24.3 数据的四分位数-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学八年级下册RJ 24.3 数据的四分位数 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板区 集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征.为了获取数 据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况.本节我们将学习用 四分位数大致刻画一组数据的分布情况. 问题某银行有A和B两个理财产品经营团队·近三年，这两个 团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： A4.773.986.444.892.153.85 3.643.213.182.024.114.10 B3.183.843.993.673.403.60 4.104.214.154.443.873.91 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？ 我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营 水平.通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方 差分别为 x≈3.862，s1≈1.327； xg≈3.863，s3≈0.117. 可以看出，团队B的产品收益率的平均数稍大于团队A,但差别不大； 团队A的产品收益率的方差明显大于团队B,即团队B的产品收益率 的稳定性要好于团队A.因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选 择团队B经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团 队A经营的理财产品 。思考答泉 交思考 不能 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情 况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么 产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 174|中小学AI教辅引领者 第二十四章数据的分析 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度 敲黑板国多 但无法反映出投资客户关心的这些信息.因此，我们需要能反映产品 收益率更多分布信息的统计量 组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分 成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的 百分位数.相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布 信息 由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特 贝拓展提升 殊的百分位数来刻画.如图24.3-1所示，把团队A的产品收益率按从 (1)确定一组数据的 四分位数，要先将数 小到大的顺序排列，容易得到这组数据的中位数为3.915，这个值把 据按从小到大的顺序 所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为 排列； (2)一组数据的四分 这组数据的50%分位数.在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别 位数的大小关系：第 得到它们各自的中位数3.195和4.44，所有数据中小于这两个值的分 一四分位数（下四分位 数，Q)<第二四分位 别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的25%分位数和 数（中位数，Q2)<第 三四分位数（上四分位 75%分位数.由于3.195,3.915,4.44这三个值 数，Q). 把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份， 第一四分位数又 称下四分位数，第 所以称它们为这组数据的四分位数（quartile), 三四分位数又称上四 从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、 分位数 第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分 别记为Q1,Q2,Q3 )四分位数不受极端值的影响 2.022.153.183.213.643.853.984.104.114.774.896.44 3.195 3.915 4.44 第一四分位数 第二四分位数第三四分位数 下四分位裁《 、.-)上四分位数 图24.3-1 由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益 率的分布情况.其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产 品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44% 的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数 占总数的50%. 类似地，如图24.3-2，可以得到团队B产品收益率的三个四分位 中小学AI教辅引领者1175 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板国 数分别为3.635,3.89,4.125 3.183.403.603.673.843.873.913.994.104.154.214.44 3.635 3.89 4.125 第一四分位数第二四分位数第三四分位数 图24.3-2 由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小 于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占 总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%，产品 收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%. 箱线图可以用来反映一组裁据的整体分布情况，特别适用于多组裁据整体分 布情况的比较，也能分析各层次戴据的差异 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收 益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图(ox plot).团队A产品收益率的箱线图如图24.3-3所示，它主要由矩形 箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.箱线图中最 左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间 箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位 数（中位数），箱体的右端竖线表示第三四分位数， 整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位 aooccccccccccccecccccccce 从图24.3-3 数的差，称为四分位距.由箱线图，容易看出产品 中你还能看出哪 收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数 些分布信息？ 的大小、集中的范围、分布是否对称等 反映一组数据的集中趋势，一般情况下，中位裁高，表示平均 水平较高，中位裁低，表示平均水平较低 整个箱体的长 因方法点拨 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 度称为四分位 距，它可以反 箱线图的绘制方法： 最小值 最大值映一组数据的 (1)先找出一组数据 7离散程度 的最大值、最小值、中 4 6 7 收益率/% 位数和上、下四分位数 图24.3-3 (2)连接上、下四分 位数画出箱体，再将最 类似地，可以画出团队B产品收益率的箱线图，如图24.3-4所示. 大值和最小值与箱体相 须线 连接。 4 5 6 7收益率/% 图24.3-4 176|中小学AI教辅引领者 第二十四章数据的分析 箱线图也可以按竖直方向 收益率/% 敲黑板多 画.为了便于比较两个团队产品收 益率的分布特征，把两个箱线图 按竖直方向并列画在同一幅图中， A团队B团队 图方法点拨 如图24.3-5所示. 图24.3-5 箱体短，表示数据集中： 箱体长，表示数据分散。 从图24.3-5中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等 (表示中位数的水平线段差不多高)，但团队A的产品收益率波动明 显比团队B的大（团队A的箱体和须线比团队B的长），这与用平均数、 方差比较的结果是一致的.从箱线图中，还 可以看出分布的一些其他特征，例如，团队 与直方图、条 B的产品收益率分布比团队A的更对称（中 形图比较，箱线图 在表示数据方面有 位数对应的水平线段在箱子的中间位置)， 什么特点？ 团队A有约25%的产品收益率高于团队B通过四分位裁和西分位距 直观反映裁据的中位数、 的最高产品收益率，也有约25%的产品收 离散程度及分布形态，实 益率低于团队B的最低产品收益率，等等. 现裁据的可视化 ?可归纳 按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位 数：先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找 出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四 分位数和第三四分位数.利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、 最大值可以刻画这组数据的大致分布情况 例根据第169页表24.2-5中的数据，分别计算甲、乙两地气温 的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温 特点 解：将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地9101112131416161821212324 乙地11121314151516171718192021 甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值 为24，三个四分位数分别为 Q2=16,Q,=1+12=15,0,=21+21=21 2 2 中小学A教辅引领者1 177 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板国 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 Q2=16,Q=13+14=13.5,0,=18+19=185. 2 2 在同一幅图中画出两地气温 气温/℃ 30 的箱线图，如图24.3-6所示 可以看出，甲、乙两地气温 1 的中位数相同，但甲地气温 0 的波动明显比乙地的大，甲 甲地 乙地 地约有25%时刻的气温高于 图24.3-6 乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 一练习答亲 练习 1.(1)这个月空气质 1.某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示. 量指数的最大值是 110,最小值是30. 人 三个四分位数分别为 40,50.80 0102030405060708090100110120空气质量指数 (2)这个月空气质 (第1题) 量指数在30至110之 间，中位数是50， (1)这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ 集中分布在40-80 内，分布不对称.（答 (2)请分析这个月空气质量的特点. 案不唯一，合理即可) 2.计算第144页“问题1”中每组数据的四分位数，在同一幅图中画 2.箱线图略.甲组跳绳 成绩的中位数高于乙 出箱线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点 组的中位数，乙组跳 3.任何一组数据的四分位数，是否都恰好能把这组数据分成四等份？ 绳成绩的波动明显比 甲组的大，（答案不 举例说明· 唯一，合理即可) 3.不一定.举例略 178|中小学AI教辅引领者 第二十四章数据的分析 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 25%分位数、50%分位数和75%分位数把一组由小到大顺序排 四分位数 含义 列的数据分为四等份，所以称它们为这组数据的四分位数， 从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数、 第三四分位数 可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画 构成 出箱线图箱线图主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水 平线段构成 箱线图 意义 由箱线图，容易看出数据分布的大致情况 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 24.3数据的四分位数 一、四分位数 的统计量，下列说法正确的是 1.某大学科研团队利用自主研发的新型静电 分数 50分 70分 90分 电机，成功研制出仅重4.21g的太阳能动 男生 10 10 10 力微型无人机，实现纯自然光供能下的持 女生 5 15 5 续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣， 合计 15 25 15 某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛， A.男生成绩的四分位距大于女生成绩的四 8名参赛学生的成绩（单位：分）依次为 分位距 65,95,75,70,95,85,92,80,则这 B.男生成绩的四分位距小于女生成绩的四 组数据的上四分位数为 ) 分位距 A.93 B.93.5 C.男生成绩的平均数大于女生成绩的平 C.91.5 D.92 均数 2.重点题某地有8个快递收件点，在某天接 D.男生成绩的平均数小于女生成绩的平 收到的快递个数分别为360,284,290， 均数 300,188,240,260,288,则这组数据的 4.某班5名同学参加演讲比赛，若他们的成 上四分位数和下四分位数分别为( 绩（单位：分）分别是8,6,8,7,9， A.250,290 B.295,250 则这组数据的上四分位数为 C.240,300 D.240,295 5.若一组数据1,2,2，x,4,4的唯一 3.甲班55人某次数学考试成绩的统计结果如 的众数是2，则这组数据的下四分位数 下表所示.关于甲班男、女生此次考试成绩 是 中小学AI教辅引领者1179 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 6.已知一组数据按从小到大的顺序排列如 A.该地区2025年11月有重度污染天气 下：11,12,15，x,17,y,22,26.经 B.该地区2025年11月的AQI值比10月 计算，该组数据的中位数是16,75%分 集中 位数是20，则x=一，y=一 C.该地区2025年10月的AQI值比11月 7.某考生参加某高校的综合评价招生并成功 集中 通过了初试，在面试阶段中，8位老师根 D.从整体上看，该地区2025年10月的空 据考生表现给出分数（单位：分），分数 气质量好于11月 由低到高依次为76，a,b,80,80,81, 10.下面分别给出了25个女生和25个男生 84,85.若这组数据的下四分位数为77， 的肺活量（单位：L）: 求该名考生这次面试的平均得分. 女生组：2.7,2.8,2.9,3.1,3.1,3.1,3.2 3.4,3.4,3.4,3.4,3.4,3.5,3.5,3.5, 3.6,3.7,3.7,3.7,3.8,3.8,4.04.1, 4.2,4.2 男生组：4.1,4.1,4.3,4.3,4.5,4.6,4.7， 4.8,4.8,5.1,5.3,5.3,5.3,5.4,5.4, 5.5,5.6,5.7,5.8,5.8,6.0,6.1,6.3, 6.7,6.7 请画出这两组数据的箱线图· 二、箱线图 8.