24.4数据的分组-导学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“数据的分组”，核心知识点为组内离差平方和与组间离差平方和的概念及分组原则。课堂通过超市分类、宾馆星级等生活实例导入，结合招聘笔试成绩问题，搭建从实际情境到数学抽象的学习支架，衔接已有离差平方和知识。 特色在于以问题驱动探究，通过实例分析与变式训练帮助学生掌握分组方法，培养数学抽象与数据分析素养。习题设计贴近生活，注重运算能力提升，便于学生自主学习和教师教学评估。

姓名: 学科: 日期: 24.4 数据的分组 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年6月23日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解组内离差平方和与组间离差平方和的概念；（数学抽象、数据分析·重点） 2. 经过实例分析，理解与掌握利用组内离差平方和与组间离差平方和将数据进行分组的原则与方法，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、直观想象、数学运算·难点） 【学习过程】 1、 情景导入 在社会生活中，分类现象普遍存在，例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便，对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题. 2、 问题探究 （1） 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进人面试，将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 你认为哪一部分应聘者应当进人面试？ 探究1： 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试，那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准，例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 对笔试成绩进行分组：上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用.但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组. 例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩，而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法，因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组. 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起，因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法。 可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图24.4-1所示. 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法. （2） 思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 探究2： 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 三、组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，设有个数据，其平均数记为，则离差平方和为 如果把这组数据分为两组，前个数据为一组，后个数据为一组，它们的平均数分别记为和，离差平方和分别为 那么 1.组内离差平方和 其中称为组内离差平方和，即 组内离差平方和表示两个组内数据的离散程度； 2.组间离差平方和 记 是个第一组数据平均数、个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异. 3.数据分组的原则与方法 根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于不变，既可以按最小来分组，也可以按最大来分组. 4.实例分析 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组，利用计算器或信息技术工具，可以计算出图24.4-1中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表24.4-1所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，按组内离差平方和最小的分法为 和 四、实例运用 例1 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【难度】0.85 【知识点】离差平方和的应用 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 例2 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表24.4-2所示. 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表244-3所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，按组内离差平方和最小的分法为 和 五、变式训练 变式1．已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为_________． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），熟练掌握以上知识点是关键． 计算每组数据的均值，再求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可． 【详解】解：第一组数据：， 均值为， 离差平方和为； 第二组数据：， 均值为， 离差平方和为； 组内离差平方和为． 故答案为：． 变式2．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 【答案】把10个苹果按直径大小分成两组是，． 【难度】0.15 【知识点】离差平方和的应用 【分析】先对数据排序，再尝试不同的连续分段划分方式，计算每种划分的总离差平方和，选出最小的那个划分． 【详解】 解：将个数据由小到大排序为，，，，，，，，，． 计算不同分组的组内离差平方和，结果如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第三种情况的组内离差平方和最小． 因此把个苹果按直径大小分成两组是，． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算与最优分组，解题关键是先对数据排序，再通过计算不同连续分段划分的总离差平方和，找到最小值对应的分组． 6、 达标检测 1．为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查了离差平方和，掌握离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和是解题关键．先求出平均数，再根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：数据的平均数为 ． 离差平方和为． 故答案为：4． 2．已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为_____________________，此时最小的离差平方和之和为________． 【答案】 和 4 【难度】0.4 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查了离差平方和的计算与分组优化知识点．解题关键在于明确离差平方和的计算公式；对有序数据，优先尝试相邻数据分组，以最小化组内波动；通过枚举所有可能的非空分组，计算并比较各组的离差平方和之和，从而找到最小值． 枚举所有可能的分组方式，计算每组数据的离差平方和，并求和，比较大小，找到最小值． 【详解】数据点有个，可能的分组方式包括一组个点另一组个点，或每组个点．计算每种分组的离差平方和之和： 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 比较得，最小值为，对应分组为和． 故答案为：和；． 3．将数据1，3，5，7，9分为和两组，则组内离差平方和为___________． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】求离差平方和 【分析】计算每组数据的均值，然后求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加． 