专题一 二次根式中常见的化简求值技巧&数学活动：纸张规格的奥秘-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）陕西专版

专题一二次根式中常见的化简 类型1直接代入求值 名师点拨：直接代入求值时，先观察式子的特点，若 能运用乘法公式或运算律，可简化计算步骤，避免繁 琐运算. 1.(1)当x=√/5-1时，求代数式(x-1)(x+3) 的值； (2)(2025·西安高陵区校级月考)先化简， 再求值：(a-√3)(a十√3)-a(a-√5)，其 中a=5+2: (3)(教材P20复习题T6变式)已知a=√2+1， 求代数式(3-2√2)a+(1-√2)a的值. 12数学N八年级下册 求值技巧【陕西热点·回归教材】 类型2挖掘隐含条件求值 (一)巧用二次根式的双重非负性求值 2.若√x-I+√x十y=0,则x2025+y2026的 值为 A.-1B.0 C.1 D.2 3.若a满足|2025-a|+√a-2026=a,则 a-20252的值为 () A.0 B.1 C.2025D.2026 4.(2025·安康月考)已知x,y为实数，y= P—9+√9-乏+2，则3x十y的值为 x-3 (二)巧用√a=|a化简求值 5.已知0<m<10,则化简√(m一10)的结 果是 ( ) A.m-10 B.m+10 C.-m+10 D.-m-10 6.若a,b,c是△ABC的三边，则化简√/(c一a一b)一 √(a十b十c)的结果是 7.（2025·西安雁塔区期未)实数a,b在数轴上 的位置如图所示，化简：√/(a+1)严 √(b-1)z-√(a-b)z. a b -2 -1 0 2 类型3整体代入求值 (一)先化简，再整体代入求值 8.若x-y=√2+1，xy=√2，则代数式(x-1)· (y+1)的值为 () A.2√2+2 B.2√2-2 C.2√2 D.2 (二)活用乘法公式变形后，再整体代入求值 名师点拨：(1)完全平方公式(a士b)2=a2士2ab十b 及其常见的变形： ①a2±2ab+b2=(a±b)2; ②a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)平方差公式(a十b)(a-b)=a2-b2的用途：常用 来分母有理化（消除分母中的根号）；其常见的变 形：a2-b2=(a十b)(a-b). 9.(教材P16习题T5变式)(2025·韩城期末) 已知x=2十√2，y=2-√2，求x2-2xy+y 的值. 10.已知x=一1 1 5十2=5-2 ，求代数式x2+ 3xy+y2的值. 三)活用（√a)=a变形后，再整体代入求值 11.类比探究新趋势（教材P20复习题T5变 式)请阅读下列材料： 问题：已知x=√5+2，求代数式x2-4x一7 的值。 小明根据二次根式的性质：（√a)2=a,想到 了以下解题方法： x=√5+2，x-2=√5. 两边平方，得(x一2)2=（√5）2. .x2-4x+4=5. x2-4x=1. 把x2一4x作为整体代入，得x2一4x-7= 1一7=一6，即把已知条件适当变形，再整 体代入解决问题. 仿照上述方法解答下列问题： (1)【一题多解】已知x=√10-3，求代数式 x2+6x-8的值； （2儿知=5，求代数式2+3的值。 第十九章二次根式13 数学活动 纸 【项目素材】如图，按照国际标准，A系列纸为 长方形，其中A0纸的面积为1m,将A0纸沿 长边对折、裁开，得到两张A1纸；将A1纸沿 长边对折、裁开，得到两张A2纸；将A2纸沿 长边对折、裁开，得到两张A3纸…将A纸 沿长边对折、裁开，得到两张A(n十1)纸。 A2 A4 A A3 【初步探究】查阅资料知纸张的规格如下： 规格 A0 A1 A2 A3 A4 长/mm 1189 841 594 420 297 宽/mm 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.42 1.41 (保留两位小数) 请计算A3,A4纸的长宽比，并填在上面表格 中，通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比为 一个固定的无理数.