精品解析：山东济南市市中区2025-2026学年第二学期八年级期中学业质量监测数学学科试题

2025-2026学年第二学期八年级期中学业质量监测 数学学科试题 试卷说明： 本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、准考证号、座号等填在答题卡和试题规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3．不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，10个小题，共40分） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x≠1 B. x＞1 C. x≠0 D. x＜1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴x-1≠0， 解得，x≠1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且等式成立，符合因式分解的定义； 选项B，等式右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； 选项C，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项D，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求． 3. 多项式的公因式是（ ） A. a B. b C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定系数最大公约数，再取相同字母最低次幂的方法． 【详解】解：多项式的两项分别为和， 两项系数的最大公约数为， 两项都含有的相同字母是和， 的最低次数是，的最低次数是， ∴公因式为． 4. 下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 5. 如图，将沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，结合图形逐项判断即可． 【详解】解：∵将沿直角边所在的直线向右平移得到， ∴，，， ∴，则， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法得到，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 6. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 7. 化简的结果是（ ） A. B. m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 8. 如图，将等腰直角三角尺绕顶点A顺时针旋转，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由旋转的性质得， ∵等腰直角三角尺中，， ∴． 9. 如图，已知平行四边形的顶点，，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交y轴于点T．利用勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】解：如图，设交y轴于点T． ∵， ∴，， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（ ） A. B. 2026 C. 2027 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 12. 若分式的值为0，则m的值为______． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子，解得， 检验分母：当时，分母， ∴符合题意， 故答案为：3． 13. 如图，将沿射线的方向平移得到，如果平移距离是5，，那么________． 【答案】 1 【解析】 【详解】解：由平移的性质得， ∵， ∴． 14. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 15. 如图，直线交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点，D为y轴上一动点，把线段绕B点逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将线段逆时针旋转得到线段，在上取一点，使，过点作轴于点，连接，确定点在直线上，求出相关线段的长度，通过证明三角形全等得出直角，确定为定角，当时，的值最小，然后求出直线的解析式，根据勾股定理求出点坐标即可求解． 【详解】解：如图，将线段逆时针旋转得到线段，在上取一点，使，过点作轴于点，连接， 当时，，则， ∴； 当时，， 解得， ∴ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， 则点在直线上； ∵点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为定角， ∴点在过点，且与垂直的直线上运动， 当时，的值最小， 此时， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， ， ∴， 设， 在中，， ， 解得， 当时，与点重合，不符合题意， 当时，， ∴此时， ∴长度的最小值为． 三、解答题（90分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 18. 如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质证明，进而证明，即可证明结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题为分式化简求值题，解题思路是先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简结果，最后代入的值计算． 【详解】解：原式        当时，原式 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 无解 【解析】 【小问1详解】 解： 检验，当时，， 所以是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 检验，当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 21. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． （1）先将沿y轴正方向向上平移5个单位长度，再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到，画出，点坐标是________； （2）将绕点逆时针旋转，得到，画出，并求出点的坐标是________； （3）我们发现点C、关于某点中心对称，对称中心的坐标是________________． 【答案】（1） 解：下图即为所求，； （2） 解：下图即为所求，； （3） 【解析】 【分析】（1）分别将三点沿y轴正方向向上平移5个单位长度，再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到，然后依次连接即可得出答案； （2）利用旋转的性质，借助网格，画出，即可得出答案； （3）连接、，借助网格，找到、的中点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，对称中心坐标为：； 22. 2026年春季，为落实“健康第一”政策，某校积极开展阳光体育运动．研究表明，每天坚持适量运动能增强心肺功能、提高免疫力、改善睡眠，还能提升学习效率．学校决定购买一批篮球和足球，供学生课余锻炼使用，让每一位学生都能享受运动的快乐．已知篮球的单价比足球的单价贵10元，用300元购买的篮球数量与用250元购买的足球数量相等． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校计划购买篮球和足球共50个，且总费用不超过2800元．因学校运动场地客观原因，学校希望尽可能多买篮球．请问最多能购买多少个篮球？ 【答案】（1）足球单价为50元，篮球单价为60元 （2）最多能购买30个篮球 【解析】 【分析】（1）根据“300元购买的篮球数量等于250元购买的足球数量”的等量关系列分式方程求解； （2）根据总费用不超过2800元的不等关系列一元一次不等式，求解得到篮球的最大购买数量． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 根据题意得， 方程两边同乘得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：足球单价为50元，篮球单价为60元； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意得， 化简得， 解得， ∵要求尽可能多买篮球， ∴的最大值为． 答：最多能购买30个篮球． 23. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：________； （2）分解因式：； （3）已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． （1）求C、D两点的坐标． （2）将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． （3）如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）分别令和求得对应的y和x的值即可解答； （2）根据题意先判断线段的平移方向，然后写出平移后对应点的横坐标，然后根据平后要与y轴相交，可知平移后的点的横坐标大于等于0，且点的横坐标小于等于0时，满足题意，据此列出不等式解答即可； （3）过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接，则四边形是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质推出直线l垂直平分，从而得到，进而可知当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小，最后利用勾股定理求得，即可解答． 【小问1详解】 解：在中， 令，得， ∴； 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，直线l与x轴正方向夹角为，平移距离为t（）， ∵点，， ∴当线段沿直线l的反向（左下方）平移时，才可能与y轴相交， ∴此时点A平移后的对应点的横坐标为；点B平移后的对应点的横坐标为， ∵线段与y轴有交点， ∴， 解得； ∴平移后的线段与y轴有交点时，t的取值范围是； 【小问3详解】 解：存在，最小值为； 如图，过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接， 则四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵，l与x轴正方向夹角为，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即直线l垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵和为定值， ∴当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小， ∵，， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 25. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． （1）【问题提出】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，如图2．进而证明________，可得出结论．他的结论应是________． （2）【触类旁通】如图3，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西的A处，815侦察船位于O点南偏东的B处，且（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离（单位：海里）． 【答案】（1）， （2） 解：成立，理由如下： 延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）100海里 【解析】 【分析】（1）由题意可知，得到，，再证明，推出，得到，最后根据即可得出结论； （2）延长，使，连接，先证明，得到，推出，接着证明，得到，最后根据即可得出结论； （3）延长，使，连接，在点的正西方向取一点，在点的正南方向取一点，在点的正北方向取一点，在点的正北方向取一点，接着证明，得到，推出，得到，接着证明，推出，到． 【小问1详解】 解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，，， ∴, ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，使，连接，在点的正西方向取一点，在点的正南方向取一点，在点的正北方向取一点，在点的正北方向取一点，如图所示： 由题意可知，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点． ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期中学业质量监测 数学学科试题 试卷说明： 本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、准考证号、座号等填在答题卡和试题规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3．不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，10个小题，共40分） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x≠1 B. x＞1 C. x≠0 D. x＜1 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式的公因式是（ ） A. a B. b C. D. 4. 下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. m C. D. 8. 如图，将等腰直角三角尺绕顶点A顺时针旋转，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知平行四边形的顶点，，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（ ） A. B. 2026 C. 2027 D. 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 12. 若分式的值为0，则m的值为______． 13. 如图，将沿射线的方向平移得到，如果平移距离是5，，那么________． 14. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 15. 如图，直线交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点，D为y轴上一动点，把线段绕B点逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为________． 三、解答题（90分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 化简： （1） （2） 18. 如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． （1）先将沿y轴正方向向上平移5个单位长度，再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到，画出，点坐标是________； （2）将绕点逆时针旋转，得到，画出，并求出点的坐标是________； （3）我们发现点C、关于某点中心对称，对称中心的坐标是________________． 22. 2026年春季，为落实“健康第一”政策，某校积极开展阳光体育运动．研究表明，每天坚持适量运动能增强心肺功能、提高免疫力、改善睡眠，还能提升学习效率．学校决定购买一批篮球和足球，供学生课余锻炼使用，让每一位学生都能享受运动的快乐．已知篮球的单价比足球的单价贵10元，用300元购买的篮球数量与用250元购买的足球数量相等． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校计划购买篮球和足球共50个，且总费用不超过2800元．因学校运动场地客观原因，学校希望尽可能多买篮球．请问最多能购买多少个篮球？ 23. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：________； （2）分解因式：； （3）已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． （1）求C、D两点的坐标． （2）将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． （3）如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 25. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． （1）【问题提出】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，如图2．进而证明________，可得出结论．他的结论应是________． （2）【触类旁通】如图3，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西的A处，815侦察船位于O点南偏东的B处，且（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离（单位：海里）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $