第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题 讲义 -2027届高三物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦自由落体运动、竖直上抛运动及多过程问题等高考核心考点，按照定义规律、研究方法、综合应用的逻辑层次梳理知识，通过考点深度研析、考向例题精讲、跟踪训练巩固的教学流程，帮助学生构建匀变速直线运动问题的分析框架，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出科学思维与物理观念的培养，如通过伽利略研究方法渗透科学探究，将杆链运动抽象为质点模型强化模型建构能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，结合2025年模拟题及高考真题训练，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题 1．自由落体运动 (1)定义：物体只在_重力__作用下从_静止__开始下落的运动。 (2)运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的_匀加速直线__运动。 (3)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2＝_2gh__。 (4)伽利略对自由落体运动的研究 ①伽利略通过_逻辑推理__的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。 ②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和_逻辑推理__(包括数学演算)和谐地结合起来。 2．竖直上抛运动 (1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做_自由落体__运动。 (2)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_v0－gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ v0t－gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2－v＝_－2gh__。 ④上升的最大高度：H＝ 　。 ⑤上升到最高点所用时间：t＝ 　。 思考：物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？ 提示：速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。 1．物体从高处下落就是自由落体运动。( × ) 2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。( √ ) 3．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。( √ ) 4．不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。( √ ) 5．物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。( × ) 6．竖直上抛运动是匀变速直线运动。( √ ) 7．竖直上抛运动的上升时间和下落时间均为。( × ) 8．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。( √ ) 考点1　自由落体运动 (能力考点·深度研析) 1．匀变速直线运动的所有规律均可运用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁。 2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。 ►考向1　多物体自由下落问题 (2025·江苏高邮市质检)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光灯间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB<tBC<tCD B．闪光的间隔时间是 s C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9 D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5 ►考向2　杆、链的自由落体运动 (2025·大庆模拟)如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求： (1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1； (2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2。 考点2　竖直上抛运动 (能力考点·深度研析) 1．竖直上抛运动的两种研究方法 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)； 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落； 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 2．竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。 3．竖直上抛运动的对称性 如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则： (1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tBC＝tCB。 (2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。 ►考向1　竖直上抛运动的两种研究方法 (2025·孝感高三调研)在某次跳水比赛中，一位运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，求：(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2) (1)运动员起跳时的速度大小v0； (2)从离开跳台到手接触水面所经历的时间t(本问结果可保留根号)。 ►考向2　竖直上抛运动的对称性 (2025·内蒙古呼和浩特市高三联考)2024年7月29日，2024CBA夏季联赛揭开大幕。比赛中，段昂君帮助球队以93∶86成功战胜对手。某轮比赛中段昂君竖直跳起将篮球扣入篮筐中，他在竖直上升过程中前一半位移用来完成技术动作，后一半位移用来姿态调整，到达最高点后刚好手臂举起将球扣入篮筐。已知段昂君站立举手能达到的高度为2.55 m，起跳后只受重力，篮球筐距地面高度为3.05 m，重力加速度g取10 m/s2，篮球可视为质点，则他用于完成技术动作的时间为(　　) A． s B． s C．1.0 s D． s ►考向3　竖直上抛运动的多解性 考点3　多阶段匀变速运动问题 (能力考点·深度研析) 某高速公路收费站出入口安装了电子不停车收费系统(ETC)。甲、乙两辆汽车分别通过人工收费通道和ETC通道驶离高速公路，流程如图。假设减速带离收费岛口距离x＝60 m，收费岛总长度d＝40 m，两辆汽车同时以相同的速度v1＝72 km/h经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动。甲车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t0＝20 s的时间缴费成功，同时人工栏杆打开放行；乙车减速至v0＝18 km/h后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行。已知两车在栏杆打开放行时立即做匀加速直线运动，且加速和减速过程中的加速度大小相等。求： (1)甲车从开始减速到离开收费岛共用多长时间； (2)乙车比甲车早离开收费岛多长时间。 【跟踪训练】 某运动员(视为质点)在一次练习跳水时，从离水面h1＝4.05 m的高处自由落下，落入水中做匀减速直线运动，到离水面h2＝2.7 m的水深处速度恰好为0，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计运动员在空中受到的阻力，求： (1)运动员落到水面时的速度大小； (2)运动员在水中减速运动的加速度大小和时间。 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 1．同时运动，相遇时间的确定 gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝，或a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动H＝v0t，t＝。 2．要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定 (1)若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。 (2)若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有<t<，即<<，解得<v0<。 如图所示，A、B两棒的长度相同，A的下端和B的上端相距x＝40 m。若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动且初速度v0＝20 m/s，g取10 m/s2，则A、B相遇时A的速度大小为(　　) A．4.0 m/s B．10 m/s C．30 m/s D．20 m/s 提能训练　练案[3] 基础巩固练 题组一　自由落体运动 1．(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　) A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s 2．2024年12月，我国运动员全红婵获得国际泳联多哈世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，全红婵在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　) A．0.2 s B．0.4 s C．1.0 s D．1.4 s 3．宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的物体从足够高的高度自由下落，测得物体在第5 s内的位移是18 m，则(　　) A．物体在2 s末的速度是20 m/s B．物体在第5 s内的平均速度是3.6 m/s C．物体自由下落的加速度是5 m/s2 D．物体在前5 s内的位移是50 m 题组二　竖直上抛运动 4．(多选)用热气球提升物体，当热气球升到离地面43.75 m高处时，从热气球上自由脱落一物体，物体又竖直上升了1.25 m后才开始下落，不计空气阻力，g取10 m/s2，则(　　) A．物体从离开热气球到落到地面的路程是46.25 m B．物体脱落时气球速度大小为2.5 m/s C．物体落地前最后1 s的位移大小为25 m D．