请你猜想这个无理数为 【验证猜想】小明所在的研究小组通过折叠A4纸 的方式（如下图）找到了证明该猜想的方法，请你 借助该方法求出A4纸的长与宽的比值， 14数学N八年级下册 张规格的奥秘 【进阶问】若A4纸的长为a,宽为b,将A4纸沿 长边对折、裁开，得两张A5纸，结合上面的验 证结论，求A5纸长与宽的比值. 【类比归纳】A系列纸以 为固定长宽比， 沿长边对折后，新纸与原纸比例完全一致，仅 面积 、尺寸编号加1. 【拓展探究】不难发现：将一张标准纸(A4纸)按 如图所示的方式一次又一次对折后，所得的长 方形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD, AB=1,BC=√2，则第5次对折后所得标准纸的 周长是 第滨对折第2滨对折第3滨对捅 【背景延伸】按国际标准，复印纸幅面规格分为 A系列和B系列，前者更常用（比如日常办公、 打印、文档、书籍等)，后者多用于特殊场景（比 如海报、画册等) 【延伸探究】已知B4纸的尺寸为250mm× 353mm.B5纸是B4纸沿长边对折得到的.计 算B4纸和B5纸的面积，求出B4纸与A4纸、 B5纸与A5纸的面积的比值. 【归纳】尺寸编号相同的B系列纸的面积为A 系列纸面积的 倍.能力提升 8.C9.C10.311.解：1)原式=(3√5+32)-(2V5-52)=35+32-2W5+52=5+8√2.(2)原式=23-√2-√3 +2=5+E.(3)原式-3+3×屋+2x…压=33x++23=6V.12.解：V厄+Vm=25+35 =5√3=√7(dm).:9=√8T>√7，√27<2√12=√48,7=√49>√48，∴.能够在这块木板上裁出一个面积为27dm和两个 面积均为12dm2的正方形木板. 思维拓展 13.解：1原式=6×-5×号-25+号×2后=26-后-26+后=0.2设原愿巾■的值是a则a…5-5×誓-26 5 +号×2后-5。-后-26+后-9÷（信4-2）5-合a-2=号解得a=点.原题中■的值是号 第2课时二次根式的混合运算 例题引路 解：1)原式=6+√2m=4+26.(2)原式=43÷25-36÷25=2-32.(3)原式=(6-2=6-4=2.(4)原式= 2 (23)2-2×2√5×√2+(W2)2=12-4√6+2=14-4√6. 基础过关 1C214E(253解：原式=√4x号-√层X6=2-3=-12)原式=3万-26+2÷5=(5后-26 ÷5=5-22.(3)原式=18+66-66-12=6.(4原式=45_35-√40=1-20=-19.4.B5.(1)6-42 √5 (2)-176.解：(1)原式=27+36√2+24=51+36√2.(2)原式=(3√7)2-(5√2)=63-50=13. 能力提升 7.B8c,.A10解：1)原式-（合×2万+6×号-8×写）-=(+2厄-4)÷亿=2÷E=-1.2原式=5- 53+15-12=8-5√3.11.解：剩余部分的面积为(2√6+√5)X(2√6-√5)-（√6-√5）=(2√6)2-（√5）2-[（√6）-2√6× √5+(5)]=(24-5)-(6-2√/30+5)=19-(11-2√30)=8+230. 思维拓展 12.解：(1)√+I-√m(2)原式=(W2-1十√/3-√2+√-√3+…十√2037-√/2036)×（√/2037+1）=（√/2037-1）×（√/2037 +1)=2036. 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【陕西热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(√5-1十3)=(W5-2)(W5+2)=5-4=1.(2)原式=a2-3-a2+/5a=√5a-3.当a =5+2时，原式=5×(5+）-3=5+5-3=2+号.(3)当a=+1时，原式=3-22)w2+1D+1-@w2+1) (3-2√2)(2+2√2+1)+(1-√2)(1+√2)=(3-22)(3+2√2)+(1-2)(1十√2)=9-8+1-2=0.2.D3.D4.-75.C 6.2c7.解：根据数轴，得-1<a<0<b<1,∴a十1>0，b-1<0,a-b<0..原式=|a十1|-1b-1|-|a-b1=a十1十b-1十a-b =2a.8.C9.解：：x=2+2,y=2-√2，∴x2-2xy十y2=(x-y)2=(2+√2-2十√2)2=(2W2)2=8.10.