周周练04 第二十章 勾股定理综合训练（数学新教材人教版八年级下册）

2025-2026学年八年级下学期数学周周练04 第二十章 勾股定理综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A A B A B C B 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．4． 12．2； 13．38． 14．8+6或68． 15．0.6． 16．2． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．【答案】解：如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴， ∵AD＝4，DC＝6， ∴（2）2+42＝62，即AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ， ∴四边形ABCD的面积为． 18．【答案】解：（1）AB， 故答案为：． （2）如图所示： 19．【答案】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， 设AD＝xcm，则AC＝AB＝（x+12）cm， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， 即x2+162＝（x+12）2， 解得：x， 即ADcm； （2）AB＝AC12（cm）， 过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高， ∵AB＝AC，BC＝20cm， ∴BE＝CE＝10（cm）， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE（cm）， 即△ABC中BC边上的高是cm． 20．【答案】解：（1）①设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：是； ②∵22＝4，52＝25，， ∴，，， ∴该三角形不是“奇异三角形”， 故答案为：是； （2）由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2，即BC2＝AB2﹣AC2． ∵Rt△ABC是奇异三角形，AC＝5， ①AB2+AC2＝2BC2，即AB2+AC2＝2（AB2﹣AC2）． ∴AB2＝3AC2＝3×52＝75． ∴AB＝5（负值已舍去）； ②AB2+BC2＝2AC2，即AB2+AB2﹣AC2＝2AC2． ∴． ∴AB（负值已舍去）； ③AC2+BC2＝AB2≠2AB2，此种情况不成立． 综上，AB的长为5或． 21．【答案】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8m， 设AC＝xm，则BC＝（8﹣x）m， ∵∠A＝90°， ∴BC2＝AB2+AC2， 即（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3， 答：旗杆折断处点C距离地面的高度AC为3m； （2）∵D点距地面AD＝AC﹣CD＝3﹣1.25＝1.75（m）， ∴B1D＝8﹣1.75＝6.25（m）， ∴AB16（m）， 答：AB1的长为6m． 22．【答案】解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于D， 由题意得：AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m． ∵802+602＝1002，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴， ∴． 答：点C到铁路AB的距离为48m； （2）对鸟类巢穴造成噪声污染；理由如下： 如图2，CD⊥AB，在AB上取不同的两点E、F，连接CE、CF，使得CE＝CF＝52m． ∴DE＝DF． 在Rt△CDE中，由勾股定理，得：， ∴EF＝2DE＝2×20＝40（m）， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为4s． 23．【答案】（1）证明：BD＝CE，理由如下：如图2： ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：线段BD、CD、DE之间的数量关系为BD2+CD2＝DE2， 证明如下：如图3： ∵AB＝AC，α＝90°， ∴∠B＝∠BCA＝45°， 同（1）可证△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝90°， ∴CE2+CD2＝DE2， ∴BD2+CD2＝DE2； （3）解：∵α＝90°，AB＝AC＝6， ∴， ①当D在线段BC上时，如图3： ∵， ∴， 由（2）知BD2+CD2＝DE2， ∴， ②当D在CB延长线上时，如图4： ∵， ∴， ∴． 综上所述，DE的长度为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练04 第二十章 勾股定理综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B． C．7，24，25 D． 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵0.3，0.4，0.5都不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； B、∵，，都不是正整数， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C、∵72+242＝252， ∴正整数7，24，25是勾股数，符合题意； D、∵，，都不是正整数， ∴，，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．（3分）在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a．下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③a2+b2＝c2，④，⑤a：b：c＝3：4：5．能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答． 【解答】解：∵∠A＝∠B﹣∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B﹣∠C+∠B+∠C＝180°，即∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 所以结论①正确； 设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝180°， ∴k＝15°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形． 所以结论②错误； ∵a2+b2＝c2， ∴由勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形． 所以结论③正确； ∵，即∠B＝2∠A，∠C＝2∠A， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180°， ∴∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°， ∴△ABC不是直角三角形． 所以结论④错误； 设a＝3k，b＝4k，c＝5k，则a2+b2＝9k2+16k2＝25k2，c2＝25k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 所以结论⑤正确； 综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有①、③、⑤，共3个，所以只有选项C正确，符合题意． 故选：C． 3．（3分）如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积求出AD＝DC＝1的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【解答】解：∵面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上， ∴AD＝DC＝1， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC， ∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 4．（3分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C．6 D． 【分析】根据勾股定理的逆定理求出三角形为直角三角形，再利用面积公式进行计算即可． 【解答】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积． 故选：A． 5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝20，BC边的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接CD，若△ACD的周长为28，则AD的长为（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到AB＝16，再利用勾股定理的逆定理求得∠A＝90°，设AD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵△ACD的周长为28， ∴AC+AD+DC＝28， ∴AC+AD+DB＝AC+AB＝28，又AC＝12， ∴AB＝28﹣12＝16， 设AD＝x，DB＝DC＝16﹣x， ∵AC＝12，BC＝20，AB＝16，162+122＝400＝202， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠A＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝12，AD＝x，DC＝16﹣x， 由勾股定理得AD2+AC2＝CD2，即x2+122＝（16﹣x）2， 解得x＝3.5， 即AD＝3.5， 故选：A． 6．（3分）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（　　） A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm 【分析】结合勾股定理，先计算出BC的长度，令OB＝ x cm，则OC＝（x﹣2）cm，可根据OB2＝BC2+OC2得方程，解出方程即可． 【解答】解：根据题意，可得AB＝15cm，AC＝2cm， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝221（cm2）， 令OB＝xcm，则OC＝（x﹣2）cm， 由勾股定理得OB2＝BC2+OC2， 得方程x2＝221+（x﹣2）2， 解得， 故选：B． 7．（3分）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC＝90°，以AC为直角边向外作Rt△ACD（∠CAD＝90°），分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝1，S3＝7，则S4为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，CD2﹣AD2＝AC2，计算即可． 【解答】解：由题意得：， ， ， ， ∴，， ∵∠ABC＝∠CAD＝90°， ∴AB2+BC2＝AC2，CD2﹣AD2＝AC2， ∴AB2+BC2＝CD2﹣AD2， ∴， ∴S1+S2＝S3﹣S4， ∵S1＝3，S2＝1，S3＝7， ∴3+1＝7﹣S4， ∴S4＝3， 故选：B． 9．（3分）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　） A．80° B．60° C．45° D．30° 【分析】过B作BM∥AC，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可． 【解答】解：过B作BM∥AC，如图，连接DM， 由勾股定理得：DM，BM，BD，AC， ∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2， ∴△DMB是等腰直角三角形， ∴∠DBM＝45°， ∵AC∥BM， ∴∠APB＝∠DBM＝45°， 故选：C． 10．（3分）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝2，a2+b2＝28，则图2中的阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．23 D．24 【分析】根据题意所求阴影部分面积为S正方形MFGC﹣S△CDG，再根据所给条件求面积即可． 【解答】解：如图2， ∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵青出与青入的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM， ∴JC＝AM＝b﹣a， ∴BM＝a， ∴CM＝CG， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴ab12， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG ＝a2+b2ab ＝28﹣6 ＝22， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为　4　 ． 【分析】根据勾股数的定理a2+b2＝c2， 由此即可得出答案． 【解答】解：∵直角三角形的斜边长为，两条直角边长分别为1，a， ∴， a2＝17﹣1， ∴a＝4 （负值舍去，不符合题意）， 故答案为：4． 12．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，那么边AB上的高是　2　 ． 【分析】分别求出AC、BC、AB的长，易证△ABC为直角三角形，再利用等面积即可得解； 【解答】解：由勾股定理及各点可得AC2，BC，AB5， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， ∴hAB2， 故答案为：2； 13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AB＝5，，则BC2+AD2＝　38　 ． 【分析】先利用勾股定理求出BC2＝OB2+OC2、AD2＝AO2+OD2、OB2+OA2＝AB2＝25、OD2+OC2＝CD2＝13，再说明BC2+AD2＝AB2+CD2，最后代入数据即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2； 在Rt△OAD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+OD2； 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+OA2＝AB2＝25； 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝13； ∴BC2+AD2＝OB2+OC2+AO2+OD2＝（OB2+AO2）+（OC2+OD2）＝AB2+CD2＝25+13＝38． 故答案为：38． 14．（3分）已知，在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则边BC的长为　8+6或68　 ． 【分析】如图，运用勾股定理直接求出BD、CD的长度，即可解决问题． 【解答】解：如图，若点D在BC上， ∵AD⊥BC， ∴BD2＝122﹣62，CD2＝102﹣62， ∴BD＝6，CD＝8， ∴BC＝8+6． 同理若点D在BC的延长线上， BC＝68． 故答案为：8+6或68． 15．（3分）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示，若斜梁增加部分AE的长为1.2m，则立柱EF相比AD增高了　0.6　 m． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC＝4m，∠ADB＝90°，再由直角三角形的性质可得，求出BE＝5.2m，再由直角三角形的性质可得，即可得出结果． 【解答】解：∵立柱AD垂直平分横梁BC， ∴AB＝AC＝4m，∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∵斜梁增加部分AE的长为1.2m，点E在BA的延长线上， ∴BE＝BA+AE＝5.2m， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∵2.6﹣2＝0.6m， ∴立柱EF相比AD增高了0.6m， 故答案为：0.6． 16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则BC＝　2　 ． 【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB（SAS），得出AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，证出∠E＝90°，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E， ∵AD⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠E＝90°， ∴AE， ∴AD＝DE＝2， ∴BD， ∴BC＝2BD＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝AD＝4，DC＝6，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积． 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴， ∵AD＝4，DC＝6， ∴（2）2+42＝62，即AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ， ∴四边形ABCD的面积为． 18．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　　 ； （2）若三角形ABC是直角三角形，且边BC的长度为5，请在图中确定点C的位置，并补全三角形ABC． 【分析】（1）由勾股定理即可计算； （2）由勾股定理，通过计算即可确定C的位置． 【解答】解：（1）AB， 故答案为：． （2）如图所示： 19．（6分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC中BC边上的高． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出BE＝CE＝10cm，根据勾股定理求出AE即可． 【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， 设AD＝xcm，则AC＝AB＝（x+12）cm， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， 即x2+162＝（x+12）2， 解得：x， 即ADcm； （2）AB＝AC12（cm）， 过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高， ∵AB＝AC，BC＝20cm， ∴BE＝CE＝10（cm）， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE（cm）， 即△ABC中BC边上的高是cm． 20．（8分）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形　是　 奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形　是　 （填“是”或“不是”）奇异三角形． （2）若Rt△ABC是奇异三角形，∠C＝90°，AC＝5，求AB的长． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，在由“奇异三角形”的定义即可得出结论； ②计算两边的平方和是否等于第三边平方的2倍，即可根据定义判断； （2）分AB2+AC2＝2BC2；AB2+BC2＝2AC2；AC2+BC2＝AB2≠2AB2三种情况进行讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）①设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：是； ②∵22＝4，52＝25，， ∴，，， ∴该三角形不是“奇异三角形”， 故答案为：是； （2）由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2，即BC2＝AB2﹣AC2． ∵Rt△ABC是奇异三角形，AC＝5， ①AB2+AC2＝2BC2，即AB2+AC2＝2（AB2﹣AC2）． ∴AB2＝3AC2＝3×52＝75． ∴AB＝5（负值已舍去）； ②AB2+BC2＝2AC2，即AB2+AB2﹣AC2＝2AC2． ∴． ∴AB（负值已舍去）； ③AC2+BC2＝AB2≠2AB2，此种情况不成立． 综上，AB的长为5或． 21．（8分）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB＝4m． （1）求旗杆折断处点C距离地面的高度AC； （2）工人在修复的过程中，发现在折断处C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的B处，形成一个Rt△ADB1，请求出AB1的长． 【分析】（1）设AC＝xm，则BC＝（8﹣x）m，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）先求出AD、B1D的长，中由勾股定理求出AB1的长即可． 【解答】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8m， 设AC＝xm，则BC＝（8﹣x）m， ∵∠A＝90°， ∴BC2＝AB2+AC2， 即（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3， 答：旗杆折断处点C距离地面的高度AC为3m； （2）∵D点距地面AD＝AC﹣CD＝3﹣1.25＝1.75（m）， ∴B1D＝8﹣1.75＝6.25（m）， ∴AB16（m）， 答：AB1的长为6m． 22．（8分）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类果穴80m，观测点B距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B相距100m，大货车行驶时会对周围52m范围造成噪声污染． （1）求点C到公路AB的距离； （2）一辆大货车以10m/s的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理逆定理推出∠ACB＝90°，再利用三角形面积公式求解，即可解题； （2）在AB上取不同的两点E、F，连接CE、CF，使得CE＝CF＝52m，利用勾股定理求出DE，进而求出EF，再根据时间＝路程÷速度，即可解题． 【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于D， 由题意得：AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m． ∵802+602＝1002，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴， ∴． 答：点C到铁路AB的距离为48m； （2）对鸟类巢穴造成噪声污染；理由如下： 如图2，CD⊥AB，在AB上取不同的两点E、F，连接CE、CF，使得CE＝CF＝52m． ∴DE＝DF． 在Rt△CDE中，由勾股定理，得：， ∴EF＝2DE＝2×20＝40（m）， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为4s． 23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是直线BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE． （1）如图2，当α＝60°，且点D在线段BC上时，证明：BD＝CE； （2）如图3，当α＝90°，且点D在线段BC上时，猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系，并加以证明； （3）当α＝90°，AB＝6，时，画出图形并求出DE的长． 【分析】（1）将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，根据题意证明△ABD≌△AEC（SAS），即可得到结论； （2）证明∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，根据勾股定理即可得到结论； （3）由勾股定理求出，分当D在线段BC上时和当D在CB延长线上时两种情况进行分类讨论． 【解答】（1）证明：BD＝CE，理由如下：如图2： ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：线段BD、CD、DE之间的数量关系为BD2+CD2＝DE2， 证明如下：如图3： ∵AB＝AC，α＝90°， ∴∠B＝∠BCA＝45°， 同（1）可证△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝90°， ∴CE2+CD2＝DE2， ∴BD2+CD2＝DE2； （3）解：∵α＝90°，AB＝AC＝6， ∴， ①当D在线段BC上时，如图3： ∵， ∴， 由（2）知BD2+CD2＝DE2， ∴， ②当D在CB延长线上时，如图4： ∵， ∴， ∴． 综上所述，DE的长度为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练04 第二十章 勾股定理综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B． C．7，24，25 D． 2．（3分）在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a．下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③a2+b2＝c2，④，⑤a：b：c＝3：4：5．能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（3分）如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C．6 D． 5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝20，BC边的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接CD，若△ACD的周长为28，则AD的长为（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 6．（3分）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（　　） A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm 7．（3分）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC＝90°，以AC为直角边向外作Rt△ACD（∠CAD＝90°），分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝1，S3＝7，则S4为（　　） A．2 B．3 C． D． 9．（3分）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　） A．80° B．60° C．45° D．30° 10．（3分）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝2，a2+b2＝28，则图2中的阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．23 D．24 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为　 　 ． 12．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，那么边AB上的高是　 　 ． 13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AB＝5，，则BC2+AD2＝　 　 ． 14．（3分）已知，在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则边BC的长为　 　 ． 15．（3分）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示，若斜梁增加部分AE的长为1.2m，则立柱EF相比AD增高了　 　 m． 16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则BC＝　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝AD＝4，DC＝6，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积． 18．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　 　 ； （2）若三角形ABC是直角三角形，且边BC的长度为5，请在图中确定点C的位置，并补全三角形ABC． 19．（6分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC中BC边上的高． 20．（8分）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形　 　 奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形　 　 （填“是”或“不是”）奇异三角形． （2）若Rt△ABC是奇异三角形，∠C＝90°，AC＝5，求AB的长． 21．（8分）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB＝4m． （1）求旗杆折断处点C距离地面的高度AC； （2）工人在修复的过程中，发现在折断处C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的B处，形成一个Rt△ADB1，请求出AB1的长． 22．（8分）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类果穴80m，观测点B距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B相距100m，大货车行驶时会对周围52m范围造成噪声污染． （1）求点C到公路AB的距离； （2）一辆大货车以10m/s的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是直线BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE． （1）如图2，当α＝60°，且点D在线段BC上时，证明：BD＝CE； （2）如图3，当α＝90°，且点D在线段BC上时，猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系，并加以证明； （3）当α＝90°，AB＝6，时，画出图形并求出DE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $