-√2)2=2-1.4.解：(1)原式=1-12+3-2√5+ 1=-7-2.(2)原式=V27X3+√27×号+12-1=9 +3+12-1=23.(3)原式=(-6+3√2)（√3-√6 3√2)=(W5-√6)2-(3√2)2=3-6√2+6-18=-9 6√2.(4)原式=[(10-√T)(√0+√T)]·(√10 √)=(10-11)22（√0-√）=√0-√.5.解：x =3+√7，y=3-√7，∴x十y=6,xy=2.(1)原式=(x十y)2- 2y=60-2X2=32.(2原式=Y+工=2=16. xy 2 专题突破二次根式中常见的化简求值技巧 例题导学 【例1】解：原式=(x+1)2=(√5-1+1)2=（√3）2=3. 【例2】解：原式=a)十六x市=-1)(x+· 士-六当x=+1时，原式=后 1 3 √5+1-131 【例3】解：由题可知，号≥0且一}>0，解得x=之 将x=号代入求得>1，则1x-11--1) 亞-1x-1川-1x-1川-亚=-y= y-1 y1 3y-1 变式练习 1.14√22.解：：x=√2-√3，y=2+3,∴.x十y=(W2-√5) 十W2+3)=2√2，x-y=W2-5)-(W2+3)=-23.原式 =√(x+y)+(x-y)-4=√/(2W2)2+(-2W3)-4= √4-2√5=√3-1.3.解：由题意可知：4x-1≥0,1-4x≥ 0x=子y=3.原式=(2xE+2网）-(x匠+ 5√y)=2x反+2√y-x匠-5√y=xE-3√y =√F-3V√X8-号-3y9.4解：由题意，得 2 (x-2)2+√y-3=0.:(x-2)2≥0，√y-3≥0，∴.(x 2)2=0,√y-3=0.∴x-2=0,y-3=0.解得x=2,y=3. .(3x十y)2-3(3x-y)(x+y)-(x-3y)(x+3y)=9.x2+6.xy +y-3(3x2+2xy-y)-(x2-9y2)=9x2+6xy+y2-9x -6xy十3y2-x2+9y2=-x2十13y2.当x=2,y=3时，原 式=-22+13×32=-4+117=113. 第十九章整合与提升 考点突破 【例1】(1)A(2)a≥-1且a≠2(3)2【例2】解：(1)原 式=(65-25+4月)÷25=28÷25=兰(2)原 式=5-53+(15-12)=5-5√3+3=8-5√5.(3)原式 =(8√元-2√元)÷3√元=6√元÷3√(=2.【例3】解： 页（共55页） -a2aD-之当a=2-6,b=2+8时， 2a+2b 2(a+b) 原式2B2E-25=-6.【例1A 2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 知识梳理 1.a2+b2=c2 例题导学 【例1】解：由题意，得S梯形AcD=S△DE十S△Dr十S△B, ∠DBC=90,合a+ba+0=2ab+合c+2ab.整 理，得(a十b)2=2ab+c2..a2+b2十2ab=2ab+c2..a2+ b=c2.【例2】解：(1)∠C=90°，a=12,c=13,.由勾 股定理，得b=√Jc2-a2=J132-122=5.(2)设a=2x,b =x.∠C=90°，∴.(2x)2十x2=52,解得x=√5（负值已舍 去)..b=√5.【例3】B 变式练习 1.A2.4918 AC BC AB3.94.127.5或60 5.解：(1)BD平分∠ABC,DE⊥AB,∠C=90°，.DE=CD =6.在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AE=√AD-DE =√10-6=8.(2)设BC=x,易得BE=x,.AB=8+ x.在Rt△ABC中，AC2+BC=AB,即162+x2=(8+ ,解得x=12.BC=12.SaC=号AC,BC=号× 16×12=96.6.337.168.18 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 例题导学 【例1】解：根据题意可知AB=50m,AC=(BC十10)m.设 BC=xm,由勾股定理，得AC=AB+BC2,即(x十10)= 502十x2,解得x=120.答：该河的宽度BC为120m. 变式练习 1.C2.C3.B4.C5.1013 第3课时利用勾股定理作图与计算 例题导学 【例1】解：如图所示. -10 3 【例2】C 变式练习 1.B2.C3.5-14.D5.B 专题突破利用勾股定理解决折叠问题 例题导学 【例】解：由折叠的性质，得AF=AD=10cm,DE=EF.在 Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=√AF-AB=√I0-8 参考答案第 =6(cm).:四边形ABCD是长方形，.BC=AD=10cm. ∴.CF=BC-BF=10-6=4(cm).设EC=xcm,则EF= DE=(8-x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定理，得CF2十 EC=EF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3.∴.EC的长是 3 cm. 变式练习 1.A2.B3.15 4.解：(1)由折叠的性质，得DE=CD=√7， ∠AED=∠C=90°.在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE= √BD-DE=√42-(W7)2=3.(2)由折叠的性质，得AC =AE.设AC=AE=x.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=AC+BC”,即(x+3)2=x2+(4十√7)，解得x= 47+7.AC=47+☑ 3 3 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 知识梳理 1.a2十b2=c23.正整数 例题导学 【例1】解：(1).a2十b2=1.52十22=6.25，c2=2.52=6.25, a2十b=c2.∴.△ABC是直角三角形.(2)a2十c2=11 十20=521，=262=676，∴.a2+c2≠，∴.△ABC不是直 角三角形.(3)ab:c=25:7:24,.设a=25k(k>0), 则b=7k,c=24k...a2=(25k)2=625k2,b2十c2=(7k)2十 (24k)2=49k2+576k2=625k2..b+c2=a2.∴.△ABC是 直角三角形.【例2】①②【变式】①②④ 变式练习 1.B2.A3.C4.5,12,138,15,179,40,41 第2课时勾股定理逆定理的应用 知识梳理 1.a2十62=c22.直角 例题导学 【例1】解：：CD=16,BD=12,BC=20,且122+162=20， .△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，.△ACD是直 角三角形.设AD=x,则AC=AB=BD十AD=12十x.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2十AD2=AC,即16+ r=(12+),解得x=兰AC=12+兰-9 【例2】解：连接AC,得Rt△ACD,.根据勾股定理，得AC =AD2+CD=82+62=102,即AC=10m.又102+24 =26,即AC2十BC=AB,.△ABC是直角三角形， ∠ACB=90.Ss8=Sax-5aw=7×10X24-号× 6×8=96(m).96×100=9600(元).答：该空地绿化需要 投入9600元. 变式练习 1.B2.1203.A 3页（共55页）