解：x十y= 1 1 √尽-√2 3+√2 1 1 g+EEE5+5②E+E-28义后十2y5E+②6E1x+3z -X- y2=(x十y)2+xy=12+1=13.11.解：(1)：x=V√10-3，.x十3=√10.两边平方，得(x十3)=（√/10）2，即x2+6x十9=10. .x2十6.x=1.∴.x2十6x一8=1一8=-7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将代数式x2十6x一8变形为(x十3)一17，再将x十3= 整体代人求值，(22=厅-1.2叶1=5.两边平方，得2x+1=(5,即4r+4红+1=5.4r+4红= 4,即x2+x=1..x2+3x=x2+x十(2x+1)-1=5 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB',∴.∠B=90°，AB=BE.∴.AE=√AB+BE区= 第3页（共48页） EA以第二次折叠，得AD=A北=AB吕=器=反即A纸的长与宽的比值为反。【进阶同据：由题意，得AG纸的长 为6，宽为号a:6=厄，a=a6:兰=6：受-反.“A5纸长与宽的比值为反：【类比归纳疗【拓展探究1诚半 2 2十E【延伸探究】解：由题意，得B4纸的面积为250×353=88250(mm2).B5纸的面积为S÷2=44125(mm),A4纸的面积 4 为210X297=62370(mm2).A5纸的面积为S饿÷2=31185(mm2).∴.S刷纸：S4纸=88250：62370≈1.4≈√2，Ss纸：S纸= 44125:31185≈1.4≈√2.【归纳V2 第十九章章末复习 思维导图 瓜(a≥0)分母能开得尽方的因数或因式aa-aa品√侣 最简二次根式被开方数相同 考点整合 1.B2.B3.x>3且x≠20254.-3aV-3a5.1)1(2)06.D7.B8.229.-E+y5 4 10.解：(1)原式=3√一 65+45=.(2)解：原式=-2x√7×号×哥=-2瓜.(8)原式-√厚+√得-√写×27=2+厄-3=反-1（解 原式=5-4√5+4-6-(3-√5)=5-4W5+4-6-3+√5=-3√5.11.C12.12√513.解：(1)由题意，得正方形AEFG的边 长为√192=83(cm),.AD=8√5-2√5=65(cm),AB=83-7√3=3(cm).∴.长方形木板ABCD的长为63cm,宽为5cm. (2②)长方形木料的长为12÷=45m.:45=V丽，6厅=V丽w后-平45<6，<.能我出符合条件的长 2 方形木料. 聚焦课标 14.解：0)07-62m+T,2m亘@2-51-可(2)原式=E-1十g-2+m-5+…+√/2025-/202 2 =20西-1=45-1=4.(3)原式=后六后-店+万-万万-万 1一=B+1-5+E+万+E_+反- 2 2 2 2 +1-5-+7+5-3-亚-号=-1 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 新知梳理 a+8=c 例题引路 【例1】解：在△ABC中，∠C=90°，.a2十6=c2.(1)a=8,b=15,c=√/a+b=17.(2)c=25,a=7,∴.b=√2-a=24. (3)设a=3x,则b=4x.∴.(3x)2十(4x)2=402,解得x=8(负值已舍去).∴a=24,b=32. 易错典例 【例2】13或√119 基础过关 1.C2.4913 AC BC AB3.D4.B5.解：AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°.AD=DB=3,BC=5,..CD=BC -BD=5-3=2.∴AB=√AD+BD=3√2，AC=√/AD+CD=√I3. 能力提升 6.A7.C8.V9.3610.解：AD1BC.∠ADC=∠ADB=90.:∠B=60,∠BAD=30.∴BD=合AB=2.在 R△ADB中，AD=√AB-BD=2.在R△ADC中，CD=√AC-AD=4.∴BC=BD+CD=6.∴△ABC的面积为号BC· AD=6√3.1L.解：设PA=PB=x,则CP=5-x.在Rt△ACP中，根据勾股定理，得AC十CP2=PA,即22十(5-x)2=x2,解得 x器PA的长为器 第4页（共48页）