第二十章 勾股定理 测试卷-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

高效备号 精推提分 第二十章测试卷 时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本题共计10小题，每小题3分， 共30分)】 1.在下列四组数中，是勾股数的一组是( A.2,1,N5 B.6,8,12 C.7,40,41 D.5,12,13 2.已知直角三角形的两条直角边的长分别 A.13 B.17 C.18 D.25 为5和12，则第三边长为( 6.边长为6cm的正方形铁片如图 6 A.13 B.√119 所示，过两个顶点剪掉一个三角6 C.13或√119 D.√13 形，以下四种剪法中，标记的裁剪 3.若△ABC的三边长a,b,c满足a:b:c=1:3: 线长度（单位：cm)不正确的是( 2,则△ABC的最大内角的度数为( A.30° B.40° C.90° D.60° 4.如图，阴影部分的长方形的面积是( 7.小明学了在数轴上画出表示无理数的点 3cm B 的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点 8cm 为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后 17 cm 过点A作AB⊥OA,使AB=1;最后以点O A.9 cm2 为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半 B.24 cm2 轴于点P.点P表示的数是( C.45 cm2 D.51 cm2 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 5,AC=13,分别以点A,C为圆心，以大于 2 号4C的长为半径作弧两弧相交于点E, A.2.2 B.5 C.1+2D.6 F.作直线EF交BC于点D,连接AD,则 8.如图，分别以直角三角形的三边a,b,c为边， △ABD的周长为() 向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形 和正方形，上述四种情况的面积关系满足 二、填空题（本题共计5小题，每小题4分， S1+S2=S的图形有( 共20分) 11.勾股定理的逆定理可以用语言叙述为： S 如果 等于 ,那么这个 S 三角形是直角三角形 图1 图2 12.中考新角度数学文化《九章算术》是 我国古代最重要的数学著作之一，在“勾 S2 股”章中记载了一道“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问 S3 折者高几何？”翻译成数学问题是：如图， 在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10, 图3 图4 BC=3,则AC的长为 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图，把长方形纸条ABCD沿EF,GH同 E 时折叠，使B,C两点恰好落在AD边上的 点P处.若∠FPH的度数恰好为90°， B PF=4,PH=3,则长方形ABCD的边BC 第12题图 第13题图 的长为( 13.如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四 边形ABCD与四边形EFGH均为正方 形，H是DE的中点.若AD的长为5，则 阴影部分的面积为 H 14.中考新角度规律探索 如图，Rt△ABC A.10 B.11 C.12 D.15 的两直角边长分别为1,2，以Rt△ABC 的斜边AC为一直角边，另一直角边长为 10.如图，在△ABC中，AB=12,AC=16, 1画第二个△ACD;在以△ACD的斜边 BC=20,BD是∠ABC的平分线.若P,Q AD为一直角边，另一直角边长为1画第 分别是BD和AB上的动点，则PQ+PA 三个△ADE;…依此类推，第n个直角 的最小值为( 三角形的斜边长是 H B D 24 48 A. B. C.12 D.16 第14题图 第15题图 15.如图，有一棱长为4dm的正方体盒子， ABCD(如图)进行绿化，经测量∠ABC= 现要按图中箭头所指方向从点A到点D 90°，AB=14m,BC=48m,CD=40m, 拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE, AD=30m,求四边形空地ABCD的面积 BCGF,EFGH,CDHG四个面，则所需捆绑 D 线绳的长至少为 dm. 街 道 三、解答题（本题共计5小题，共70分） 16.(12分)“赵爽弦图”（图1）巧妙地利用 “出入相补”的方法证明了勾股定理.荣 街道 荣受此启发，探究后发现，若将4个直角 边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角 形拼成如图2所示的五边形，用不同的 方法表示五边形的面积，可以证明勾股 定理.请完成荣荣的证明：a2+b=c己 18.（15分)如图，高速公路的同侧有A,B两 图1 图2 个村庄，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为A4,=2km,BB,=4km, AB,=8km.现要在高速公路上AB,之 间设一个出口P,使A,B两个村庄到出 口P的距离之和最短，则这个最短距离 是多少千米？ M A B N 17.(13分)为持续提升居民生活环境品质， 打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居 环境，某市积极开展“市容环境卫生整治 行动·植绿种树”活动.志愿者在某小区 临街的拐角处清理出一块四边形空地 19.（15分)如图，在四边形ABCD中，AB∥ 数量关系.”并对荣荣表示感谢 CD,BC AD =4,AB CD =10,LDCB 90°，E为CD边上的一点，DE=7,动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速 度沿着边AB向终点B运动，连接PE,设 点P运动的时间为ts 图1 (1)求BE的长； (2)若△BPE为直角三角形，求t的值： C 图3 (1)AD2+BC2与AB2+CD2有什么数量 关系？请给出证明，并求出AD的 长度。 (2)如图2，分别在△ABC的边BC和边 AB上向外作等腰直角三角形BCQ 和等腰等腰直角三角形ABP,连接 PC,PO ①若AC=4,BC=8,连接AQ交PC 于点D,当∠ACB=90°时，求PQ 的长； ②如图3，若AB=10,BC=8,PC=83, 当∠ACB≠90°时，请直接写出△ABC 的面积 20.（15分)学完勾股定理后，恒恒碰到了一 道题：如图1，在四边形ABCD中，AC⊥ BD,垂足为O.若AB=5,CD=4,BC=6, 则AD的长为 他不会做，去问同桌荣荣，荣荣通过思考 后，耐心地对恒恒讲道：“因为AC⊥BD, 垂足为O,那么在四边形ABCD中有四 个直角三角形，利用勾股定理可得， AD2=0A2+0D2,BC2=0B2+OC2, AB2=0A2+0B2,CD2=0C2+0D2..”荣 荣话没讲完，恒恒就讲道：“我知道了，原 来AD2+BC2与AB2+CD之间有某种 8∴.a=√18+280=√/10+8+2/10×8= √10+√⑧=√/10+2√2： 答：正方形的边长为√10+22： 第二十章测试卷 1.DA.含√5，不是正整数，故该选项不符合题 意；B.62+82=36+64=100,122=144,100≠ 144,故该选项不符合题意；C.7+402=49+ 1600=1649,412=1681,1649≠1681，故该 选项不符合题意；D.52+12=25+144= 169,132=169,故该选项符合题意。 2.A根据勾股定理，第三边的长为√52+12= √25+144=√/169=13. 3.C,a:b:c=1:√3：2，.设a=m,b=3m, c=2m,.a2+b2=m2+(√3m)2=4m2,c2= (2m)2=4m2,.a2+b2=c2,.△ABC是直角 三角形，∴.△ABC的最大内角的度数为90°. 4.C由题图可知，△ABC是直角三角形 .AC=8cm,BC=17cm,∴.AB=√BC2-AC2= √172-82=15(cm),.S阴影=15×3=45(cm2). 5.B在Rt△ABC中，BC=√JAC2-AB= √/132-52=12.由作图可知，EF垂直平分线段 AC,∴.DA=DC,∴.△ABD的周长为AB+BD+ AD=AB+BD +DC=AB+BC=5+12=17. 6.B:正方形的边长为6cm,∴.原正方形对角 线的长=√62+62=6V2≈8.5(cm).9>8. 5,∴.选项B中标记的裁剪线长度不正确. 7.B在Rt△OAB中，OA=2,AB=1,∴.OB= √0A2+AB2=√22+12=√5，.以点0为圆 心，OB的长为半径的弧与数轴正半轴的交点 P表示的数为V5. 8.C由题意知，a2+b2=c2.如题图1，易求得 4 4 公+厚=得8+$=5如题图2。 4 易求得S=80,=8,=8c2.d+ 8 公=6，骨0+晋-骨6S+8=s如 题图3，易求得S=2,=8,8=4. d+=42+48=4+=s 如题图4，易求得S1=a2,S2=b2,S3=c2.a2+ b2=c2,∴.S1+S2=S.综上，面积关系满足S1+ S2=S3的图形有4个. 9.C.长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折 叠，B,C两点恰好落在AD边上的点P处， ∴.BF=PF=4,CH=PH=3.∠FPH=90°， ∴.FH=√Pp2+PH=√42+32=5，.BC= BF+FH+CH=4+5+3=12. 10.B如图，作点Q关于直线BD的对称点 Q',作AM LBC于点M. D P O'M PA+PQ=PA+PQ',∴.当A,P,Q'三点共 线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最 小值=线段AM的长.，在△ABC中，AB= 12,AC=16,BC=20,∴.AB2+AC2=144+256= 400=BC,∴.△ABC是直角三角形，∠BAC= 909在RE△ABC中，SAx=2AB·AC= 7BC AM,".AM-AB AC-12x16 BC-20=5 11.一个三角形两边的平方和第三边的平方 12.4.55设AC=x,∴.AB=10-x.在Rt△ABC 中，根据勾股定理，得x2+32=（10-x)2,解 得x=4.55,故AC的长为4.55 13.15由“赵爽弦图”可知，AE=DH.设EH=x, 则DH=AE=x.,AD的长为5，AE2+ED2= AD,∴.x2+(2x)2=52,解得x=√5，.阴影部 分的面积为2×(5)2×4+(5)2=15 14.√n+4第1个直角三角形的斜边长是 √5=√1+4；第2个直角三角形的斜边长是 5 √5+1=√6=√2+4；…依次可得第n个 直角三角形的斜边长的平方比第(n-1)个直 角三角形的斜边长的平方大1；故第n个直角 三角形的斜边长是√n+4. 15.4√13画出正方体展开图，如图所示.根据 “两点之间，线段最短”知，线段AD即为最短 路线展开后由勾股定理，得AD2=(4×2)2+ (4×3)2,.AD=413 B C 16.证明：题图2中的五边形的面积可以表 示为： S-o+jabx2-o+ab. 还可以表示为§=公2+82+号b×2=d2+ b2+ab, ..c2+ab=a2+b2+ab, a2+b2=c2. 17.解：如图，连接AC. D 道 街道 C 在Rt△ABC中，AB=14m,BC=48m,CD= 40m,AD=30m, AC=√AB+BC=√142+482=50(m). .AD2+CD2=302+402=2500, ∴.AD2+CD2=AC2, ∴.△ACD是直角三角形，且∠D=90°， ∴.S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC =2AD:CD+2AB·BC =×40x30+ 2×14x48 =600+336 =936(m2). ∴.四边形空地ABCD的面积是936m2. 18.解：如图，作点B关于直线MN的对称点B', 连接AB'交AB,于点P, 则AP+BP=AP+PB'=AB',所以点P即为 到村庄A,B的距离之和最短的点： 过点A作AE⊥BB'于点E, B M A B N B 则AE=AB1=8,B'E=AA1+BB1=2+4=6, 由勾股定理，得AB'=√AE+EB2= √82+6=10， 即AP+BP=AB'=10. 故A,B两村庄到出口P的距离之和最短是 10km. 19.解：(1)CD=10,DE=7, .CE=10-7=3. 在Rt△CBE中，BE=√BC2+CE2=5. (2)当∠BPE=90时，AP=10-3=7, 则t=7÷1=7, 当∠BEP=90°时，BE2+PE=BP2,即52+ 42+(7-t)2=(10-t)2, 解得t=3 3 当1=7或时，△BPE为直角三角形. 20.(1)解：AD2+BC2=AB2+CD2.证明如下： .AC⊥BD, ∴.四边形ABCD中有四个直角三角形 根据勾股定理，得AD2=AO2+D02,AB2= A02+B02,BC2=C02+B02,CD2=D02+C02, .AD+BC2=A02+D02+C02+B02,AB2+ CD2=A02+B02+D02+C02, .'AD2 +BC2=AB2 CD2. 6 又AB=5,CD=4,BC=6, .AD2+62=52+42, AD2=5,∴.AD=5 (2)①解：'AC=4,BC=8,∠ACB=90°， .AB=√AC2+BC2=√42+82=45. △BCQ是等腰直角三角形，AB=4√5， ∴.AP=√2AB=4√10，PB=AB,∠PBA=90. '△ABP是等腰直角三角形，BC=8, ∴.CQ=√2BC=8√2，BC=BQ,∠CBQ=90°， ∴.∠PBA=∠CBQ, ∴.∠PBA+∠ABC=∠CBQ+∠ABC,即 ∠PBC=∠ABQ, ∴.△PBC≌△ABQ(SAS), ∴.∠PCB=∠AQB, .'∠AQB+∠DQC+∠BCQ=90°， ∴.∠PCB+∠DQC+∠BCQ=90°， .∠QDC=90°， ∴.AQ⊥PC 由(1)中结论可得AC2+PQ2=AP2+CQ2, .42+PQ2=(4√10)2+(82)2， 解得PQ=4√17， .PQ的长为417. ②7. 提示：连接AQ,过点A作AE⊥QB交QB延 长线于点E,如下图所示. 同①中证明方法，可证△PBC≌△ABQ, ∴.AQ=PC=8V3 ,:△AEB和△AEQ均为直角三角形， .AB2-BE2 =AE2 =A02-QE2. 又QE=QB+BE, ..AB2-BE2=AQ2-(QB+BE)2, 即102-BE2=(8√3)2-(8+BE)2, 解得BB=子 AE⊥QB,CB⊥QB, 易证得AE∥CB, 故△ABC边BC上的高长度与BE长度 一致， .S△ABc= BCBB=3x8x子-7， 故△ABC的面积为7. 第二十一章测试卷 1.A 2.C.AB =4,AC=10,..BC=AC-AB=6. ,'a∥b∥c,直线d与它们分别垂直且相交于 A,B,C三点，.平行线b,c之间的距离是6. 3.DD,E分别为AC,BC的中点，∴.DE是 △ABC的中位线，∴.AB=2DE,DE=16m, .AB=2×16=32(m). 4.D 5.D.菱形ABCD的周长为32，∴.AD=32÷ 4=8,,四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, ∴.∠AOD=90°，H为边AD的中点，∴.OH= 号A0=4 6.D共可以画出以下4个格点矩形，如图所示. B 7.D.·四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAC=∠ACB=45° AE=AC, ∠ACE=∠E=180°，45°=67.5°， 2 ∴.∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°= 22.5°. 7