第19章 专题特训 二次根式中常见的化简求值技巧&数学活动 纸张规格的奥秘-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

专题特训 二次根式中常见的化 类型个直接代入求值 方法点拨：直接代入求值时，先观察式子的特点，若 能运用乘法公式或运算律，可简化计算步骤，避免繁 琐运算 1.(1)当x=√5-1时，求代数式(x-1)(x+3) 的值； (2)(教材P20复习题T6变式)已知a=√5+2， 求代数式(9-4√5)a2-(W5-2)a+4的值. 类型2挖掘隐含条件求值 (一)巧用二次根式的双重非负性求值 2.已知√Ja-3+(b十4)2=0，则(a十b)2o35的值 为 3.已知x,y为实数，且满足y=√x一3十 √3一x十2，则x的值为 () A.5 B.6 C.8 D.9 4.若a满足|2035-a|十√a-2036=a,则 a-20352的值为 ( A.0 B.1 C.2035D.2036 12数学八年级下册人教版 简求值技巧【期末热点·回归教材】 (二)巧用√a=|a|化简求值 5.(易错题)计算√9-6π十π的结果是() A.3-元 B.3十π C.一3-r D.-3+π 6.已知1<x<2,化简√(x-1)2+|x-2|的结 果为 ( A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x 7.若a,b,c是△ABC的三边长，则化简√(c一a-b一 √(a十b+c)2的结果是 8.已知实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所 示，化简√a-|a+b+√(c-a)+lb+c. a b 0 c 类型3整体代入求值 (一)先化简，再整体代入求值 9.若x-y=√2十1，xy=√2，则代数式(x-1)· (y+1)的值为 A.2√2+2 B.2√2-2 C.22 D.2 (二)活用乘法公式变形后，再整体代入求值 方法点拨：(1)完全平方公式(a士6)2=a2士2ab千6 及其常见的变形： ①a2±2ab+b2=(a±b)2; ②a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)平方差公式(a十b)(a-b)=a2-b2的用途：常用 来分母有理化（消除分母中的根号）；其常见的变 形：a2-b2=(a十b)(a-b). 10.(教材P16习题T5变式)已知a=2一√3， b=2十√3，求下列各式的值： (1)a2-b2; (2)a2b-ab2 11.(教材P16习题T7变式)已知x十二=3，求 反+1的值. 【延伸问V丘-二的值为 √x (三)活用（√a)2=a变形后，再整体代入求值 12.逻辑推理类比探究)（教材P20复习题T5变 式)请阅读下列材料： 问题：已知x=√5十2，求代数式x2一4x一7 的值， 小明根据二次根式的性质：（√a)2=a,想到 了以下解题方法： .x=√5+2，∴.x-2=√5. 两边平方，得(x-2)2=(W5)2. .x2-4x+4=5. .x2-4x=1. 把x2一4x作为整体代人，得x2一4x一7= 1一7=一6，即把已知条件适当变形，再整 体代入解决问题， 仿照上述方法解答下列问题： (1)【一题多解】已知x=√10-3，求代数式 x2十6x一8的值； 知4=求代敏式+8x的位， 第+九章二次根式13 数学活动 【项目素材】如图，按照国际标准，A系列纸为 长方形，其中A0纸的面积为1m,将A0纸沿 长边对折、裁开，得到两张A1纸；将A1纸沿 长边对折、裁开，得到两张A2纸；将A2纸沿 长边对折、裁开，得到两张A3纸…将An纸 沿长边对折、裁开，得到两张A(n十1)纸， A2 A4 A ASAS A3 【初步探究】查阅资料知纸张的规格如下： 规格 A0 A1 A2 A3 A4 长/mm 1189 841 594 420 297 宽/mm 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.42 1.41 (保留两位小数) 请计算A3,A4纸的长宽比，并填在上面表格 中，通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比为 一个固定的无理数.请你猜想这个无理数为 【验证猜想】小明所在的研究小组通过折叠A4纸 的方式（如下图）找到了证明该猜想的方法，请你 借助该方法求出A4纸的长与宽的比值， 【进阶问】若A4纸的长为a,宽为b,将A4纸沿 长边对折、裁开，得两张A5纸，结合上面的验 14数学八年级下册人教版 纸张规格的奥秘 证结论，求A5纸长与宽的比值. 【类比归纳】A系列纸以 为固定长宽比， 沿长边对折后，新纸与原纸比例完全一致，仅 面积 、尺寸编号加1. 【拓展探究】不难发现：将一张标准纸(A4纸)按 如图所示的方式一次又一次对折后，所得的长 方形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD, AB=1,BC=√2，则第5次对折后所得标准纸的 周长是 第护对拥 第2按对折第3按对葫 【背景延伸】按国际标准，复印纸幅面规格分为 A系列和B系列，前者更常用（比如日常办公、 打印、文档、书籍等)，后者多用于特殊场景（比 如海报、画册等). 【延伸探究】已知B4纸的尺寸为250mm× 353mm.B5纸是B4纸沿长边对折得到的.计 算B4纸和B5纸的面积，求出B4纸与A4纸、 B5纸与A5纸的面积的比值. 【归纳】尺寸编号相同的B系列纸的面积为A 系列纸面积的 倍。参考答案 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 1.B2.23.D4.3 5.解：(1)x≤0.(2)x<8. 6.m+107.2√58.C9.x>3且x≠5 10.解：由x-2≥0，且6-3x≥0，得x=2.y=3.x十y=5. 1.解：(1)根据题意，设d=k.将d=40,0=20代人，得40=202，解得k=0d= .。-10.(2)当d-25.5时，0-V-V0X255=V25 第2课时二次根式的性质 1.C2.23.-34.C5.(1)(W7)2 a(√)】 2 (3)(√x)2 6.解：1)原式=4.(2②)原式=号(3)原式=0.6（④）原式=63. 7.C8.C9.C 10.解：1D原式=-8.(2)原式=7.(3)原式=0.36，(4原式=-分(5)原式=x-3. (6)原式=子 11.D【变式题】C12.B13.(1)-3(答案不唯一)(2)5 14部：1)原式-号号引+号-（导合）十号-合②）照式=20-3x号=18 15.解：由数轴可知a<0,b>0,.a-b<0..原式=|a-|b-|a-b|=(-a)-b+a -b=一2b. 16.解：原式=|a十1|十a-3.当a<-1时，原式=-a-1十3-a=-2a十2=6，解 得a=-2;当-1≤a≤3时，原式=a十1十3-a=4≠6，等式不成立；当a>3时，原式= a十1十a-3=2a-2=6,解得a=4.∴.a的值为-2或4. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 1.B2.D3.1615 4解：(1原式=V1=10,(2)原式=-合×=-1.(3)原式=2√6x写=2 2111 (4)原式=√3X6=√g=: 5.C6.B7.A 8.解：(1)原式=√400×3=√400×3=20√3.(2)原式=√49×√121=7×11=77. (3)原式=√/14X14X42=√/14×4×√2=14×2×√2=28√2.(4)原式=√9·√· √元·√y=3·x·√E·y=3.xyWE. 9.B10.C11.10W2 12.解：1原式=9×()×V18X=-是V18X3=-275.(2)原式=√月 /6 x2,5×()-2x(）×V×8x10=-6 13.解：p=号×6+6+)=9，S=V9X(9-5X9一6X9-万=V9X4X3X2= √§X√4X√6=6√6. 14.解：(1)7×9(2)第⑦个等式为√(4n2+1)2-(4n)=(2n-1)(2n+1).证明如下： √(4n2+1)2-(4n)z=√(4n2+1-4n)(4m2+1+4n)=√(2n-1)2(2n+1)F= √(2n-1)7·√(2n+1)z=(2n-1)(2n+1). 第2课时二次根式的除法 1.a1536(②号是号号22B3B 4解：1原式=√窖=斤，(2)原式=√厚==8(3原式=√侣×要=v丽= 1 2w原式=哥-受 5.A 6.解：(1)原式= 焉品激式-层-层⑧源式-震-等 9a3a2, (4)原式=Y2西×V25x5-5×55_25v5 √196 14 14 7.B 8解(1原式=√92)原式=√=四(8)原式-得 22V22 (4)原式= √22×0=⑤ 3×2√106√10×√1030 9.D10.D11.(1)2√3(2)212.2√3 13,解：(1)原式=-0@=-602V匹=-3a.(2②原式=-号√受=-号 √2a·w2a 2a ×-1.(3)原式=合×4×2√6×12x7-3V=18 √4 14.解：)A=60m4=√臣-√2=25(9.六该物品落地的时间为25 (2该玩具最低的下落商度=10-64(m.1=√昏-√-85≈4(s) 64 5 最少经过4s落地就可能会伤害到楼下的行人. 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 1.C2.B3.A4.(1)33(2)0 5.解：(1)原式=3√7-√7=2√7.(2)原式=4√+8√=12√元.(3)原式=3V3-√2- 2√3=√3-√2. 6.解：(1)③(2)原式=3√2+3√5+5√2=8√2+3√3. 7.12W5 8.解：d2-d1=7×√30-12-7×√20-12=21√2-14√2=7√2(cm).答：d2与d1的 差为7√2cm. 9.C10.C 1.解：(1)原式-3厅-3厄-2+月=4v月-5反.(2)原式-5×号+号×25+ 号×25-5+5+5=8v5.(8)原式=32-5y5-号+29-反-反 32 3 12.解：(1)由题意，得正方形AEFG的边长为√I92=8√3(cm),.AD=83-2√3= 6√3(cm),AB=83-7√3=√3(cm)..长方形木板ABCD的长为6√3cm,宽为W3cm. (2)长方形木料的长为12÷9=46(cm.:46=V丽，6=V10s5=平， 2, 4v厅<6V3,<3.能栽出符合条件的长方形木料. 13.解：(1原式=6×写-5x5-2v5+2×25=26-后-26+5=0.(2)设原 3 题中的■是a,则原式-a…-5x9-2v6+宁×25=写写。后-26十 5=。=5当，解得a=识原题中的“■是识 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.(1)3√6(2)2 3.解：①原式=25-5=.(2)原式=8×-√合×=4-1=3.(3)原式=2 -5+2√3-3=-1+3.(4)原式=3V3×2×2W2-6V2=12√2-62=62. 3 4.B5.(111+20√1)π6.(1)a(a-2)(2)6 —2 7.解：1原式=1-25+3+23=4.2)原式=68)-(23同)=8-是-翠 (3)原式=3-6√2+6+9-12=6-6√2. 8.C9.A10.36+6√3 11.解：(1)原式=(W5+√5⑤)(3-√5)=(3十√5)(3-√5)=9-5=4.(2)原式=(3√3-3 ×9)=5xv万-4+45+5》=2÷月x25-0+4=45-g-45-g 12.解：(1)ab=(W5+2)(W5-2)=5-4=1.(2),a=√5+2，b=√5-2，∴.a+b=(w5+ 2)+(W5-2)=2√5.∴.a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(2√5)2-3×1=17. 13.解：(1)√n+I-√m(2)原式=（√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2037- W2036)×(√2037+1)=（√2037-1）×（√2037+1）=2036. 专题特训二次根式中常见的化简求值技巧【期末热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(5-1-1)(W5-1+3)=(5-2)(W5+2)=5-4= 1.(2)当a=√5+2时，原式=(9-45)（√5+2）2一（√5-2）（√5+2）+4=(9-4√5)(9 +4√5)-(5-4)+4=81-80-1+4=4. 2.-13.D4.D5.D6.B7.-2c 8.解：由数轴，得a<0,a十b<0,c-a>0,b十c<0.∴.原式=-a十(a十b)十c-a-b-c =-a. 9.C 10.解：：a=2-√3，b=2+√3，.a+b=4,a-b=-2√3，ab=1.(1)原式=(a+b)(a b)=4×(-2W3)=-8√3.(2)原式=ab(a-b)=1X(-2√3)=-2√3. 1解+=8(+方)》=++2-5计>0+后6 x 【延伸问】士1 12.解：(1)x=√10-3，.x+3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√10)2，即x2+6x+ 9=10.x2+6x=1.x2+6x-8=1-8=一7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将 代数式x2+6x一8变形为(x十3)2一17，再将x十3=√10整体代入求值.(2)，x= 52x=5-12z+1=5.两边平方，得2x+1》=5,即+r+1 5..4x2+4x=4,即x2+x=1.∴.x2+3x=x2+x+2x=1+2x=V5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2 【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,∴∠B=90°，AB=BE.AE= VAB+BE-EAB第二次折叠，得AD=AE=EAB品-验-E.即AM纸 的长与宽的比值为√2. 【进阶问】解：由题意，得A5纸的长为b,宽为分.”a:b=√瓦，a=26.b:合=b: =2.∴A5纸长与宽的比值为V 2 【类比归纳√瓦减半 【拓展探究】片 【延伸探究】解：由题意，得B4纸的面积为250×353=88250(mm2).B5纸的面积为 S4纸÷2=44125(mm2).A4纸的面积为210×297=62370(mm2).A5纸的面积为 SA纸÷2=31185(mm2).∴S纸：SA4版=88250：62370≈1.4≈√2，Ss纸：SA5纸= 44125:31185≈1.4≈√2. 【归纳√2 第十九章归纳与提升 思维导图梳理 Va(a≥0)分母能开得尽平方的因数或因式a(a≥0)1u=(a(a≥0)， -a(a<0) √ab 最简二次根式被开方数相同 —3