专题一 二次根式中常见的化简求值技巧&数学活动 纸张规格的奥秘-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）云南专版

专题一二次根式中常见的化简求值技巧【云南热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(5-1+3)=(W5-2)(W5+2)=5-4= 1.(2)原式=a2-7-a2+2a=2a-7.当a=√5十1时，原式=2×(W5+1)-7=2√5 5.(3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(2+1)2+(1-√2)（√2+1）=(3-2√2)(2+ 2√2+1)+(1-√2)(1+十√2)=(3-2√2)(3+2√2)十(1-√2)(1+√2)=9-8+1-2=0. 2.D3.D4.解：由题意，得26≥0解得r=3.y=0+0+4=4,-y 6-2x≥0， =(3-4)2025=(-1)225=-1.5.C6.B7.-2c8.C9.解：(1)：m=5十2√6， n=5-2√6，.m十n=5+26+5-2√6=10，m-n=5+2W6-5+2√6=4W6,∴.m2 n2=(m十n)(m-n)=10×4√6=40√6.(2)m-n=5+2√6-5+2√6=4√6，.m2 2m十=(m-n)2=(46)=96.10.解：：x+y=5+2十5-2 √5-√2 3+√2 5+后历十5+月历=-E++E=25.y5+2 B-万5+V26W5-@1x+3xy+y=(x+0+xy=(2+1=12+1 1 =13.11.解：(1)：x=√10-3，∴.x十3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√10）2，即 x2十6x+9=10.x2十6x=1..x2十6x-8=1-8=-7.另解：还可采取类型3（二）的 方法，将代数式x2十6x-8变形为(x十3)2一17，再将x十3=√0整体代入求值. （2)x=5,,“2x=5-1.∴2x+1=5.两边平方，得(2x+1)=(5),即4x十 2 4x十1=5...4x2+4x=4,即x2+x=1...x2+3x=x2十x+(2x十1)-1=1十√5-1=5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB',∴∠B =90°，AB=BE.AE=√AB+BE=√2AB.第二次折叠，得AD=AE=√EAB. :.AD=②AB-2即A4纸的长与宽的比值为，反.【进阶问】解：由题意，得A5纸的 AB AB 长为6，宽为受.：a:b=Ea=E66:号=b:受-反.A纸长与宽的比值 2 为厄。【类比归纳减半【拓展探究】牛P【延伸探究】解：由题意，得B1纸的 面积为250×353=88250(mm2).B5纸的面积为Sm纸÷2=44125(mm2).A4纸的面 积为210×297=62370(mm).A5纸的面积为SA纸÷2=31185(mm).∴.S纸：S4纸 =88250:62370≈1.4≈√2，Ss纸：SA5=44125:31185≈1.4≈√2.【归纳V2 第十九章章末复习 思维导图 a(a>≥0)分母能开得尽平方的因数或因式aa一a√a而√合 被开方数 相同 考点整合 1.C2.D3C4.D5.(1)1(2)06.D7.B8A9.2210.-E+5 4 1,解：1)原式=2厅-2+45-55=-反.(2)原式=-2×V27×写×哥 5 -2.(3)原式=4-(W)+⑧÷5-16÷5=16-7+4-2=13 反.12.D13.12后14.解：1)当=98时4=√=而=2后.(2这个 /2h 玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下：当t=4时，4=√g.8,解得h=78.4. 10×0.1×78.4=78.4>65,.这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人. 聚焦课标 15.解：(1)①√7-√6 √2n+1-√2n-I 2 ②2-√51-√-1(2)原式=√2-1十 第4页（共48页） √5-√2+√4-√5+…+√2025-√2024=√/2025-1=45-1=44.(3)原式= 1 万六后-后+万-万万 1一=B+」-5+3+万+5-+五= 2 2 2 2 5+1-5-3+万+5-3-7=22=-1. 2 2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 新知梳理 a2+b2=c2 例题引路 【例1】解：在△ABC中，：∠C=90°，∴.a2+b2=c2.(1):a=8,b=15,c=√a2+b= 17.(2):c=25,a=7,.b=√C-a=24.(3)设a=3x,则b=4x.∴.(3x)2十(4x)= 40,解得x=8(负值已舍去).∴.a=24,b=32. 易错典例 【例2】13或√119 基础过关 1.C2.C3.4913 AC BC AB4.D5.B6.解：CD⊥AB,∴.∠ADC= ∠BDC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AC-AD=√17-15=8， BC=√BD+CD=√(45)2+82=12. 能力提升 7.C8.C9.B10.3611.解：AD⊥BC,∴.∠ADC=∠ADB=90°.∠B=60°， ·.∠BAD=30.·BD=号AB=2.在R△ADB中，AD=VAB-BD=2W.在 R△ADC中，CD=V√AC-AD=4.∴BC=BD+CD=6.·△ABC的面积为号BC· AD=65. 思维拓展 12.解：(1)，正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成， AB=c,BE=a,AE=6(6>a)c=4Xab+(b-a),整理，得a2+b=c.(2)直 1 角三角形ABE的面积为54，c=15,乞ab=54,a+6=c2=152=225.ab=108. ∴.小正方形EFGH的面积为(b-a)2=a2十b-2ab=225-2×108=9,.小正方形 EFGH的边长为3. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 例题引路 【例1】解：连接AM.由题意，得OC=AA'=3m,OM=21m,∴.CM=OM-OC=18m.在 Rt△ACM中，AM=√AC+MC=6√10m.6√I0<20,∴.云梯的长度足够. 易错典例 【例2V6 基础过关 1.B2.B3.50√54.65.解：CD⊥BD,∴∠D=90°.在Rt△ADC中，AD= √AC-CD=l0√3m.在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=30√3m.∴.AB=BD-AD =20√5m.答：A,B两个凉亭之间的距离为20√3m. 能力提升 6.A7.2.6m8.解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=4m,BC=12m,.AB= √BC-AC=√I2-4=8√2(m).:工作人员以1m/s的速度收绳，7s后游船移动 到点D处，∴.CD=12-1×7=5(m).在Rt△ACD中，AD=√CD-AC=√5-4F= 3(m),∴.BD=AB-AD=(8√2-3)m. 思维拓展 9.解：(1)由题意，得∠ABD=90°.设AB=xm,则AD=(x十2)m.在Rt△ABD中， AB+BD=AD,即x2十8=(x十2)，解得x=15.答：旗杆的高度AB的长为15m 第5页（共48页） A 2)由(D,得AD=17m,AB=15m,如答图，答图延长BA至点A',使AA'=4m 连接A'D,则A'B=A'A+AB=19m.在Rt△A'BD中，A'D=JA'B+BD=5√17 ≈20.6(m).20.6-17=3.6(m).答：绳子至少要加长3.6m 第3课时利用勾股定理作图与计算 基础过关 1.A2.(-1,0)3.C4.AC5.606.20 能力提升 7.D8.D9.A10.解：连接BD.由题意可知a=AB2,b=BC2,c=CD,d=AD,在 Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=AD2+AB=CD2+BC,即a十d=b +c.a+d=12,.b+c=12. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图， 点E和点F即为所求.任务活 42.13g4 动2：解：在Rt△ABC中，AC=√十1严=√2，同理，得AD=√W2)2+1P=,AE= √(W3)2十1=2，AF=√2+1严=√5.由题意知AP=AF=√5.∴.点P表示的数为 一√5.任务活动3：(1)解：如图， 点P即为所求.(2)√5-1 P 32-1023 任务活动4：解：(1)√2-√2(2)①如图③所示.☑ ②如图④， 点A表示-3十√5，点B表示-0.5..-0.5>-3十5. -4-3-2-1012 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·云南热点】 1.62.子3解：过点A作AD1BC交BC的延长线于点D.在R△ABD中，由勾股 定理，得AD=AB-BD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC-CD.∴AB -BD=AC-CD,即202-(7+CD)2=152-CD,∴.CD=9..AD=√AC-CD =12.即点A到BC的距离是12.4.D5.B6.D7.C8.A9.310.1.5m 11.3.7512.解：设木杆断裂处B离地面的高度AB为xm,则BC=(16-x)m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB+AC2=BC,即x2十82=(16-x)2,解得x=6.答： 木杆断裂处B离地面的高度AB为6m.13.解：设BE=xkm,则CE=BC-BE= (16-x)km.:AB⊥l,DC⊥l,∴.∠ABE=∠DCE=90°..EA2=AB2+BE,ED= CD十CE,:调运站E到A,D两个村庄的距离相等，∴.EA=ED.AB十BE=CD 十CE,即82十x2=122十(16-x),解得x=10.5.∴.BE=10.5km.答：此时调运站E 到村庄B的距离为10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 基础过关 1.C2.解：(1)：a2=676,b=100,c2=576,.b2十c2=a2..此三角形是直角三角形， ∠A是直角.(2)：a2=4,b2=3,c2=7,∴a2十=c2.∴此三角形是直角三角形，∠C 是直角.3.证明：根据勾股定理，可得AB=22十22=8，AC=3+3=18,BC=1 十5=26.，AB2+AC=BC,∴.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°..AB⊥AC. 4.C5.8 能力提升 6.C7.6和10（或15和17）8.解：(1)根据题意，得AB=√(8-2)2十[2-(-1)]2 =3√5.(2)根据题意，得CD=√2-(-2)十(3-0)=5，DE= 第6页（共48页）专题一二次根式中常见的化简 类型1直接代入求值 名师点拨：直接代入求值时，先观察式子的特点，若 能运用乘法公式或运算律，可简化计算步骤，避免繁 琐运算 1.(1)当x=√/5-1时，求代数式(x-1)(x+3) 的值； (2)先化简，再求值：(a-√7)(a十√7)-a(a- 2),其中a=√5+1； (3)(教材P20复习题T6变式)已知a=√2+1， 求代数式(3-2√2)a2+(1-√2)a的值. 12数学Ⅱ八年级下册 求值技巧【云南热点·回归教材】 类型2挖掘隐含条件求值 (一)巧用二次根式的双重非负性求值 2.若√x-1十√x十y=0,则x2025十y2026的 值为 ( A.-1B.0 C.1 D.2 3.若a满足|2025-a十√a-2026=a,则 a-20252的值为 () A.0 B.1 C.2025D.2026 4.已知y=√2x-6十√6-2x+4,求(x一 y)2o25的值. (二)巧用√a=|a化简求值 5.已知0<m<10,则化简√(m-10)的结 果是 ( A.m-10 B.m+10 C.-m+10 D.-m-10 6.（昆明期末)实数a,b在数轴上的位置如图所 示，则√(b-a)z+(√b)-a化简的结果是 0 A.0 B.26 C.-2a D.26-2a 7.若a,b,c是△ABC的三边，则化简√(c一a一b)严一 √(a+b+c)的结果是 类型3整体代入求值 (一)先化简，再整体代入求值 8.若x-y=√2+1，xy=√2，则代数式(x-1)· (y+1)的值为 () A.2√2+2 B.2√2-2 C.2√2 D.2 (二)活用乘法公式变形后，再整体代入求值 名师点拨：(1)完全平方公式(a士b)2=a2士2ab+b2 及其常见的变形： ①a2±2ab+b2=(a±b)2; ②a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab: (2)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的用途：常用 来分母有理化（消除分母中的根号）；其常见的变： 形：a2-b2=(a十b)(a-b). 9.(教材P16习题T5变式)（昆明期中）已知 m=5+2√6，n=5-2√6. (1)求m2-n2的值； (2)求m2-2mm十n的值. 10.已知x= 1 1 3+2'y=3-2 ,求代数式x2十 3.xy十y2的值. 三)活用（√a)=a变形后，再整体代入求值 11.类比探究新趋势（教材P20复习题T5变 式)请阅读下列材料： 问题：已知x=√5+2，求代数式x2一4x一7 的值. 小明根据二次根式的性质：（√a)2=a,想到 了以下解题方法： .x=√5+2，.x-2=5. 两边平方，得(x一2)2=（√5）2. .x2-4x+4=5. .x2-4x=1. 把x2一4x作为整体代入，得x2一4x一7= 1一7=一6，即把已知条件适当变形，再整 体代入解决问题. 仿照上述方法解答下列问题： (1)【一题多解】已知x=√10-3，求代数式 x2+6x-8的值； （2E知=5，求代数式产+的值。 第十九章二次根式13 数学活动 纸 【项目素材】如图，按照国际标准，A系列纸为 长方形，其中A0纸的面积为1m,将A0纸沿 长边对折、裁开，得到两张A1纸；将A1纸沿 长边对折、裁开，得到两张A2纸；将A2纸沿 长边对折、裁开，得到两张A3纸…将A纸 沿长边对折、裁开，得到两张A(n十1)纸。 A2 A4 A A3 【初步探究】查阅资料知纸张的规格如下： 规格 A0 A1 A2 A3 A4 长/mm 1189 841 594 420 297 宽/mm 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.42 1.41 (保留两位小数》 请计算A3,A4纸的长宽比，并填在上面表格 中，通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比为 一个固定的无理数.请你猜想这个无理数为 【验证猜想】小明所在的研究小组通过折叠A4纸 的方式（如下图）找到了证明该猜想的方法，请你 借助该方法求出A4纸的长与宽的比值， 【进阶问】若A4纸的长为a,宽为b,将A4纸沿 长边对折、裁开，得两张A5纸，结合上面的验 14数学Ⅱ八年级下册 张规格的奥秘 证结论，求A5纸长与宽的比值. 【类比归纳】A系列纸以 为固定长宽比， 沿长边对折后，新纸与原纸比例完全一致，仅 面积 、尺寸编号加1. 【拓展探究】不难发现：将一张标准纸(A4纸)按 如图所示的方式一次又一次对折后，所得的长 方形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD, AB=1,BC=√2，则第5次对折后所得标准纸的 周长是 第滨对 第2滨对插第3筑对辑 【背景延伸】按国际标准，复印纸幅面规格分为 A系列和B系列，前者更常用（比如日常办公、 打印、文档、书籍等)，后者多用于特殊场景（比 如海报、画册等). 【延伸探究】已知B4纸的尺寸为250mm× 353mm.B5纸是B4纸沿长边对折得到的.计 算B4纸和B5纸的面积，求出B4纸与A4纸、 B5纸与A5纸的面积的比值. 【归纳】尺寸编号相同的B系列纸的面积为A 系列纸面积的 倍