河北省石家庄市长安区石家庄市第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题

**基本信息** 立足高二数学核心知识，通过春节促销抽奖（解答题16）、杨辉三角（多选题10）等情境，融合概率、数列、导数等模块，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|方差、二项式系数、数列、函数恒成立|第8题以“凹数”为背景，考查古典概型（数学眼光）| |多选题|3/18|全概率公式、杨辉三角、函数极值|第10题结合杨辉三角斜线规律，培养创新意识（数学思维）| |填空题|3/15|数列递推、导数切线、二项式系数|第13题通过切线平行问题，考查导数几何意义（运算能力）| |解答题|5/77|二项式定理、概率分布列、导数应用、数列证明|16题设计促销抽奖情境，求分布列与期望（数据意识）；18题综合数列证明、求和及最值，层次分明（推理能力）|

石家庄市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设离散型随机变量的方差为，则随机变量的方差为（ ） A． 1.1 B． 0.1 C． 1 D． 10 2． 11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第6项 C．第6,7项 D．第5,7项 3．在数列中，，，若，则（    ） A．675 B．674 C．673 D．672 4．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 6．在等比数列中，，且，，成等差数列，则（       ） A．24 B．48 C．96 D． 7．函数f(x)是定义在上的单调递増函数，f(x)的导函数存在且满足，令，，c=f（4），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b 8．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以A1,A2,A3表示事件由甲箱中取出的是红球、白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以B表示事件由乙箱中取出的球是红球,则下列结论正确的是 (　　) A．P(B)= B．P(B|A1)= C．事件B与事件A1相互独立 D．事件A1,A2,A3两两互斥 10．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，…，则下列选项正确的是(　　) A．在第9条斜线上，各数之和为55 B．在第n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C．在第n条斜线上，共有个数 D．在第11条斜线上，最大的数是 11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，且，则 13．函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是 ． 14．若，则 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56. (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式中所有项的系数之和； (3)求展开式中的常数项. 16．春节期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成n（，）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转运动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖. (1)若一、二等奖的获奖概率之和不大于，求n的最小值； (2)规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在n取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望. 17．设函数. （1）求的单调区间； （2）若，k为整数，且当时，，求k的最大值. 18．正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. （1）证明是等差数列，并求出的通项公式； （2）若数列前项和，求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 19．已知函数. (1)当时，求的单调区间. (2)存在，使得成立，求整数的最小值. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试 数学答案 1.C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.B 7.A 8.D 9.BD 10.BCD 11.ACD 12．1011 13． 14． 15．（1）由题意，前三项的二项式系数和为，解得或（舍去）， 所以中，展开式中所有二项式系数的和为； （2）由（1）得，令，得展开式中所有项的系数之和为； （3）由（1）得，其展开式通项公式为， 令得，所以展开式中的常数项为. 16.（1）设“获三等奖”为事件A，由题意得， 又， 所以，整理得， 解得（舍去），或， 所以n的最小值为6. （2）设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量，则的所有可能取值为108，60，18， 根据题意得 ， ， ， 所以的分布列为 108 60 18 P 所以. 17.（1）函数的定义域是，， 当时，， 所以函数在上单调递增， 当时，时， ，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由于，所以， 故当，，等价于， 令，① 则， 由（1）可知，当时，函数在上单调递增， 而，所以在存在唯一零点， 故在存在唯一零点，设此零点为，则有， 当时，，当时，， 所以在上的最小值为，又由，可得， 所以，由于①等价于，故整数的最大值为2. 18. （1）因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2）由（1）得， 当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； （3）， 则 ， 当为奇数时，，为递减数列， 又，则； 当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 19．(1) 解：当时，，该函数的定义域为， 则，当且仅当时，等号成立， 故函数的增区间为，无单减区间. (2) 解：存在，使得成立，即， 令，其中，则， ， 令，则， 令，对任意的恒成立， 故函数在上为增函数，则， 即对任意的恒成立，则函数为增函数. 因为，， 所以存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，， 设，则， 令，则对任意的恒成立， 故函数在上为增函数，则， 即对任意的恒成立，故函数在为增函数， 故，即，即， 因为为整数，所以整数的最小值为. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $