小升初培优应用题：和差倍问题（专项训练）2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：和差倍问题 【知识点梳理】 1. 基本公式体系 假设甲、乙两数，且甲 > 乙（或甲是乙的倍数）： (1) 和差问题 已知两数之和与两数之差，求这两个数。 1　 大数 = (和 + 差) ÷ 2 2　 小数 = (和 - 差) ÷ 2 3　 验证：大数 - 小数 = 差；大数 + 小数 = 和 (2) 和倍问题 已知两数之和及两数的倍数关系，求这两个数。 1　 关键思路：把小数看作“1份”，大数就是“几份”，总和对应“1+几”份。 2　 1倍量（小数） = 和 ÷ (倍数 + 1) 3　 多倍量（大数） = 1倍量 × 倍数 或 和 - 1倍量 (3) 差倍问题 已知两数之差及两数的倍数关系，求这两个数。 1　 关键思路：把小数看作“1份”，大数就是“几份”，差值对应“几-1”份。 2　 1倍量（小数） = 差 ÷ (倍数 - 1) 3　 多倍量（大数） = 1倍量 × 倍数 或 1倍量 + 差 2. 进阶解题策略 (1) 线段图法（核心工具） 1　 画法规范：先画1倍量（标准量），再根据倍数关系画出多倍量。标注出“和”、“差”的具体数值位置。 2　 作用：直观展示“份数”与“具体数值”的对应关系，避免逻辑混乱。 (2) 隐藏条件的转化 很多题目不直接给出和、差、倍，需要进行转化： 1　 “移多补少”：甲给乙5个后两人相等 原来甲比乙多 个（差的变化）。 2　 “同增同减”：两个数同时加上或减去同一个数，它们的差不变。 3　 “倍数变化”：若甲是乙的3倍，甲增加10，乙不变，新的倍数关系需重新列方程或画图分析。 (3) 多个量的和差倍 对于三个或更多数量的问题，通常采用**“两两比较”或“设中间量为基准”**的方法，将所有量转化为同一个标准量的倍数关系，最后利用总和求解。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 甲、乙两班共有学生84人，甲班比乙班多6人。求甲、乙两班各有多少人？ 2. 果园里有苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 3. 小明买的故事书比科技书多24本，故事书的本数是科技书的4倍。两种书各买了多少本？ 4. 两个连续奇数的和是48，这两个奇数分别是多少？ 5. 父亲今年40岁，儿子今年10岁。几年后父亲的年龄是儿子的2倍？ 【变式拓展篇】 6. 甲、乙两个仓库共存粮100吨。如果从甲仓库运出10吨放入乙仓库，这时两个仓库的存粮就一样多。原来甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 7. 有两根绳子，第一根长30米，第二根长18米。两根绳子剪去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍。剪去了多少米？ 8. 甲、乙、丙三数之和是100，甲数是乙数的2倍，丙数比乙数多10。求甲、乙、丙三数。 9. 姐姐和妹妹共有压岁钱300元，姐姐给妹妹30元后，姐姐的钱还比妹妹多20元。原来姐姐和妹妹各有多少钱？ 【综合提升篇】 10. 甲桶油是乙桶油的4倍，如果从甲桶倒入乙桶15千克，两桶油就一样重。原来两桶油各有多少千克？ 11. 两个数相除，商3余10，被除数、除数、商、余数的和是163。求被除数和除数。 12. 今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年前，爸爸的年龄是儿子的6倍。儿子今年多少岁？ 13. 有三堆棋子，第一堆比第二堆多5枚，第三堆比第一堆少8枚。已知三堆共有62枚，求每堆各有多少枚？ 14. 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，相遇时甲车比乙车多行了40千米。已知甲车速度是乙车的1.5倍。A、B两地相距多少千米？ 15. 一个减法算式中，被减数、减数、差的和是200，减数是差的4倍。求被减数、减数和差。 16. 某工厂男职工人数是女职工人数的3倍，后来招聘了20名女职工，这时男职工人数是女职工人数的2倍。原有男、女职工各多少人？ 17. 小红和小明共有图书48本，小红的本数是小明的2倍少3本。两人各有多少本？ 18. 甲、乙、丙三人共有钱1000元。甲比乙多200元，丙比乙少100元。求三人各有多少钱？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：和差倍问题 【知识点梳理】 1. 基本公式体系 假设甲、乙两数，且甲 > 乙（或甲是乙的倍数）： (1) 和差问题 已知两数之和与两数之差，求这两个数。 1　 大数 = (和 + 差) ÷ 2 2　 小数 = (和 - 差) ÷ 2 3　 验证：大数 - 小数 = 差；大数 + 小数 = 和 (2) 和倍问题 已知两数之和及两数的倍数关系，求这两个数。 1　 关键思路：把小数看作“1份”，大数就是“几份”，总和对应“1+几”份。 2　 1倍量（小数） = 和 ÷ (倍数 + 1) 3　 多倍量（大数） = 1倍量 × 倍数 或 和 - 1倍量 (3) 差倍问题 已知两数之差及两数的倍数关系，求这两个数。 1　 关键思路：把小数看作“1份”，大数就是“几份”，差值对应“几-1”份。 2　 1倍量（小数） = 差 ÷ (倍数 - 1) 3　 多倍量（大数） = 1倍量 × 倍数 或 1倍量 + 差 2. 进阶解题策略 (1) 线段图法（核心工具） 1　 画法规范：先画1倍量（标准量），再根据倍数关系画出多倍量。标注出“和”、“差”的具体数值位置。 2　 作用：直观展示“份数”与“具体数值”的对应关系，避免逻辑混乱。 (2) 隐藏条件的转化 很多题目不直接给出和、差、倍，需要进行转化： 1　 “移多补少”：甲给乙5个后两人相等 原来甲比乙多 个（差的变化）。 2　 “同增同减”：两个数同时加上或减去同一个数，它们的差不变。 3　 “倍数变化”：若甲是乙的3倍，甲增加10，乙不变，新的倍数关系需重新列方程或画图分析。 (3) 多个量的和差倍 对于三个或更多数量的问题，通常采用**“两两比较”或“设中间量为基准”**的方法，将所有量转化为同一个标准量的倍数关系，最后利用总和求解。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 甲、乙两班共有学生84人，甲班比乙班多6人。求甲、乙两班各有多少人？ 【详解】 这是典型的和差问题。 乙班人数（小数）= (和 - 差) ÷ 2 = (84 - 6) ÷ 2 = 78 ÷ 2 = 39（人） 甲班人数（大数）= 39 + 6 = 45（人） 或者：甲班 = (84 + 6) ÷ 2 = 45（人） 【答案】甲班45人，乙班39人 2. 果园里有苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 【详解】 这是典型的和倍问题。 把梨树看作1份，苹果树是3份，总共是 1 + 3 = 4份。 梨树（1倍量）= 120 ÷ (3 + 1) = 120 ÷ 4 = 30（棵） 苹果树 = 30 × 3 = 90（棵） 【答案】苹果树90棵，梨树30棵 3. 小明买的故事书比科技书多24本，故事书的本数是科技书的4倍。两种书各买了多少本？ 【详解】 这是典型的差倍问题。 把科技书看作1份，故事书是4份，相差 4 - 1 = 3份。 这3份对应的具体数量是24本。 科技书（1倍量）= 24 ÷ (4 - 1) = 24 ÷ 3 = 8（本） 故事书 = 8 × 4 = 32（本） 【答案】故事书32本，科技书8本 4. 两个连续奇数的和是48，这两个奇数分别是多少？ 【详解】 连续奇数相差2，即差为2。这是一个和差问题。 较小奇数 = (48 - 2) ÷ 2 = 23 较大奇数 = 23 + 2 = 25 【答案】23和25 5. 父亲今年40岁，儿子今年10岁。几年后父亲的年龄是儿子的2倍？ 【详解】 年龄问题中，年龄差永远不变。 父与子的年龄差 = 40 - 10 = 30岁。 当父亲年龄是儿子2倍时，属于差倍问题。 此时儿子年龄（1倍量）= 差 ÷ (倍数 - 1) = 30 ÷ (2 - 1) = 30岁。 现在儿子10岁，需要经过：30 - 10 = 20年。 【答案】20年后 【变式拓展篇】 6. 甲、乙两个仓库共存粮100吨。如果从甲仓库运出10吨放入乙仓库，这时两个仓库的存粮就一样多。原来甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 【详解】 “移多补少”模型。甲给乙10吨后相等，说明原来甲比乙多 吨。 转化为和差问题：和100，差20。 甲（大数）= (100 + 20) ÷ 2 = 60（吨） 乙（小数）= (100 - 20) ÷ 2 = 40（吨） 【答案】甲仓库60吨，乙仓库40吨 7. 有两根绳子，第一根长30米，第二根长18米。两根绳子剪去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍。剪去了多少米？ 【详解】 关键点：剪去同样长，差不变。 原来的差 = 30 - 18 = 12米。 剩下的部分，第一根是第二根的3倍，属于差倍问题。 剩下的第二根长度（1倍量）= 差 ÷ (倍数 - 1) = 12 ÷ (3 - 1) = 6（米）。 原来第二根长18米，现在剩6米。 剪去的长度 = 18 - 6 = 12（米）。 【答案】12米 8. 甲、乙、丙三数之和是100，甲数是乙数的2倍，丙数比乙数多10。求甲、乙、丙三数。 【详解】 设乙数为1份（标准量）。 甲数 = 2份。 丙数 = 1份 + 10。 总和 = 甲 + 乙 + 丙 = 2份 + 1份 + (1份 + 10) = 4份 + 10。 已知总和100，所以： 4份 + 10 = 100 4份 = 90 1份（乙）= 90 ÷ 4 = 22.5 甲 = 22.5 × 2 = 45 丙 = 22.5 + 10 = 32.5 【答案】甲45，乙22.5，丙32.5 9. 姐姐和妹妹共有压岁钱300元，姐姐给妹妹30元后，姐姐的钱还比妹妹多20元。原来姐姐和妹妹各有多少钱？ 【详解】 方法一：倒推法。 现在姐姐比妹妹多20元，且总和仍为300元（内部转移，总和不变）。 现在妹妹 = (300 - 20) ÷ 2 = 140元。 现在姐姐 = 140 + 20 = 160元。 原来妹妹 = 现在妹妹 - 收到的30 = 140 - 30 = 110元。 原来姐姐 = 现在姐姐 + 给出的30 = 160 + 30 = 190元。 方法二：找原来的差。 姐姐给妹妹30元，差距缩小了 元。 此时还多20元，说明原来姐姐比妹妹多 元。 和300，差80。 姐姐 = (300 + 80) ÷ 2 = 190元。 妹妹 = (300 - 80) ÷ 2 = 110元。 【答案】姐姐190元，妹妹110元 【综合提升篇】 10. 甲桶油是乙桶油的4倍，如果从甲桶倒入乙桶15千克，两桶油就一样重。原来两桶油各有多少千克？ 【详解】 从甲倒入乙15千克后相等，说明原来甲比乙多 千克。 差倍问题：差30，倍数4。 乙（1倍量）= 30 ÷ (4 - 1) = 10（千克） 甲 = 10 × 4 = 40（千克） 【答案】甲桶40千克，乙桶10千克 11. 两个数相除，商3余10，被除数、除数、商、余数的和是163。求被除数和除数。 【详解】 被除数 + 除数 + 3 + 10 = 163 被除数 + 除数 = 163 - 13 = 150 又因为：被除数 = 3 × 除数 + 10 代入上式：(3 × 除数 + 10) + 除数 = 150 4 × 除数 + 10 = 150 4 × 除数 = 140 除数 = 35 被除数 = 35 × 3 + 10 = 115 【答案】被除数115，除数35 12. 今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年前，爸爸的年龄是儿子的6倍。儿子今年多少岁？ 【详解】 年龄差不变。 今年：爸 = 4 × 儿，差 = 3 × 儿 20年前：爸' = 6 × 儿'，差 = 5 × 儿' 因为差不变，所以 3 × 今年儿子 = 5 × 20年前儿子 设20年前儿子 岁，则今年儿子 岁。 今年儿子 = 30 + 20 = 50岁。 【答案】儿子50岁 13. 有三堆棋子，第一堆比第二堆多5枚，第三堆比第一堆少8枚。已知三堆共有62枚，求每堆各有多少枚？ 【详解】 设第二堆为 。 第一堆 = 第三堆 = 第一堆 - 8 = 总和： 【答案】二堆20，一堆25，三堆17。 14. 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，相遇时甲车比乙车多行了40千米。已知甲车速度是乙车的1.5倍。A、B两地相距多少千米？ 【详解】 时间相同，路程比等于速度比。 甲路程 : 乙路程 = 1.5 : 1 = 3 : 2。 甲比乙多 3 - 2 = 1份。 1份对应 40千米。 总路程 = 3 + 2 = 5份。 总路程 = 40 × 5 = 200千米。 【答案】200千米 15. 一个减法算式中，被减数、减数、差的和是200，减数是差的4倍。求被减数、减数和差。 【详解】 性质：被减数 = 减数 + 差。 所以：被减数 + 减数 + 差 = 2 × 被减数 = 200。 被减数 = 100。 减数 + 差 = 100。 已知 减数 = 4 × 差。 4 × 差 + 差 = 100 5 × 差 = 100 差 = 20。 减数 = 20 × 4 = 80。 【答案】被减数100，减数80，差20 16. 某工厂男职工人数是女职工人数的3倍，后来招聘了20名女职工，这时男职工人数是女职工人数的2倍。原有男、女职工各多少人？ 【详解】 男职工人数不变。 原来：男 = 3 × 女原 女原 = 男 / 3 现在：男 = 2 × 女现 女现 = 男 / 2 女现 - 女原 = 20 男/2 - 男/3 = 20 通分：(3男 - 2男) / 6 = 20 男 / 6 = 20 男 = 120人。 女原 = 120 ÷ 3 = 40人。 【答案】男职工120人，女职工40人 17. 小红和小明共有图书48本，小红的本数是小明的2倍少3本。两人各有多少本？ 【详解】 设小明有 本。 小红有 本。 小红 = 48 - 17 = 31本。 验证：17 × 2 - 3 = 31。正确。 【答案】小红31本，小明17本 18. 甲、乙、丙三人共有钱1000元。甲比乙多200元，丙比乙少100元。求三人各有多少钱？ 【详解】 设乙有 元。 甲 = 丙 = 乙 = 300元 甲 = 300 + 200 = 500元 丙 = 300 - 100 = 200元 【答案】甲500元，乙300元，丙200元 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $