19.1 二次根式及其性质-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 A分点训练 。夯实基础 B综合运用 。提升能力 知识点①二次根式的概念 8.下列式子一定是二次根式的是 () 1.下列式子是二次根式的是 A.√-4B.√元 C.√2+2D.√x2-2 A号 B.√2 C.918 D.√-10 9.若代数式x二十(x-5)°有意义，则实数x √x-3 2.有下列各式：√-5，√7,3-π，√一a-1, 的取值范围是 其中一定是二次根式的有个. 10.已知x,y为实数，且y=√x-2+√6-3x十 知识点2二次根式有意义的条件及求值 3,求x十y的值. 3.(福建中考)若√x一1在实数范围内有意义， 则实数x的值可以是 ( A.-2B.-1C.0 D.2 4.当a=-2时，√2a2+1的值是。 5.(教材P3练习T2变式)当x满足什么条件 时，下列各式在实数范围内有意义？ 11.学科融合海啸行进速度)（教材P5习题T8变 (1)√/-2x; (2) V8-x 式)海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡等 引发的破坏性海浪.在广阔的海面上，海水的 深度d(单位：m)与海啸行进速度v(m/s)的平 方成正比，当d=40时，v=20. (1)试用含d的式子表示v; (2)当d=25.5时，求v的值. 知识点3二次根式的实际应用 6.某工厂生产一种农副产品的费用m(单位： 万元)与年产量n(单位：t)之间的关系近似 为m=n2一10，若用含m的式子表示n,则 n= 7.(教材P3练习T1变式)小乐做了一张宣传 海报，海报的长与宽的比为3：2，面积为 30dm,则它的宽为 dm. 第十九章二次根式1 第2课时二次根式的性质 A分点训练 。夯实基础 知识点3√a2=|a 知识点1√a≥0(a≥0) 7.化简√6的结果是 1.若√a+3+(b一2)2=0，则a,b的值分别为 A.-6 B.±6 ) C.6 D.36 A.3,2 B.3,-2 8.已知化简√a的结果为5，则a的值为() C.-3,2 D.-3,-2 A.5 B.-5 2.若实数x满足√x-2·|x十1|≤0，则x的 C.5或-5 D.25 值为 9.若x<1,则化简√(x-1)的结果是( 3.当√2m+6取最小值时，m的值为 A.x-1 B.±(x-1) C.1-x D.0 知识点2（√a)2=a(a≥0） 10.计算： 4.(√6)2的计算结果是 (1)-√8； (2)√49； A.-36 B.-6 C.6 D.36 5.(教材P5习题T4变式)把下列非负数写成 一个非负数的平方的形式： (1)7= (2号 (3)√-0.36)； 4④)-（-)， (3)x= (x≥0). 6.计算： (1)(④)2； 2)； (5)√（π-3）2； (6)√3」 (3)(-√0.6)2； (4)(3√7)2. 2数学八年级下册人教版 B综合运用 。提升能力 15.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所 11.若√(x一2)=x一2，则x的值可以是 示，化简：√a-√b-√(a-b). ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 【变式题】要使√(x一4)=（√x一4）2成立， 则x的取值范围是 () A.x≤4 B.x=4 C.x≥4 D.-4≤x≤4 12.(易错题)已知实数x,y满足√x一4+ C创新拓展 。发展素养 √y一8=0，则分别以x,y的值为两边长的 16.逻辑推理类比探究阅读下列解题过程： 等腰三角形的周长是 例：若代数式√(2-a)z+√(a一4)产=2，求 A.8 B.20 a的取值范围. C.16 D.16或20 解：原式=a-2十|a-4. 13.(教材P5习题T9变式)(1)新趋势半开放性题 当a<2时，原式=(2-a)+(4-a)=6 写出一个使二次根式√13一m的值为整 2a=2,解得a=2(舍去)； 数的m的值： ； 当2≤a≤4时，原式=(a-2)+(4-a)= (2)若√5n是整数，则正整数n的最小值是 2,等式恒成立； 当a>4时，原式=(a-2)+(a-4)=2a 14.计算： 6=2,解得a=4(舍去). .a的取值范围是2≤a≤4. (居-+（√）： 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法， 请你根据对上述内容的理解，解答问题： 若√(a十1)+√(a-3)z=6,求a的取值 范围 (2(-22-3√（-3， 第十九章二次根式3参考答案 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 1.B2.23.D4.3 5.