关于箱线图的说法错误的是 A.箱线图可以反映数据的分布情况 B.箱线图可以用来对样本数据分布形状进 行判断 C.“箱子”部分包含了样本50%的数据 D.“箱子”左右两侧的每条须线，各包含 了样本50%的数据 三、四分位数和箱线图的应用 9.某地区2025年10月和11月的空气质量指 11.下图是根据八年级2班学生1分钟跳绳 数(AQI)箱线图如图所示.AQI值越小， 次数制作的箱线图，根据图形不能确定 空气质量越好；AQI值在201~300之间， 这组数据的 说明重度污染.下列说法错误的是( ☐H 300 250 1151321361441621分钟跳绳次数 150 100 A.下四分位数 B.中位数 0 10月11月 C.最大值 D.平均数 180 丨中小学AI教辅引领者 第二十四章数据的分析 12.甲、乙两人各自记录了自己最近几天从家 14.某银行有A和B两个理财产品经营团队， 到学校所用的时间（单位：mim) 2025年上半年这两个理财团队分别负责 甲：15,12,15,13,16,14,13,14： 经营12项理财产品，收益率（单位：%) 乙：16,20,12,22,13,25,13,19 如下： 分别用四分位数和箱线图比较，说明谁从 A:4.77,3.98,4.88,4.89,2.15,3.85, 家到学校所用的时间较稳定. 3.64,3.21,3.18,2.02,4.11,4.10; B:3.18,3.84,3.99,3.67,3.40,3.60 4.10,4.21,4.15,4.44,3.87,3.91. 某同学为了利用四分位数分析A,B两个 团队的经营水平，整理了这两个团队理 财产品收益率数据的四分位数，如下表. 团队 13.重点题已知甲、乙两班人数相同，在一 Q Q2 Q3 3.195 3.915 4.440 次测试中两班成绩的箱线图如图所示. 成绩/分 2 a 3.890 b 150 138 请根据以上信息，完成下列问题： 90 60 (1)表中a= b= 30 (2)该同学基于四分位数绘制了如图所 0 甲班 乙班 示的团队A的箱线图，从而获得了团队 A数据的直观表示.请你根据团队A的 (1)甲班成绩的中位数为 乙班 箱线图在图中补全团队B的箱线图，并 成绩的上四分位数为 根据箱线图，对A,B两个团队的经营 (2)图中甲班对应的“箱子”被数128所 水平从总体经营效益和稳健度方面作出 对应的线分成两部分，其中“下半截箱子” 评价. 较长，这说明了什么？ 收益率% (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的 班级是哪个？ 团队A 团队B 中小学AI教辅引领者1181定，大小更均匀. 综上，快餐公司应该选购甲加工厂生产的 鸡腿. 12.乙因为丙、丁的平均数比甲、乙的平均数 小，而乙的方差比甲的小，所以乙的产量既 高又稳定，所以选择产量既高又稳定的苹果 树进行种植，应选的品种是乙· 13.(1)9:9. 提示：甲的成绩的平均数为名×(10+8+9+ 8+10+9)=9, 乙的成绩的平均数为行×(10+7+10+10+ 9+8)=9 (2)解：编=右×[(10-92+(8-92+(9- 9)2+(8-9)2+(10-9)2+(9-9)2]= 石×(1+1+0+1+1+0)=号， 2=6×[(10-9)2+(7-92+(10-92+ (10-9)2+(9-9)2+(8-9)2]=6 (1+4+1+1+0+1)=手 (3)解：推荐甲参加全国比赛更合适.理由 如下： 两人的平均成绩相等，说明实力相当，但甲 的六次测试成绩的方差比乙的小，说明甲的 发挥更为稳定，故推荐甲参加全国比赛更 合适 14.解：(1)分别将甲、乙两段台阶高度从小到 大排列如下， 甲：10,12,15,17,18,18； 乙：14,14,15,15,16,16， 甲的中位数：(15+17)÷2=16， 平均数：石×(10+12+15+17+18+18) =15; 乙的中位数：(15+15)÷2=15， 平均数：6×(14+14+15+15+16+16)=15. 故甲、乙两段台阶高度的平均数相同，中位 数不同. (2)编=石×[(10-15)2+(12-15)2+(15- 15)2+(17-15)2+(18-15)2+(18- 15)y1-, 2=石×[(14-15)2+(14-15)2+(15- 15)2+(15-15)2+(16-15)2+(16- 15]=号 ·乙台阶的方差比甲台阶方差小， ∴.乙台阶上行走会比较舒服， (3)如图(1)，(2)，修改如下： 55为 552 （1) (2) 为使游客在两段台阶上行走比较舒服，需使 方差尽可能小，最理想应为0，同时不能改 变台阶数量和台阶总体高度， 故可使每个台阶高度均为15cm(原平均 数)，此时方差为0. 24.3数据的四分位数 1.B2.B 3.A由题表可知，男生成绩共有30个数据 .Q1是第8个数据，即50，Q3是第23个数据， 即90，.男生成绩的四分位距是90-50= 40;女生成绩共25个数据，∴.Q1是第6,7个 数据的平均数，即70，Q3是第19,20个数据 的平均数，即70，∴.女生成绩的四分位距是 0.40>0,.男生成绩的四分位距大于女 生成绩的四分位距，故选项A正确，选项B 错误：男=10×50+10x70+90×10=70, 30 元*=0x5+70X15+90X5-70,期=*， 25 故选项C,D错误. 4.8.55.26.1518 7.解：：下四分位数为第2个数据与第3个数 据的平均数，即6=77， .∴.a+b=154, .该名考生这次面试的平均得分为 76+a+b+80+80+81+84+85_640=80. 8 8 8.D 9.B该地区2025年11月AQI值的最大值超 过200，为重度污染天气，故选项A不符合题 意；该地区2025年10月的AQI值比11月集 中，故选项B符合题意，选项C不符合题意； 从整体上看，该地区2025年10月的空气质 量好于11月，故选项D不符合题意， 10.解：女生组：最小值为2.7，最大值为4.2， Q1=3.15,Q2=3.5,Q3=3.75 男生组：最小值为4.1，最大值为6.7，Q1= 4.65,Q2=5.3,Q3=5.8. 画出箱线图，如图所示. 肺活量L 6.7 6 5.8 5.3 5 4.2 4.65 4 75 4. 2 1 0 女生组 男生组 11.D 12.解：甲的数据由小到大排序为12,13,13,14， 14,15,15,16.数据个数n=8,最小值为12， 最大值为16， Q,=1313=13,Q2=1414=14,Q,= 2 2 15+15=15. 2 甲的四分位数范围是13到15. 乙的数据排序为12,13,13,16,19,20,22， 25.最小值为12，最大值为25， Q,=1313=13,0,=1619=17.5,0,= 2 2 20+22=21. 2 乙的四分位数范围是13到21. 故甲的四分位数范围比乙的窄，因此甲从家 到学校的时间较稳定 画出箱线图，如图所示. 时间/min 28 25 24 20- 21 16 17.5 16 13 12 12 12 0 甲 乙 结合箱线图知，甲的箱体和须线比乙的短， 说明甲的数据离散程度更小，甲的数据波动 更小，所以甲从家到学校所用时间较稳定 13.(1)128;128. (2)解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成 绩差异大于中等偏上的同学 (3)解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班 成绩的中位数为128，而乙班成绩的上四分 位数是128，且甲班的下四分位数明显高于 乙班，由此估计甲班平均分较高. 14.(1)3.635;4.125. 提示：B团队负责经营12项理财产品的收 益率（单位：%）按从小到大的顺序排列为： 3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91, 3.99,4.10,4.15,4.21,4.44, .a为前6个数据的中位数，b为后6个数 据的中位数， 0=3.60+3.67=3.635, 6=4.10+4.15=4.125. 2 (2)解：如图所示. 收益率% 5 2 团队A团队B 由箱线图可知，团队A产品收益率的中位数 与团队B的相差不大，可知两个团队的总体 经营效益基本一样； 而团队A的产品收益率明显比团队B的收 益率的波动大，即团队B的经营水平更 稳健 故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财 产品更合适 24.4数据的分组 1.B由组内离差平方和的定义可知，需计算两 组离差平方和的总和， 2.B根据离差的意义，可知其目的是使每组组 内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可 能大 3.解：第一组数据：元=3+5+7=5，组内离差平 3 方和为(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2=8. 第二组数据：x-6+8+10=8,组内离差平方 3 和为(6-8)2+(8-8)2+(10-8)2=8， 4.解：第一组数据的平均数为(87+88+90+91+ 92+92)÷6=90, 第一组数据的离差平方和为(87-90)2+(88 90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92-90)2+ (92-90)2=22, 第二组数据的平均数为(96+98)÷2=97， 第二组数据的离差平方和为(96-97)2+ (98-97)2=2, 所以组内离差平方和为22+2=24. 5.小大7 6.解：将4个数据按从小到大排列，可得15,15， 18,24. 把它们分成两组共有3种情况，分别计算组 内离差平方和，如表所示. 第一组离 第二组离 组内离 分组 差平方和 差平方和差平方和 第1个间隔 0 42 42 第2个间隔 0 18 18 第3个间隔 6 0 6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当 按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {15,15,18}和{24. 7.解：将这组数据按从小到大的顺序排列为 1.1,1.1,1.2,1.5,1.6,1.6,将它们分成两组 共有5种情况，分别计算组内离差平方和（结 果保留小数点后四位)，如下表所示 第一组离 第二组离组内离差 分组 差平方和 差平方和 平方和 第1个间隔 0 0.22 0.22 第2个间隔 0 0.1075 0.1075 第3个间隔 0.0067 0.0067 0.0134 第4个间隔 0.1075 0 0.1075 第5个间隔 0.22 0 0.22 观察最后一列组内离差平方和可知，当按第 3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此 按组内离差平方和最小的分法是{1.1,1.1， 1.2}和{1.5,1.6,1.6} 2