物体脱落后经3 s落回地面 5. (2025·湖南长郡中学高三检测)在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，常用“对称自由下落法”测重力加速度g的值。如图所示，在某地将足够长真空长直管沿竖直放置，自直管下端竖直上抛一小球，测得小球两次经过a点的时间间隔为Ta，两次经过b点的时间间隔为Tb，又测得a、b两点间距离为h，则当地重力加速度g的值为(　　) A． B． C． D． 6．(2025·贵州省毕节市月考)在东京奥运会女子蹦床决赛中，中国选手朱雪莹夺得冠军。如图所示，某次比赛中，朱雪莹双脚离开蹦床后竖直向上运动，把上升过程分为等距的三段，朱雪莹从下至上运动过程中，依次经历三段的时间记为t1、t2、t3。则t1∶t2∶t3最接近(　　) A．3∶6∶10 B．3∶4∶10 C．3∶6∶20 D．3∶4∶20 题组三　多过程问题 7．如图所示，高山滑雪运动员在斜坡上由静止开始匀加速滑行距离x1，又在水平面上匀减速滑行距离x2后停下，测得x2＝2x1，运动员经过两平面交接处速率不变，则运动员在斜坡上滑行的加速度a1与在水平面上滑行的加速度a2的大小关系为(　　) A．a1＝a2 B．a1＝4a2 C．2a1＝a2 D．a1＝2a2 8．(2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v<v0)。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 9．高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为(　　) A．4.2 m B．6.0 m C．7.8 m D．9.6 m [题图剖析]　 能力提升练 10．某竖直向上喷射的人工喷泉喷水的最大高度为H，忽略水珠在运动过程中受到的空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　) A．喷泉喷出的水在空中运动时间为 B．水刚喷出时的速度大小为 C．若喷嘴单位时间喷出水的体积为Q，则空中水的体积为Q D．若空中水的体积为V，则喷嘴单位时间内喷出水的体积为 11. (多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)。下列说法正确的是(　　) A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇 B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇 C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇 D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇 12．(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是(　　) A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定 D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定 13．(2025·山东菏泽高三联考)杭州亚运会田径铁饼赛场上，首次在体育赛事中使用机械狗来运输铁饼。某次掷出铁饼后，机械狗需要跑到49.5 m外的工作人员处，把铁饼运回。机械狗可视为经历了匀加速直线运动、匀速直线运动和匀减速直线运动三个过程。其中在匀加速过程中运动了7.5 m，匀速运动的时间为11 s，匀减速过程中的加速度大小为0.5 m/s2，求： (1)机械狗的最大速度； (2)机械狗加速过程中的加速度大小和加速时间； (3)整个过程中机械狗的平均速度大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题 1．自由落体运动 (1)定义：物体只在_重力__作用下从_静止__开始下落的运动。 (2)运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的_匀加速直线__运动。 (3)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2＝_2gh__。 (4)伽利略对自由落体运动的研究 ①伽利略通过_逻辑推理__的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。 ②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和_逻辑推理__(包括数学演算)和谐地结合起来。 2．竖直上抛运动 (1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做_自由落体__运动。 (2)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_v0－gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ v0t－gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2－v＝_－2gh__。 ④上升的最大高度：H＝ 　。 ⑤上升到最高点所用时间：t＝ 　。 思考：物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？ 提示：速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。 1．物体从高处下落就是自由落体运动。( × ) 2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。( √ ) 3．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。( √ ) 4．不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。( √ ) 5．物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。( × ) 6．竖直上抛运动是匀变速直线运动。( √ ) 7．竖直上抛运动的上升时间和下落时间均为。( × ) 8．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。( √ ) 考点1　自由落体运动 (能力考点·深度研析) 1．匀变速直线运动的所有规律均可运用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁。 2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。 ►考向1　多物体自由下落问题 (2025·江苏高邮市质检)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光灯间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB<tBC<tCD B．闪光的间隔时间是 s C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9 D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5 [答案]　B [解析]　由题图可知hAB∶hBC∶hCD＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，故水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；由＝知水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误。 反思提升　　　　 　　 研究多物体在空间上重复同样的运动时，可利用一个物体的运动取代多物体的运动，照片中的多个物体认为是一个物体在不同时刻所处的位置，如水龙头滴水、直升机定点空降、小球在斜面上每隔一定时间间隔连续释放等，均可把多物体问题转化为单物体问题求解。 ►考向2　杆、链的自由落体运动 (2025·大庆模拟)如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求： (1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1； (2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2。 [思维点拨]　 [答案]　(1)(2－)s　(2)(－)s [解析]　(1)木杆由静止开始做自由落体运动， 设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t下A h下A＝gt h下A＝20 m－5 m＝15 m 解得t下A＝ s 设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t上A h上A＝gt 解得t上A＝2 s 则木杆通过圆筒上端A所用的时间 t1＝t上A－t下A＝(2－)s。 (2)设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t上B h上B＝gt上B2 h上B＝20 m＋5 m＝25 m 解得t上B＝ s 则木杆通过圆筒所用的时间 t2＝t上B－t下A＝(－)s。 考点2　竖直上抛运动 (能力考点·深度研析) 1．竖直上抛运动的两种研究方法 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)； 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落； 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 2．竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。 3．竖直上抛运动的对称性 如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则： (1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tBC＝tCB。 (2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。 ►考向1　竖直上抛运动的两种研究方法 (2025·孝感高三调研)在某次跳水比赛中，一位运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，求：(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2) (1)运动员起跳时的速度大小v0； (2)从离开跳台到手接触水面所经历的时间t(本问结果可保留根号)。 [答案]　(1)3 m/s　(2) s [解析]　(1)上升阶段有0－v＝－2gh，代入数据解得v0＝3 m/s。 (2)解法一：分段法 上升阶段有：0＝v0－gt1 代入数据解得：t1＝0.3 s 自由落体运动过程有：H＝gt 其中H＝10 m＋0.45 m＝10.45 m 解得t2＝ s 所以从离开跳台到手接触水面所经历的时间t＝t1＋t2＝0.3 s＋ s＝ s。 解法二：全程法 取竖直向上为正方向，初速度v0＝3 m/s，位移为x＝－10 m，由匀变速直线运动位移与时间的关系得x＝v0t－gt2，解得t＝ s，另一解为负值，舍去。 ►考向2　竖直上抛运动的对称性 (2025·内蒙古呼和浩特市高三联考)2024年7月29日，2024CBA夏季联赛揭开大幕。比赛中，段昂君帮助球队以93∶86成功战胜对手。某轮比赛中段昂君竖直跳起将篮球扣入篮筐中，他在竖直上升过程中前一半位移用来完成技术动作，后一半位移用来姿态调整，到达最高点后刚好手臂举起将球扣入篮筐。已知段昂君站立举手能达到的高度为2.55 m，起跳后只受重力，篮球筐距地面高度为3.05 m，重力加速度g取10 m/s2，篮球可视为质点，则他用于完成技术动作的时间为(　　) A． s B． s C．1.0 s D． s [答案]　D [解析]　段昂君上升的高度为h＝3.05 m－2.55 m＝0.5 m，由逆向思维可知，上升过程的总时间为t＝＝ s，上升过程中后半段位移的时间t2＝＝ s，则上升过程前半段位移他用于完成技术动作的时间为t1＝t－t2＝ s，故选D。 ►考向3　竖直上抛运动的多解性 [答案]　AC [解析]　取竖直向上为正方向，若此时物体的速度方向竖直向上，v＝10 m/s，由竖直上抛运动公式v＝v0－gt，物体的初速度v0＝v＋gt＝40 m/s，物体的位移h1＝(v0＋v)＝75 m，物体在A点的上方，C正确，D错误；若此时物体的速度方向竖直向下，v＝－10 m/s，物体的初速度v0′＝v＋gt＝20 m/s，物体的位移h2＝(v0′＋v)＝15 m，物体在A点的上方，A正确，B错误。 考点3　多阶段匀变速运动问题 (能力考点·深度研析) 某高速公路收费站出入口安装了电子不停车收费系统(ETC)。甲、乙两辆汽车分别通过人工收费通道和ETC通道驶离高速公路，流程如图。假设减速带离收费岛口距离x＝60 m，收费岛总长度d＝40 m，两辆汽车同时以相同的速度v1＝72 km/h经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动。甲车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t0＝20 s的时间缴费成功，同时人工栏杆打开放行；乙车减速至v0＝18 km/h后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行。已知两车在栏杆打开放行时立即做匀加速直线运动，且加速和减速过程中的加速度大小相等。求： (1)甲车从开始减速到离开收费岛共用多长时间； (2)乙车比甲车早离开收费岛多长时间。 [答案]　(1)32 s　(2)(27－2)s [规范答题]　(1)由题意知v1＝72 km/h＝20 m/s，v0＝18 km/h＝5 m/s，设甲车从开始减速到收费岛中心线收费窗口停下用时t1，加速度大小为a。 要指明研究对象和研究过程并设出下面公式中出现字母的含义哟！ 根据运动学公式有 v＝2a① 要用字母写出选用的原始公式哟！不能写成v1＝，也不能写成v＝2a(60＋20) v1＝at1② 设甲车从收费岛中心线到离开收费岛用时t2，由运动学公式有 要有必要的文字说明哟！ ＝at③ 公式要另起一行书写，这样容易得分哟！ 则甲车从开始减速到离开收费岛所用时间为 t甲＝t0＋t1＋t2④ 代入数据解得a＝2.5 m/s2，t甲＝32 s。 不用写出具体的运算过程，只写出最后结果即可 (2)设乙车减速到v0所用时间为t3，由运动学公式有v1－v0＝at3⑤ 乙车减速过程运动的距离为x1＝t3⑥ 设乙车从匀速运动到栏杆打开所用时间为t4，由运动学公式可得v0t4＝x＋－x1⑦ 设乙车从栏杆打开到离开收费岛所用时间为t5， 由运动学公式可得＝v0t5＋at⑧ 则乙车从开始减速到离开收费岛所用时间为t乙＝t3＋t4＋t5⑨ 乙车比甲车早离开收费岛的时间为 Δt＝t甲－t乙⑩ 联立④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式， 代入数据解得Δt＝(27－2)s。 计算结果为数字时要写明单位！ 【跟踪训练】 某运动员(视为质点)在一次练习跳水时，从离水面h1＝4.05 m的高处自由落下，落入水中做匀减速直线运动，到离水面h2＝2.7 m的水深处速度恰好为0，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计运动员在空中受到的阻力，求： (1)运动员落到水面时的速度大小； (2)运动员在水中减速运动的加速度大小和时间。 [答案]　(1)9 m/s　(2)15 m/s2　0.6 s [解析]　(1)运动员在空中做自由落体运动，有h1＝gt v＝gt1 解得t1＝0.9 s v＝9 m/s。 (2)取竖直向下为正方向，运动员在水中做匀减速直线运动，有2ah2＝0－v2 解得a＝－15 m/s2 即运动员在水中的加速度大小为15 m/s2，根据匀变速直线运动规律有0＝v＋at2 解得t2＝0.6 s。 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 1．同时运动，相遇时间的确定 gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝，或a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动H＝v0t，t＝。 2．要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定 (1)若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。 (2)若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有<t<，即<<，解得<v0<。 如图所示，A、B两棒的长度相同，A的下端和B的上端相距x＝40 m。若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动且初速度v0＝20 m/s，g取10 m/s2，则A、B相遇时A的速度大小为(　　) A．4.0 m/s B．10 m/s C．30 m/s D．20 m/s [答案]　D [解析]　若A、B同时运动，两者的加速度相同，以物体A为参考系，则物体B相对A的运动为匀速直线运动，相对速度大小为v相＝v0＝20 m/s，则A、B相遇的时间为t＝＝＝2 s，此时A的对地速度为vA＝gt＝20 m/s，故D正确。 提能训练　练案[3] 基础巩固练 题组一　自由落体运动 1．(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　) A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s [答案]　B [解析]　重物所受空气阻力可忽略，重物自由下落后均做自由落体运动，加速度与其质量无关，则P1、P2下落1 s后的速度v1＝v2＝gt＝10 m/s2×1 s＝10 m/s，故B正确，A、C、D错误。 2．2024年12月，我国运动员全红婵获得国际泳联多哈世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，全红婵在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　) A．0.2 s B．0.4 s C．1.0 s D．1.4 s [答案]　B [解析]　全红婵下落的整个过程所用的时间为t＝＝ s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时间为t1＝＝ s＝1 s，则全红婵用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，B正确，A、C、D错误。 3．宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的物体从足够高的高度自由下落，测得物体在第5 s内的位移是18 m，则(　　) A．物体在2 s末的速度是20 m/s B．物体在第5 s内的平均速度是3.6 m/s C．物体自由下落的加速度是5 m/s2 D．物体在前5 s内的位移是50 m [答案]　D [解析]　根据运动学公式Δx＝at－at＝18 m，代入t2＝5 s，t1＝4 s，解得a＝4 m/s2，选项C错误；物体在2 s末的速度为v2＝4×2 m/s＝8 m/s，选项A错误；物体在5 s内的位移为x5＝×4×52 m＝50 m，选项D正确；物体在第5 s内的位移为18 m，故物体在第5 s内的平均速度为18 m/s，选项B错误。 题组二　竖直上抛运动 4．(多选)用热气球提升物体，当热气球升到离地面43.75 m高处时，从热气球上自由脱落一物体，物体又竖直上升了1.25 m后才开始下落，不计空气阻力，g取10 m/s2，则(　　) A．物体从离开热气球到落到地面的路程是46.25 m B．物体脱落时气球速度大小为2.5 m/s C．物体落地前最后1 s的位移大小为25 m D．物体脱落后经3 s落回地面 [答案]　AC [解析]　物体从离开热气球到落到地面的路程为s＝1.25 m＋43.75 m＋1.25 m＝46.25 m，A正确；由于物体从离开热气球后向上做匀减速直线运动，并运动了1.25 m，根据匀变速直线运动的公式有0－v＝－2gh1，代入数据得v0＝5 m/s，B错误；物体从离开热气球后先向上做匀减速直线运动有0＝v0－gt1，解得t1＝0.5 s，后做自由落体运动直至落地有h＝gt，h＝1.25 m＋43.75 m，解得t2＝3 s，t总＝t1＋t2＝3.5 s，则物体脱落后经3.5 s落地，D错误；物体落地的速度为v＝gt2＝30 m/s，根据逆向思维法有x＝vt－gt2，t＝1 s，解得x＝25 m，C正确。 5. (2025·湖南长郡中学高三检测)在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，常用“对称自由下落法”测重力加速度g的值。如图所示，在某地将足够长真空长直管沿竖直放置，自直管下端竖直上抛一小球，测得小球两次经过a点的时间间隔为Ta，两次经过b点的时间间隔为Tb，又测得a、b两点间距离为h，则当地重力加速度g的值为(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　小球从a点上升到最大高度过程中，有ha＝g2，小球从b点上升到最大高度过程中，有hb＝g2，依据题意ha－hb＝h，联立解得g＝，B正确。 6．(2025·贵州省毕节市月考)在东京奥运会女子蹦床决赛中，中国选手朱雪莹夺得冠军。如图所示，某次比赛中，朱雪莹双脚离开蹦床后竖直向上运动，把上升过程分为等距的三段，朱雪莹从下至上运动过程中，依次经历三段的时间记为t1、t2、t3。则t1∶t2∶t3最接近(　　) A．3∶6∶10 B．3∶4∶10 C．3∶6∶20 D．3∶4∶20 [答案]　B [解析]　根据逆向思维，将向上的运动看为向下的初速度为0的匀加速直线运动，则有h＝gt，2h＝g(t2＋t3)2,3h＝g(t1＋t2＋t3)2，解得t3＝，t2＝－，t1＝－，则有t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1≈(1.732－1.414)∶(1.414－1)∶1≈3∶4∶10，可知该比值最接近3∶4∶10。故选B。 题组三　多过程问题 7．如图所示，高山滑雪运动员在斜坡上由静止开始匀加速滑行距离x1，又在水平面上匀减速滑行距离x2后停下，测得x2＝2x1，运动员经过两平面交接处速率不变，则运动员在斜坡上滑行的加速度a1与在水平面上滑行的加速度a2的大小关系为(　　) A．a1＝a2 B．a1＝4a2 C．2a1＝a2 D．a1＝2a2 [答案]　D [解析]　设运动员下滑到坡底的速度为v，则在斜坡上有x1＝，在水平面上有x2＝，因x2＝2x1，联立解得a1＝2a2，故选D。 8．(2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v<v0)。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ [答案]　C [解析]　当列车恰好以速度v匀速通过隧道时，从减速开始至回到原来正常行驶速度所用时间最短，列车减速过程所用时间t1＝，匀速通过隧道所用时间t2＝，列车加速到原来速度v0所用时间t3＝，所以列车从减速开始至回到正常行驶速率所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝＋，C项正确。 9．高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为(　　) A．4.2 m B．6.0 m C．7.8 m D．9.6 m [题图剖析]　 [答案]　D [解析]　v0＝21.6 km/h＝6 m/s，由题意可知，汽车在前1 s内做匀速直线运动，位移为x1＝v0(t1＋t2)＝6×(0.3＋0.7)m＝6 m，随后汽车做匀减速运动直到停下来，位移为x2＝＝ m＝3.6 m，汽车刚好没有撞杆，则汽车恰好停在杆前，所以该ETC通道的长度为L＝x1＋x2＝(6＋3.6)m＝9.6 m，D正确。 能力提升练 10．某竖直向上喷射的人工喷泉喷水的最大高度为H，忽略水珠在运动过程中受到的空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　) A．喷泉喷出的水在空中运动时间为 B．水刚喷出时的速度大小为 C．若喷嘴单位时间喷出水的体积为Q，则空中水的体积为Q D．若空中水的体积为V，则喷嘴单位时间内喷出水的体积为 [答案]　D [解析]　喷泉中水珠的运动视为竖直上抛运动，由H＝gt2，可得t＝，水珠在空中运动的时间为t总＝2t＝2，故A错误；水刚喷出时的速度大小满足v2＝2gH，解得v＝，故B错误；若喷嘴单位时间喷出水的体积为Q，则空中水的体积为Qt总＝2Q，故C错误；若空中水的体积为V，则喷嘴单位时间内喷出水的体积为＝，故D正确。 11. (多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)。下列说法正确的是(　　) A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇 B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇 C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇 D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇 [答案]　BCD [解析]　设两球在空中相遇，所需时间为t，根据运动学公式可得gt2＋v0t－gt2＝h，可得t＝，而乙球的落地时间t1＝，两球在空中相遇的条件是t<t1，整理得h<20 m，A错误；若乙球恰好在最高点与甲球相遇，满足的条件是t＝t1，代入数据整理得h＝10 m，B正确；h＝15 m时，由于10 m<h＝15 m<20 m，可得乙球能在下落过程中与甲球相遇，C正确；当h<10 m时，乙球还没有上升到最高点就与甲球相遇，D正确。 12．(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是(　　) A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定 D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定 [答案]　BC [解析]　b球下落高度为20 m时，t1＝＝ s＝2 s，则a球下落了3 s，a球的速度大小为v＝30 m/s，故A错误；a球下落的总时间为t2＝ s＝5 s，a球落地瞬间b球下落了4 s，b球的下落高度为h′＝×10×42 m＝80 m，故b球离地面的高度为h″＝(125－80)m＝45 m，故B正确；由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差Δv＝gt－g(t－1 s)＝10 m/s，即速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。 13．(2025·山东菏泽高三联考)杭州亚运会田径铁饼赛场上，首次在体育赛事中使用机械狗来运输铁饼。某次掷出铁饼后，机械狗需要跑到49.5 m外的工作人员处，把铁饼运回。机械狗可视为经历了匀加速直线运动、匀速直线运动和匀减速直线运动三个过程。其中在匀加速过程中运动了7.5 m，匀速运动的时间为11 s，匀减速过程中的加速度大小为0.5 m/s2，求： (1)机械狗的最大速度； (2)机械狗加速过程中的加速度大小和加速时间； (3)整个过程中机械狗的平均速度大小。 [答案]　(1)3 m/s　(2)0.6 m/s2　5 s　(3)2.25 m/s [解析]　(1)已知x1＝7.5 m，匀速运动的距离为x2＝vt2 匀减速运动的距离为x3＝ 总位移为x＝x1＋x2＋x3 解得v＝3 m/s。 (2)根据速度—位移关系可知加速的位移x1＝ 解得a1＝0.6 m/s2 匀加速阶段v＝a1t1 解得t1＝5 s。 (3)由题可知匀速阶段t2＝11 s，匀减速阶段v＝a3t3 总时间t＝t1＋t2＋t3 平均速度为＝ 解得＝2.25 m/s。 学科网（北京）股份有限公司 $