解：(1)x≤0.(2)x<8. 6.m+107.2√58.C9.x>3且x≠5 10.解：由x-2≥0，且6-3x≥0，得x=2.y=3.x十y=5. 1.解：(1)根据题意，设d=k.将d=40,0=20代人，得40=202，解得k=0d= .。-10.(2)当d-25.5时，0-V-V0X255=V25 第2课时二次根式的性质 1.C2.23.-34.C5.(1)(W7)2 a(√)】 2 (3)(√x)2 6.解：1)原式=4.(2②)原式=号(3)原式=0.6（④）原式=63. 7.C8.C9.C 10.解：1D原式=-8.(2)原式=7.(3)原式=0.36，(4原式=-分(5)原式=x-3. (6)原式=子 11.D【变式题】C12.B13.(1)-3(答案不唯一)(2)5 14部：1)原式-号号引+号-（导合）十号-合②）照式=20-3x号=18 15.解：由数轴可知a<0,b>0,.a-b<0..原式=|a-|b-|a-b|=(-a)-b+a -b=一2b. 16.解：原式=|a十1|十a-3.当a<-1时，原式=-a-1十3-a=-2a十2=6，解 得a=-2;当-1≤a≤3时，原式=a十1十3-a=4≠6，等式不成立；当a>3时，原式= a十1十a-3=2a-2=6,解得a=4.∴.a的值为-2或4. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 1.B2.D3.1615 4解：(1原式=V1=10,(2)原式=-合×=-1.(3)原式=2√6x写=2 2111 (4)原式=√3X6=√g=: 5.C6.B7.A 8.解：(1)原式=√400×3=√400×3=20√3.(2)原式=√49×√121=7×11=77. (3)原式=√/14X14X42=√/14×4×√2=14×2×√2=28√2.(4)原式=√9·√· √元·√y=3·x·√E·y=3.xyWE. 9.B10.C11.10W2 12.解：1原式=9×()×V18X=-是V18X3=-275.(2)原式=√月 /6 x2,5×()-2x(）×V×8x10=-6 13.解：p=号×6+6+)=9，S=V9X(9-5X9一6X9-万=V9X4X3X2= √§X√4X√6=6√6. 14.解：(1)7×9(2)第⑦个等式为√(4n2+1)2-(4n)=(2n-1)(2n+1).证明如下： √(4n2+1)2-(4n)z=√(4n2+1-4n)(4m2+1+4n)=√(2n-1)2(2n+1)F= √(2n-1)7·√(2n+1)z=(2n-1)(2n+1). 第2课时二次根式的除法 1.a1536(②号是号号22B3B 4解：1原式=√窖=斤，(2)原式=√厚==8(3原式=√侣×要=v丽= 1 2w原式=哥-受 5.A 6.解：(1)原式= 焉品激式-层-层⑧源式-震-等 9a3a2, (4)原式=Y2西×V25x5-5×55_25v5 √196 14 14 7.B 8解(1原式=√92)原式=√=四(8)原式-得 22V22 (4)原式= √22×0=⑤ 3×2√106√10×√1030 9.D10.D11.(1)2√3(2)212.2√3 13,解：(1)原式=-0@=-602V匹=-3a.(2②原式=-号√受=-号 √2a·w2a 2a ×-1.(3)原式=合×4×2√6×12x7-3V=18 √4 14.解：)A=60m4=√臣-√2=25(9.六该物品落地的时间为25 (2该玩具最低的下落商度=10-64(m.1=√昏-√-85≈4(s) 64 5 最少经过4s落地就可能会伤害到楼下的行人. 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 1.C2.B3.A4.(1)33(2)0 5.解：(1)原式=3√7-√7=2√7.(2)原式=4√+8√=12√元.(3)原式=3V3-√2- 2√3=√3-√2. 6.解：(1)③(2)原式=3√2+3√5+5√2=8√2+3√3. 7.12W5 8.解：d2-d1=7×√30-12-7×√20-12=21√2-14√2=7√2(cm).答：d2与d1的 差为7√2cm. 9.C10.C 1.解：(1)原式-3厅-3厄-2+月=4v月-5反.(2)原式-5×号+号×25+ 号×25-5+5+5=8v5.(8)原式=32-5y5-号+29-反-反 32 3 12.解：(1)由题意，得正方形AEFG的边长为√I92=8√3(cm),.AD=83-2√3= 6√3(cm),AB=83-7√3=√3(cm)..长方形木板ABCD的长为6√3cm,宽为W3cm. (2)长方形木料的长为12÷9=46(cm.:46=V丽，6=V10s5=平， 2, 4v厅<6V3,<3.能栽出符合条件的长方形木料. 13.解：(1原式=6×写-5x5-2v5+2×25=26-后-26+5=0.(2)设原 3 题中的■是a,则原式-a…-5x9-2v6+宁×25=写写。后-26十 5=。=5当，解得a=识原题中的“■是识 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.(1)3√6(2)2 3.解：①原式=25-5=.(2)原式=8×-√合×=4-1=3.(3)原式=2 -5+2√3-3=-1+3.(4)原式=3V3×2×2W2-6V2=12√2-62=62. 3 4.B5.(111+20√1)π6.(1)a(a-2)(2)6 —2 7.解：1原式=1-25+3+23=4.2)原式=68)-(23同)=8-是-翠 (3)原式=3-6√2+6+9-12=6-6√2. 8.C9.A10.36+6√3 11.解：(1)原式=(W5+√5⑤)(3-√5)=(3十√5)(3-√5)=9-5=4.(2)原式=(3√3-3 ×9)=5xv万-4+45+5》=2÷月x25-0+4=45-g-45-g 12.解：(1)ab=(W5+2)(W5-2)=5-4=1.(2),a=√5+2，b=√5-2，∴.a+b=(w5+ 2)+(W5-2)=2√5.∴.a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(2√5)2-3×1=17. 13.解：(1)√n+I-√m(2)原式=（√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2037- W2036)×(√2037+1)=（√2037-1）×（√2037+1）=2036. 专题特训二次根式中常见的化简求值技巧【期末热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(5-1-1)(W5-1+3)=(5-2)(W5+2)=5-4= 1.(2)当a=√5+2时，原式=(9-45)（√5+2）2一（√5-2）（√5+2）+4=(9-4√5)(9 +4√5)-(5-4)+4=81-80-1+4=4. 2.-13.D4.D5.D6.B7.-2c 8.解：由数轴，得a<0,a十b<0,c-a>0,b十c<0.∴.原式=-a十(a十b)十c-a-b-c =-a. 9.C 10.解：：a=2-√3，b=2+√3，.a+b=4,a-b=-2√3，ab=1.(1)原式=(a+b)(a b)=4×(-2W3)=-8√3.(2)原式=ab(a-b)=1X(-2√3)=-2√3. 1解+=8(+方)》=++2-5计>0+后6 x 【延伸问】士1 12.解：(1)x=√10-3，.x+3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√10)2，即x2+6x+ 9=10.x2+6x=1.x2+6x-8=1-8=一7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将 代数式x2+6x一8变形为(x十3)2一17，再将x十3=√10整体代入求值.(2)，x= 52x=5-12z+1=5.两边平方，得2x+1》=5,即+r+1 5..4x2+4x=4,即x2+x=1.∴.x2+3x=x2+x+2x=1+2x=V5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2 【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,∴∠B=90°，AB=BE.AE= VAB+BE-EAB第二次折叠，得AD=AE=EAB品-验-E.即AM纸 的长与宽的比值为√2. 【进阶问】解：由题意，得A5纸的长为b,宽为分.”a:b=√瓦，a=26.b:合=b: =2.∴A5纸长与宽的比值为V 2 【类比归纳√瓦减半 【拓展探究】片 【延伸探究】解：由题意，得B4纸的面积为250×353=88250(mm2).B5纸的面积为 S4纸÷2=44125(mm2).A4纸的面积为210×297=62370(mm2).A5纸的面积为 SA纸÷2=31185(mm2).∴S纸：SA4版=88250：62370≈1.4≈√2，Ss纸：SA5纸= 44125:31185≈1.4≈√2. 【归纳√2 第十九章归纳与提升 思维导图梳理 Va(a≥0)分母能开得尽平方的因数或因式a(a≥0)1u=(a(a≥0)， -a(a<0) √ab 最简二次根式被开方数相同 —3