精品解析：山东青岛莱西市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共24题．第Ⅰ卷为选择题,共8小题,24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题,共16小题,96分． 2．所有题目均在答题卡上作答,在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分,共8小题,每小题3分） 1. 代数式在实数范围内有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中,属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程,则方程可变形为 A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6. 小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 8. 如图，在矩形中,点是的中点，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分,共6小题,每小题3分） 9. 化简：__________． 10. 计算：__________． 11. 在实数范围内定义一种新的运算“”,其规则为：,则方程的解为__________． 12. 若关于x的一元二次方程没有实数根,则实数t的取值范围是__________． 13. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______． 14. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 三、解答题（本题满分78分,共10小题） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知，，求的值． 18. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）若方程有一根为，求m的值； （2）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 19. 如图,已知中，，，，求的长． 20. 某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． （1）若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； （2）已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 21. 如图,校园中有两面互相垂直的围墙,在美化校园的活动中,学校想借助围墙（两边足够长）,用长的篱笆围成一个小花园． 小明设计了两种方案： 方案一：如图,围成矩形花园，和需用篱笆围成； 方案二：如图,围成一个由以为直径的半圆和矩形两部分构成的花园,半圆（实线部分）和需用篱笆围成． （1）方案一围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由； （2）方案二围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由． 22. 【阅读材料1】 根据求根公式,一元二次方程的两根为： ，． 所以； ． 例如：若，为一元二次方程的两根，则，． 【阅读材料2】 已知一元二次方程的两根为，，求． 解：一元二次方程的两个根为，， ，． ． 根据上述材料,解答下列问题： （1）若，为一元二次方程的两根，则 ， ． （2）已知，为一元二次方程的两根，不解方程，求的值； （3）已知，为关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 23. 综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和正三角形两种图案为某单位设计花卉展览场地． 【项目规划】 设计如图所示的花卉展览场地图案中的正方形和正三角形的边长均为1米,正方形和正三角形的每个顶点放置一盆花卉（顶点重合处只放一盆）． （1）【知识准备】 求边长为1米的正三角形的面积． （1）【项目分析】 按照以上图形规律,建立下面的表格（不完整）： 图案序号 图案需要花卉盆数 占地面积（平方米） 第1个图案 6 第2个图案 12 第3个图案 20 第4个图案 30 … … … 第n个图案 ① ② 请补充表格中的数据：①,②； （2）【项目实施】 已知为该单位设计的花卉展览场地图案中总共用了132盆花卉,求该图案的占地面积有多少平方米？ 24. 如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形的面积为？ （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共24题．第Ⅰ卷为选择题,共8小题,24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题,共16小题,96分． 2．所有题目均在答题卡上作答,在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分,共8小题,每小题3分） 1. 代数式在实数范围内有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义时，被开方数为非负数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得． 2. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，所以选项A正确； B、，所以选项 B错误； C、，所以选项 C错误； D、，所以选项D错误． 3. 下列各式中,属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：① 被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：选项A中，的被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项B中，是最简二次根式； 选项C中，，被开方数能开得尽方，所以不是最简二次根式； 选项D中，，被开方数含能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式． 4. 用配方法解一元二次方程,则方程可变形为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到等号右侧，然后等式两边同加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 两边同时加上4，得， ． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，可通过判别式判断根的情况． 【详解】解： 方程 中，，， 该一元二次方程没有实数根． 6. 小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设月平均增长率为x，根据初始盈利和两个月后的盈利关系列方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设每月盈利的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以每月盈利的月平均增长率为． 7. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 8. 如图，在矩形中,点是的中点，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在矩形中,点是的中点，且， ，， ， ． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分,共6小题,每小题3分） 9. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的除法法则计算后，将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 10. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 在实数范围内定义一种新的运算“”,其规则为：,则方程的解为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 可化为， ， 整理得， 可得 或 ， 解得， ． 12. 若关于x的一元二次方程没有实数根,则实数t的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程没有实数根可得根的判别式，据此列出关于t的不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得． 13. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1， 根据题意，设AF=DE=CH=BG=x， 则AE=x-1， 在Rt∆AED中， ， 即， 解得：x=4（负值已经舍去）， ∴x-1=3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 14. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【答案】3或 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 当相同的根是时， 代入方程可得， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 代入方程得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； ∴m的值是3或． 三、解答题（本题满分78分,共10小题） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： . 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3），． 【解析】 【小问1详解】 解： ，， 【小问2详解】 解： ，； 【小问3详解】 解： ，． 17. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴原式 ． 18. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）若方程有一根为，求m的值； （2）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）把代入原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明 即可． 【小问1详解】 解：把代入原方程得 ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 19. 如图,已知中，，，，求的长． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作，垂足为，得到，设，则，在中,由勾股定理列方程求出，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． ， ． ． 设，则， 在中,由勾股定理,得， 即， 整理得， ，， 在中,由勾股定理得或， 的长为或． 20. 某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． （1）若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； （2）已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据题意知销售量以每斤4元的价格销售时每天的销售量100斤+(降低价格后的差价)，化简即可； （2）根据题意找出等量关系：每斤的盈利对应的销售量每天的总盈利，然后，得到关于x的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，即y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 即， 解得,． ∵， ∴． ∴， ∴每斤的售价应定为元． 21. 如图,校园中有两面互相垂直的围墙,在美化校园的活动中,学校想借助围墙（两边足够长）,用长的篱笆围成一个小花园． 小明设计了两种方案： 方案一：如图,围成矩形花园，和需用篱笆围成； 方案二：如图,围成一个由以为直径的半圆和矩形两部分构成的花园,半圆（实线部分）和需用篱笆围成． （1）方案一围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由； （2）方案二围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由． 【答案】（1）能， （2） 不能，理由如下： 设的长为． 根据题意，得, 即． ， ∴方程无实数根， ∴不能． 【解析】 【分析】（1）设的长为，根据已知数据得到矩形花园的的长，再运用矩形的面积公式，得出关于x的方程，解方程即可； （2）首先，设的长为，根据题意用含的式子表示出半圆的直径，然后，根据花园的面积等于矩形的面积半圆的面积，列出关于的一元二次方程，再化为一般式，最后，根据判别式判断根的情况即可得出结论． 【小问1详解】 解：设的长为． 根据题意，得，即． 解得． ∴的长为； 【小问2详解】 略 22. 【阅读材料1】 根据求根公式,一元二次方程的两根为： ，． 所以； ． 例如：若，为一元二次方程的两根，则，． 【阅读材料2】 已知一元二次方程的两根为，，求． 解：一元二次方程的两个根为，， ，． ． 根据上述材料,解答下列问题： （1）若，为一元二次方程的两根，则 ， ． （2）已知，为一元二次方程的两根，不解方程，求的值； （3）已知，为关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，由代入值即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，结合得出关于的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：，为一元二次方程的两根， ,； 【小问2详解】 ，为一元二次方程的两根， ，， ， ， ； 【小问3详解】 ，为关于的一元二次方程的两根， ，， ，． 的值为，． 23. 综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和正三角形两种图案为某单位设计花卉展览场地． 【项目规划】 设计如图所示的花卉展览场地图案中的正方形和正三角形的边长均为1米,正方形和正三角形的每个顶点放置一盆花卉（顶点重合处只放一盆）． （1）【知识准备】 求边长为1米的正三角形的面积． （1）【项目分析】 按照以上图形规律,建立下面的表格（不完整）： 图案序号 图案需要花卉盆数 占地面积（平方米） 第1个图案 6 第2个图案 12 第3个图案 20 第4个图案 30 … … … 第n个图案 ① ② 请补充表格中的数据：①,②； （2）【项目实施】 已知为该单位设计的花卉展览场地图案中总共用了132盆花卉,求该图案的占地面积有多少平方米？ 【答案】（1）①,②； （2）该图案的占地面积约为平方米 【解析】 【分析】[知识准备]如图，过点作于点．根据三线合一可得，勾股定理求得，进而求得三角形ABC的面积． [项目分析]（1）根据表格数据，找到规律，即可求解； （2）设第（为正整数）个图案需要花卉盆花卉，则，解方程求得的值，结合（1）的结论即可求解． 【小问1详解】 解：[知识准备]如图，过点作于点． 则． 在中，由勾股定理,得 ∴． [项目分析]根据表格规律可得第n个图案，图案需要花卉盆数为,占地面积（平方米）； 【小问2详解】 解：设第（为正整数）个图案需要花卉盆花卉, 则, 解得：（舍去） 占地面积为（平方米）． 答：该图案的占地面积约为平方米． 24. 如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形的面积为？ （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）当时,四边形的面积为 （2）时, （3）时, 【解析】 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据勾股定理得，再列方程求解即可； （3）根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， 由题意，得，，，， ， ， 整理，得， ，（舍去）， 当时，四边形的面积为． 【小问2详解】 解：由勾股定理，得，， 当时，， 所以， 即， 解得，（舍去）， 时，． 【小问3详解】 解：连接， 若， ， ∴， 即， 解得， 时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $