第9章因式分解 单元综合达标测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第9章因式分解》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．老师在课堂上布置了用平方差公式分解因式的题目：①；②；③；④．小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 5．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱中华 B．中华河山 C．我爱河山 D．河山中华 8．用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．分解因式：__________． 10．利用因式分解计算：_____． 11．因式分解：_______． 12．______（填“可以”或“不可以”）被8整除． 13．分解因式：=___________ 14．已知，则代数式的值为__________ 15．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 16．已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 三、解答题（满分72分） 17．（9分）用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)． 18．（9分）因式分解： (1)； (2)； (3)． 19．（9分）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 20．（8分）因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 21．（8分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 22．（9分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 解答下列问题． (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提公因式法    B．公式法 (2)请你模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 23．（10分）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 24．（10分）【知识生成】图①所示的是边长为的正方形剪掉一个边长为的小正方形（）并把余下的部分沿虚线剪开拼成的一个长方形．根据裁剪拼接前后图形的面积相等，可以得到等式． 【知识应用】 （1）直接写出图②中所表示的等式：_________________（因式分解的形式）． （2）利用（1）中所得到的等式把因式分解，并仿照图②画出该等式可表示的图形． 【知识迁移】 （3）通过计算，几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图③所示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，求出一个代数恒等式． 参考答案 1．解：A选项，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； B选项，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，是因式分解； C选项，该变形是整式乘法运算，是从乘积化为多项式，不是因式分解； D选项，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解． 2．解：①，能利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ②，不能利用平方差公式因式分解的，符合题意； ③，能利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ④，能利用平方差公式因式分解的，不符合题意． 故选：B． 3．解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 4．解：∵ 又∵ ∴ 且 ∴原式， 故选：A． 5．解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 6．解： ， ∵任何实数的平方都满足， ∴， 即． 7．解：∵ ， 对应密码：表示我，表示华，表示中，表示爱 因乘法交换律，顺序可调整为“我、爱、中、华”，即“我爱中华”． 故选：A． 8．解：如下图： 则空白部分的面积， ， ， ， 代入化简得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴． 9． 【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 10． 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 11． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12． 可以 【分析】先将原式转化为同底数幂，再提取公因式分解因式，观察分解结果是否含有因数8，即可判断能否被8整除. 【详解】解：， 故可以被8整除． 13． 【分析】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 14．25 【分析】将式子变形为，对所求代数式运用完全平方公式因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15．5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】， ， ． 16． 6 14 【分析】（1）由，用含的代数式表示，代入，整理后配方，利用偶次方的非负性求出、、的值，即可得到所求结果． （2）根据三角形的周长公式解答即可． 【详解】解：（1）， ， 把代入得： 整理得：， 即 ∴ 且 解得：，； （2）由（1）得：，，， ∴的周长为． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法是解决本题的关键． （1）根据提公因式法求解即可； （2）根据提公因式法求解即可； （3）根据提公因式法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式分解，再合并同类项，最后提公因式即可； （2）先合并同类项，再提公因式即可分解； （3）利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）提公因式后再进行计算即可； （2）提公因式后，再用平方差公式计算即可；、 （3）提公因式后，再用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握利用因式分解进行计算是解题的关键． 20．(1)) (2) 【分析】本题考查因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．(1)45是“完美数” (2)符合条件的的值为10 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果； （2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴45是“完美数”； （2）解： ， ∵为“完美数”， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为10． 22．(1)B (2) 【分析】本题主要考查因式分解的方法，尤其是公式法的应用．本题的关键在于通过换元法将复杂多项式转化为二次式，再利用完全平方公式分解．注意分解后的二次项需进一步简化． （1）判断第二步到第三步的分解方法运用了完全平方公式； （2）需模仿题中换元法，通过换元法将复杂多项式转化为二次式，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：该同学从第二步到第三步，运用了完全平方公式，属于公式法； 故选：B； （2）设，则原式变为， 代入，得． 23．(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 24．（1） （2），图见解析 （3） 【分析】本题考查了因式分解的几何意义、图形面积与体积的计算等知识点，掌握通过图形拼接前后的面积或体积相等推导代数恒等式的方法是解题的关键． （1）观察图②中图形拼接前后的面积，用两种方式表示面积，得到因式分解等式； （2）仿照（1）的面积法，把表示为长方形面积，分解因式并画出对应图形； （3）计算图③中几何体拼接前后的体积，根据体积相等列出代数恒等式． 【详解】解：（1）∵大长方形的面积=各小部分面积之和 ∴ 即 （2）．画出图形如图（画法不唯一）． （3）根据题意可得，新几何体是一个长为、宽为、高为的长方体， ∴原几何体的体积为，新几何体的体积为． 根据前后几何体的体积相等，可得， ∴代数恒等式为 学科网（北京）股份有限公司 $