19.1 二次根式及其性质（讲本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 A知识梳理 (5)√x+2+√J4-x;(6)√3-x+(x-2). 1.二次根式的定义 【方法点拨】二次根式有意义的条件：(1)被 般地，我们把形如 的式子 开方数是非负数；(2)如果是分式，则分母不 叫作二次根式.二次根式也是代数式。 能为0；(3)0指数幂或负指数幂的底数不能 二次根式有两个判断标准： 为0.当限定条件有多个时，字母的取值范围 ①根指数是2；②被开方数是非负数， 必须使这几个限定条件同时成立. 2.二次根式√a有意义的条件： B例题导学 知识点① 二次根式的概念 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些 不是二次根式？ (1)√-4；(2)√49；(3)W-3)严；(4)8/10： (5)Wx2-2x十1；(6)√2x(x≥0)； (7)W-x2-1. 【方法点拨】判断一个式子是否为二次根式， 一定要紧扣二次根式的定义，判断所给式子 是否同时具备二次根式的两个特征， 【变式练习】 2.若式子 三在实数范围内有意义，则x 【变式练习】 1.下列各式中，一定是二次根式的是( 的取值范围是 A.√-2 B.√/3元 A.x>-1 B.x≥-1且x≠0 C.√x2+1 D.27 C.x>-1且x≠0 D.x≠0 知识点2二次根式有意义的条件 3.(1)若√x一4+√4一x在实数范围内有意 义，则x的取值范围是 【例2】当x满足什么条件时，下列各式在实 数范围内有意义？ (2)若√x2一4x十5在实数范围内有意义， 则x的取值范围是 (1)√x+3; (2)W-x2; (3)若√2-x-(x十2)1在实数范围内有意 2 (3) 1-x (4)/x2+2x+1; 义，则x的取值范围是 第2课时 二次根式的性质 A知识梳理 4.已知x,y是实数，且(x十y-1)2与 1.二次根式√a的双重非负性 √2x一y+4互为相反数，求实数y的 倒数. 当题目中出现“√a”,并且没有说明a的取 值时，√a都是有意义的.当√a有意义时， ①a是被开方数，所以a≥0；②√a表示a 的算术平方根，所以√a≥0. 2.二次根式的性质 (1)(a)2= (a≥0)； (2)√a2= 注意：√a与（√a)2的区别与联系： 知识点2 (√a)2=a(a≥0) ①a的取值范围不同，（√a)2中的a≥0， 【例2】计算： √a2中的a为任意值； (1)(-√5)2： ②当a≥0时，(a)2=√a=a;当a<0 (3)(√a+1)2; (4)(√a-1)2, 时，（√a)2无意义，√a=-a. 【方法点拨】计算时直接运用(Wa)2=a,题目中 B例题导学 若没有说明a的取值范围时，√a总有意义. 知识点1√a≥0(a≥0) 【例1】若15十a|+√4-b=0,则(a+b)225 的值是 【方法点拨】二次根式非负性，常与绝对值、 偶次方相结合.若√a+√b=0或√a+b=0 或√a+b=0,则a=0,b=0. 【变式练习】 【变式练习】 5.计算： 1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且 a,b满足√2a-3b+5+(2a+3b-13)2= -(-5 0,则此等腰三角形的周长为 (2)(√3x-2)2= A.7或8 B.6或10 知识点3√a2=|a C.6或7 D.7或10 2.已知实数x,y满足√/1一x+√y+I=0, 【例3】计算√4，√(-5)严， 则(xy)225的值是 值，并根据计算结果，解答下列问题 3.已知/x-2+√2一x=y十4，则y的平 (1)√a2一定等于a吗？你发现其中的规律 方根为 了吗？请你用自己的语言描述出来 ·2· (2)利用你总结的规律进行计算： 【变式练习】 ①若x<2,则√(x-2)2= 6.若√(a-2)2=2-a,则a的取值范 ②√(3.14-π)7= 围是 【方法点拨】计算√a2一般有两步：(1)去掉根 A.a>2 B.a≥2 号及被开方数的指数，写成绝对值的形式； C.a<2 D.a≤2 7.计算： (2)根据绝对值的意义进行简化.即√a a(a≥0)， (1)-√-3.7)7= al= 1-a(a<0). (2)√(5-3)2= 8.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简 √(a+1)严+√(b-1)-√(a-b)的结果 是 b -10123 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 A知识梳理 (3) 2√2写×(-3号)： 1.二次根式的乘法法则 √a·√b= (a≥0，b≥0)，即二次根 式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，该 【方法点拨】二次根式的乘法计算，将系数相 性质还可以推广到多个非负数的情 乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被 况.如： 开方数，能开方的应开方后移到根号外，同 (1)a·√b·√c=√Jabc(a≥0，b≥0，c≥0)； 时也要注意运算的灵活性，含有字母的要注 (2)m√a·nb=mn√ab(a≥0，b≥0. 意字母的符号. 2.二次根式的乘法法则的逆用 √ab= (a≥0，b≥0)，即积的算 术平方根等于积中各因式的算术平方根 的积. B例题导学 知识点1 二次根式的乘法 【例1】计算： 【变式练习】 (1)2×√6： 1.计算√3×√2的结果是 (2)-√/15×√5； A.3 B.3√2 C.23 D.√6 3·讲本答案 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 知识梳理 1.a(a≥0)2.a≥0 例题导学 【例1】解：(2)(3)(5)(6)是二次根式；(1)(4)(7)不是二次 根式.【例2】解：(1)·√x+3有意义，∴.x十3≥0，解得 x≥-3.(2)√一x有意义，.-x2≥0，解得x=0. （3:V产有意义己>0，且1-≠0解得<1. (4)√十2x十I=√(x+1)有意义，.x可取全体实 数.(5)：√x十2与√4-x有意义，∴.x十2≥0且4-x≥0， 解得-2≤x≤4.(6)：√3-x十(x-2)°有意义，.3-x≥ 0且x-2≠0，解得x≤3且x≠2. 变式练习 1.C2.C3.(1)x=4(2)全体实数(3)x2且x≠ -2 第2课时二次根式的性质 知识梳理 a(a≥0)， 2.(1)a(2)a= -a(a0) 例题导学 【例】-1【例21解：(-6=5.2(3√号)=3× (√)=9×号=6(3)(a)=。+1 (4)(√a-1)2=a-1.【例3】解：√4=4；√-5)=5； √（行）=-子：个=0,1)不-定：当≥0时，石 =a;当a<0时，√/a=-.(2)①2-x②π-3.14 变式练习 1.A2.-13.±44.解：(x+y-1)2与√2x-y+4 互为相反数..(x十y-1)2十√/2x-y十4=0.又(x十y -1)P≥0,2x-y+4≥0.2+y-1=0, 解得 2x-y十4=0， y=2. 1y=2=分y的倒数是2.5.1)-10 x=一1 (2)3x-26.D7.(1)-3.7(2)3-58.-2 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 知识梳理 1.√ab2.a√b 例题导学 【例1】解：(1)原式=√2×6=√/2X3=2√5.(2)原式= 参考答案第 √/15X5=-√5X3=-5√5.(3)原式=2×3 √写×号=6瓜(0原式=2V·活=2后， 7 【例2】解：(1)原式=√25×√64=5×8=40.(2)原式 √/20X5=√20X√5=20√5.(3)原式=√/4X9=√4×√9 =2X3=6.(4)原式=√72xy·x=√7xy·√= 7x2y2√E. 变式练习 1.D2.解：(1)原式=-√6X15=-3√10.(2)原式=3× 2V6x3=6厄.(3)原式=2×(）)×√号×3X10= -6.(4)原式=2√5a·吉ab=2a瓜.(6)原式 √2xy·8x=√16xy=4xy.(6)原式= 是3y…=2r=-号3.c 3 4.B5.解：(1)原式=√/25×√36=5×6=30.(2)原式= √6X16=√16×√6=4√6.(3)原式=√4×2mn=√4× √2X√mn=2√2mn. 第2课时二次根式的除法 知识梳理 %2. 1.N6 3.不含分母能开得尽平方的因数或因 式4.最简二次根式 例题导学 【例1】解：1)原式=√==36.（2)原式 √×号=-6.(3)原式=15√-15×3=45. (4)原式=√21ab,严-√2Ia=21a.【创2】解： 0照式-V停-罗-合2原式-V儒-震 号3)原式=--5(4原式=亚 √9a23a /9x 3x 【例3】解：瓜V瓜于可，品是最简三次根式， 瓜V后后可不是 最简二次根式. 变式练习 1.C2.-1≤x<13.(15(2)-√2(3)3(4)-2√ab 4新0原式-清-空-子》原式需 64x =验瓜5.解：(1)原式=(9x号×)× √45x5x =-3×10√6=-30√6.(2)原式= 页（共55页）