本题考查了组内离差平方和的计算， 掌握离差平方和的定义是解题的关键． 【详解】解：对于组，均值，离差平方和； 对于组，均值，离差平方和； 总组内离差平方和． 故答案为：10． 4．现有一组数据：12，15，18，20，25，30，30，35．若将其分为2组和，则该组数据的组内离差平方和是__________． 【答案】148 【难度】0.4 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查了方差，理解平均数与离差平方和的意义是解决问题的关键． 分别计算两组数据的均值和离差平方和，再求和． 【详解】解：第一组数据的平均数为， 离差平方和为 ； 第二组数据的平均数为， 离差平方和为 ； 组内离差平方和为． 故答案为：． 5．为进一步做好学校消防安全宣传教育工作，增强广大师生的消防安全意识，某校举办了消防知识竞赛，从参赛选手中随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩．结果如下（单位：分）：75，76，77，80，84，85，86，88，90，92． 将这些竞赛成绩数据分成三组： 第一组：75，76，77，80； 第二组：84，85，86； 第三组：88，90，92． 试计算上述分组情况下的组内离差平方和和组间离差平方和． 【答案】组内离差平方和：24；组间离差平方和： 【难度】0.86 【知识点】求离差平方和 【分析】先分别计算每组平均数，再计算三组的总平均数，根据组内离差平方和：每个数据与组内均值的差的平方之和，组间离差平方和：各组数据的个数乘以该组平均数与总平均数的差的平方，然后求和．即可解决问题． 【详解】， ， ， ． 因此组内离差平方和． 组间离差平方和． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 24.4 数据的分组 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年6月23日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解组内离差平方和与组间离差平方和的概念；（数学抽象、数据分析·重点） 2. 经过实例分析，理解与掌握利用组内离差平方和与组间离差平方和将数据进行分组的原则与方法，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、直观想象、数学运算·难点） 【学习过程】 1、 情景导入 在社会生活中，分类现象普遍存在，例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便，对于一组取值多样的数据，对其进行合理 ，也会有助于我们解决问题. 2、 问题探究 （1） 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进人面试，将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 你认为哪一部分应聘者应当进人面试？ 探究1： 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试，那么笔试成绩怎样才算好呢？ 可以有不同的标准，例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 对笔试成绩进行分组：上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用.但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组. 例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩，而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对 的分到同一组，是一种较合理的做法，因此，笔试成绩可以根据组内差异 的原则进行分组. 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起，因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法。 可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成 个间隔，如图24.4-1所示. 每个间隔都可以把笔试成绩分成 和 两组，共有 种分法. （2） 思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 探究2： 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 三、组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，设有个数据，其平均数记为，则离差平方和为 如果把这组数据分为两组，前个数据为一组，后个数据为一组，它们的平均数分别记为和，离差平方和分别为 那么 1.组内离差平方和 其中称为 离差平方和，即 组内离差平方和表示两个组内数据的 程度； 2.组间离差平方和 记 是个第一组数据平均数、个第二组数据平均数关于总体数据 的离差平方和，称为 离差平方和，表示两个组间的 . 3.数据分组的原则与方法 根据组内离差平方和 的原则进行分组时，由于不变，既可以按 来分组，也可以按 来分组. 4.实例分析 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组，利用计算器或信息技术工具，可以计算出图24.4-1中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表24.4-1所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第 个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，按组内离差平方和最小的分法为 和 四、实例运用 例1 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和 的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号 的组内离差平方和最小，为最优分组. 例2 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表24.4-2所示. 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 将它们分成两组共有 种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表244-3所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第 个间隔分组时，组内离差平方和 . 因此，按组内离差平方和最小的分法为 和 五、变式训练 变式1．已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为_________． 【详解】解：第一组数据：， 均值为， 离差平方和为； 第二组数据：， 均值为， 离差平方和为； 组内离差平方和为 ． 故答案为： ． 变式2．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 【详解】 解：将个数据由小到大排序为 ． 计算不同分组的组内离差平方和，结果如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第 种情况的组内离差平方和 ． 因此把个苹果按直径大小分成两组是，． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算与最优分组，解题关键是先对数据排序，再通过计算不同连续分段划分的总离差平方和，找到最小值对应的分组． 6、 达标检测 1．为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 2．已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为_____________________，此时最小的离差平方和之和为________． 3．将数据1，3，5，7，9分为和两组，则组内离差平方和为___________． 4．现有一组数据：12，15，18，20，25，30，30，35．若将其分为2组和，则该组数据的组内离差平方和是__________． 5．为进一步做好学校消防安全宣传教育工作，增强广大师生的消防安全意识，某校举办了消防知识竞赛，从参赛选手中随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩．结果如下（单位：分）：75，76，77，80，84，85，86，88，90，92． 将这些竞赛成绩数据分成三组： 第一组：75，76，77，80； 第二组：84，85，86； 第三组：88，90，92． 试计算上述分组情况下的组内离差平方和和组间离差平方和． - 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