精品解析：山东省青岛市莱西市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题和解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10小题，每小题3分） 1. 若代数式有意义，则的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的有意义，根据二次根式的有意义的条件，得到，解不等式即可确定x的取值范围，进而判断哪个选项不符合条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， ∵， ∴的值不可能是， 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，2，6 B. 1，，6 C. 1，， D. 1，2， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 3. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）最简二次根式分母中不含有根号判断即可． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； B、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； C、是最简二次根式，故该项符合题意； D、是整数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 直接根据二次根式运算法则进行计算出结果即可． 【详解】解：A．，计算正确，故选项A符合题意； B．，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C．，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D．，原选项计算错误，故选项D不符合题意； 故选：A． 6. 下列方程无实数根的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分别求出各选项对应的一元二次方程判别式，根据结果判断即可．解题的关键是掌握一元二次方程有实数根需满足． 【详解】解：A．∵， ∴，，， ∵， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； B．∵ ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； D．∵， 整理得：， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意． 故选：A． 7. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． 设平均每次降价的百分率为，则，由此进行求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 则， 解得或（舍去） 平均每次降价的百分率为． 故选B． 8. 已知关于的一元二次方程有两不相等实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两不相等实数根， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知等边三角形一边上的高为，则其边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，等边，，求出，设等边三角形的边长为，表示出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，等边， ∴ 设等边三角形的边长为， ∴ ∴ ∵等边三角形一边上的高为 ∴ ∴． ∴边长为． 故选：D． 10. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，从而得到，然后根据的面积为3，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵轴，交直线于点， ∴点Q的坐标为， ∴ ， ∵的面积为3， ∴，即 ， 解得：， ∴点的坐标为． 故选：C 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．运用因式分解法即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为___________． 【答案】（答案唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 15. 《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据圆的直径与正方形边长之间的关系，可得出圆的直径为步，根据除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：从水池边到圆周，每边相距3步远，且正方形的边长是步， 圆的直径为步． 根据题意得：． 故答案为：． 16. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 三、解答题（本题满分72分，共9小题） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）先进行二次根式的除法和乘方运算，再合并即可； （）先进行二次根式的乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： = =； 【小问2详解】 解： = ； 【小问3详解】 解： = = ； 【小问4详解】 解： = = =． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，， ∴ 【小问2详解】 解： ， ， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程为常数，请判断方程根的情况． 【答案】当时，，方程有两个相等的实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，依据题意，由，根据根的判别式，再分类讨论即可判断得解．解题时要熟练掌握并能分类讨论是关键． 【详解】解： ， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 20. 现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； （2）求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】（1）， （2）木板中剩余部分（阴影部分）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了图形面积和二次根式计算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求解． （1）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行求解； （2）运用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解． 【小问1详解】 解：在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，， 正方形木板的边长为，的边长为， ，， 正方形木板的边长为，的边长为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 木板中剩余部分（阴影部分）的面积是． 21. 定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． （1）请你写出一对共轭实数：________和__________； （2）共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1），（答案不唯一） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义，二次根式的加法和乘法运算，二次根式的化简求值，理解新定义是解题的关键． （）根据共轭实数的定义解答即可； （）根据二次根式的加法和乘法运算法则计算即可； （）求出和的值，再代入代数式计算即可； 【小问1详解】 解：写出的一对共轭实数可以是和， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ∴原式 ． 22. 水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售． （1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤． （2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）； （3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 【答案】（1）200 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出一元二次方程解方程求解即可，根据每天至少售出280斤取舍最后的结果即可 【小问1详解】 根据题意，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤， 则每斤售价降低0.5元，每天可多售出20（斤）， 每天的销售量是（斤） 故答案为：200 【小问2详解】 若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 故答案为： 【小问3详解】 设若每斤售价降低x元，根据题意得： 解得 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， （元） 则售价为3元 答：水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为3元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意列出代数式和一元二次方程是解题的关键． 23. 综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： （1）若扩建后花园的面积为，且，求和的长； （2）当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】（1）和的长分别为和； （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，正确地用代数式表示扩建后的新花坛的长和宽是解题的关键． （1）设，则扩建后花园的长为，宽为，于是得，求得符合题意的值为5，则，； （2）设，则，假设扩建后花园的面积为，则，求得，此时，不符合要求，说明扩建后花园的面积不可以为． 【小问1详解】 解：设， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ，， ，， 和的长分别为和； 【小问2详解】 解：扩建后花园的面积不可以为， 理由：设，则， 若扩建后花园的面积为，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ，不符合要求， 扩建后花园的面积不可以为． 24. 阅读理解： 若代数式（其中为常数）能分解因式：，则一元二次方程即必有两根．反过来，若一元二次方程的两根为，则代数式也一定能分解为． 例如：解一元二次方程，得其两根为：， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： （1）已知关于的一元二次方程的两根为，则代数式分解因式后等于__________； （2）用求根法将代数式分解因式； （3）若代数式．是一个完全平方式，则的值为_________． 【答案】（1） （2） （3）2或6 【解析】 【分析】本题综合考查完全平方式与一元二次方程根的判别式的关系，需要先将完全平方式的条件转化为方程根的情况，再利用判别式建立方程求解，对知识的综合运用和转化能力要求较高． （1）直接对新定义方法的简单应用即可得出答案； （2）先根据求根公式计算出一元二次方程的根，然后根据新定义方法直接得出代数式的分解因式； （3）完全平方式的形式为 ，将题目中的代数式与完全平方式对比，即可求出的值． 【小问1详解】 解：的一元二次方程的两根为，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令， ，，， ， 即，， ；、 【小问3详解】 解：， 则， 可得，， ， 解得，， 或． 故答案为：2或6． 25. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或时，线段的长为 （2）不存在，理由见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理构建方程求解； （2）根据题意构建方程，再利用根的判别式求解即可； （3）建立如图平面直角坐标系．，利用中点坐标公式表示出点的坐标，根据点在的垂直平分线，可得，构建方程求解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； 【小问2详解】 解：不存在． 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； 【小问3详解】 解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题和解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10小题，每小题3分） 1. 若代数式有意义，则的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，2，6 B. 1，，6 C. 1，， D. 1，2， 3. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程无实数根的是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有两不相等实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知等边三角形一边上的高为，则其边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 化简：______． 12. 一元二次方程的解是________． 13. 计算：___________． 14. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为___________． 15. 《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是___________． 16. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 三、解答题（本题满分72分，共9小题） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程为常数，请判断方程根的情况． 20. 现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； （2）求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 21. 定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． （1）请你写出一对共轭实数：________和__________； （2）共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； （3）已知，求代数式的值． 22. 水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售． （1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤． （2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）； （3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 23. 综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： （1）若扩建后花园的面积为，且，求和的长； （2）当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 24. 阅读理解： 若代数式（其中为常数）能分解因式：，则一元二次方程即必有两根．反过来，若一元二次方程的两根为，则代数式也一定能分解为． 例如：解一元二次方程，得其两根为：， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： （1）已知关于的一元二次方程的两根为，则代数式分解因式后等于__________； （2）用求根法将代数式分解因式； （3）若代数式．是一个完全平方式，则的值为_________． 25. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $