精品解析：河北石家庄市第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

石家庄市第一中学 2024级高二级部4月阶段检测数学学科试题 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数运算法则计算可得 ，再利用共轭复数定义计算即可得解. 【详解】，则， 故， 故. 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，求得集合和，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数函数的性质求得集合 是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3. 设等差数列的前项和为.若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为 ，进而结合题意列出关于的方程解得，再根据通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为 ，首项为， 因为， 所以，即，解得， 所以 故选：B 4. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性排除A、C.当 时排除B 【详解】解：由可得 所以函数为偶函数，排除A、C. 因为 时，，排除B. 故选：D. 5. 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是　　 A. 28 B. C. 70 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数， 展开式共有9项，故． 即，它的展开式的通项公式为， 令，求得， 则展开式中的常数项是， 故选A． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 6. 已知正三棱柱的高为，它的六个顶点都在一个直径为4的球的球面上，则该棱柱的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了棱柱的体积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中合理应用求得性质，以及正三角形内切圆的性质，结合棱柱的体积求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角， 在右下角，如图，    排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 8. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可. 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ） A. B. C. A与B为互斥事件 D. A与B相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意义计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，事件可以同时发生，则A与B不互斥，C错误； 对于D，，由选项AB知，，则A与B相互不独立，D错误. 故选：AB 10. 定义为数列的“优值”，已知某数列的“优值”，数列的前项和，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递减数列 C. D. 成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由新定义可得，以替换，可得，两式作差可得数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：由．得①， 所以当时，②， ①-②得当时，，即当时，， 当时，由①知，满足，所以， 数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错误． 又，所以，故C正确． 因为，，，所以 ，所以不构成等差数列，故D错误， 故选：AC． 11. 双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点 ，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（ ） A. 双曲线的共轭双曲线方程为 B. C. 当点位于双曲线右支时， D. 点到两渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理得到双曲线方程为，求得双曲线的离心率和共轭双曲线方程即可判断A、B；利用即可判断C；渐近线方程为，设，利用点到直线的距离公式即可判断D. 【详解】如图，因为，所以，， ， 则，所以，所以B正确； 又，在中， 由余弦定理，，化简得， 所以，双曲线方程为，所以其共轭双曲线方程为：，故A不正确； 对于C，，因为， 则，即，所以C正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，设， 点到两渐近线的距离之积为，故D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】16 【解析】 【分析】利用二项式定理，通过对展开式的通项讨论得出结果 【详解】考虑二项式展开式的通项为， 当时，该项为；当时，该项为； 因此展开式中项为， 所以展开式中的系数为16. 13. 在中，角所对的边分别是，已知，， 则角__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵1+=，即===， ∴cosA=，即A为锐角， ∴sinA==， ∵a=2，c=2， ∴由正弦定理=得：sinC==， ∵a＞c，∴A＞C， ∴C=． 故答案为：． 14. 用组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数，并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数，并分在或不在个位计数，最后求目标概率. 【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种， 任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： （1）当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； （2）2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后将剩余的1个偶数和2个奇数填入剩余的3个空位中，此时有种， 所以，个位是偶数共有种， 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻的数有40种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在二项式的展开式中，所有项的系数之和为. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式的展开式的通项公式计算即可. （2）利用数列最大项的求法列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 二项式的展开式中，所有项的系数之和为. ，解得 . 二项式的展开式通项公式为. 令，得. 所以展开式中的常数项为. 【小问2详解】 设第项系数绝对值最大，则 ，解得，又，. . 即展开式中系数绝对值最大的项是. 16. 2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. （1）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （2）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设第1次抽到优级品为事件 ，第2次抽到一级品为事件，求出，根据条件概率的计算公式，即可求得答案； （2）确定随机变量的取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【小问1详解】 设第1次抽到优级品为事件 ，第2次抽到一级品为事件， 则， 所以. 故在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率为. 【小问2详解】 根据题意可知的取值可能为2，3，4，5. 则， 则的分布列为 2 3 4 5 P 所以. 17. 如图，等腰梯形 中，，，现以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面 ； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形 中，取中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， ，， ，，平面，平面， 平面 ，平面平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用平行四边形的判定和性质得，利用直角三角形性质得，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）分别取中点，连接，利用面面垂直的性质定理及线线平行性质得平面，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取中点，连接， ， 为 中点，， 又平面平面 ，平面平面，平面， 平面 ， 分别为中点，，平面， 则以 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则，令，解得： ，，； 点到平面的距离， 解得：，； 平面轴，平面 的一个法向量， ，又二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当 时，求曲线在点 处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当 时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出 处的导数值即切线斜率，再求出 对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域 ，按参数 的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增； 时以 为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定 时函数在 处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的 的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时， ，所以在上单调递增； 若 时，当时， ，所以在上单调递减； 当时， ，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当 时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又 ，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 19. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问： 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是， 【解析】 【分析】（1）法一利用椭圆的定义求 ，得出椭圆的标准方程；法二利用待定系数法代入点求椭圆方程； （2）①根据圆心到直线的距离为2，得到方程，由根与系数的关系求出，再利用在椭圆上化简即可求解； ②根据不同的方法求出三角形面积的表达式，化简即可得出三角形面积为定值. 【小问1详解】 法一： 由题意椭圆的焦点在 轴上，且，则， 由椭圆的定义得， 解得，则， 则椭圆方程为； 法二： 因为，所以，即椭圆方程为（）， 又在椭圆上，所以，解得 则椭圆方程为. 【小问2详解】 易知圆的圆心为，且原点在圆外，即，如下图： ①令，，则直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为 ，即， 化简得，同理得， 则是方程的两根，显然， 由韦达定理可知， 因为点在椭圆上，所以，则 则，即 ②法一： 设，， 则，，，点到直线的距离为， 因为，所以，则， ， 由，得，同理， 则，则， 所以. ②法二： 设，，则， 因为，所以直线方程为， 所以， 因为，两点在椭圆上，所以，， 则， 所以， 又， 所以 ， 则. ②法三： 设， （i）若直线 与 轴平行，由对称性，，， 因为，所以不妨设有，则， 则，解得，即， 则，. （ii）若直线 不与 轴平行，设直线 方程为，（），直线 与 轴交点为, 则, 由，得， 由，得， ， 所以, 因为,所以, 即，得， 显然，即， . 综上 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学 2024级高二级部4月阶段检测数学学科试题 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为.若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 4. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 5. 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是　　 A. 28 B. C. 70 D. 6. 已知正三棱柱的高为，它的六个顶点都在一个直径为4的球的球面上，则该棱柱的体积为 A. B. C. D. 7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ） A. B. C. A与B为互斥事件 D. A与B相互独立 10. 定义为数列的“优值”，已知某数列的“优值”，数列的前项和，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递减数列 C. D. 成等差数列 11. 双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点 ，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（ ） A. 双曲线的共轭双曲线方程为 B. C. 当点位于双曲线右支时， D. 点到两渐近线的距离之积为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 13. 在中，角所对的边分别是，已知，， 则角__________． 14. 用组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在二项式的展开式中，所有项的系数之和为. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数绝对值最大的项. 16. 2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. （1）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （2）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 17. 如图，等腰梯形 中，，，现以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面 ； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当 时，求曲线在点 处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 19. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问： 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $