23.3 一次函数与方程(组不等式-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学八年级下册RJ 23.3一次函数与方程（组)人不等式 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实月 敲黑板国屈 方程（组）、不等式与函数之间有着密切的联系， 认识方程（组）和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更 因方法点拨 好地解决相关问题 已知x值（横坐标）求 y值（纵坐标）或已知 先来研究一次函数与一元一次方程的关系. y值（纵坐标）求x值 (横坐标)时，都是利 这思考 用代入法构建一元一次 如图23.3-1，一次函数y=2x-1的图象 y=2x-1 方程求解，体现了函数 0.5 与方程之间的转化。 与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为 0 6.5 -0.5 0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次 方程2x-1=0的解吗？ 图23.3-1 回拓展提升 方程kx+b=n（k≠0)的 解一函数=kx+b（k≠ 次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为 0)中，y=n时x的值； 方程kx+b=n(k≠0)】 0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0.由此可以得出一元一 的解台函数=kx+b ->从“裁”的角度看 次方程2x-1=0的解是x=0.5 (k≠0)的图象与直线 y=n的交点的横坐标. 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为a+b= 0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于 在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函 数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b,求它与x轴的交点的横 坐标 、)从“形”的角度看 再来研究一次函数与一元一次不等式的关系. 交思考 如图23.3-1，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值 大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出 一元一次不等式2x-1>0与2x-1<0的解集吗？ 128|中小学AI教辅引领者 第二十三章一次函数 如图23.3-1，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其 敲黑板多 横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x>0.5;当图象 上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数 值小于0时x的取值范围是x<0.5.由此得出不等式2x-1>0的解集 网拓展提升 是x>0.5,2x-1<0的解集是x<0.5 如图，若方程kx+b= 2x+b2的解为x=n,则 对于可化为a+b>0或ax+b<0（a≠0)的一元一次不等式， 不等式k+b>hx+b2的 解集为>a,不等式 在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b kx+b1<h2+b2的解集为 x<d. 的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑， y2=hxx+b yi=kx+6 相当于已知直线y=ax+b,确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小 D -b 于0时横坐标的取值范围 、即函裁y=ar+b的图象位于x轴上方 或下方的部分对应的x的取值范围 最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系. 先来看一个具体例子，我们知道，方程2x-y=1可以转化为y= 2x-1,它们有相同的解.y=2x-1对应一次函数y=2x-1,它的图 象是一条直线.这条直线上每个点的坐标（x,y)都是方程2x-y=1 的解，以方程2x-y=1的解(x,y）为坐标的点都在这条直线上 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b (k,b是常数，k≠0)的形式，以每个这样的方程都对应一个一 次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都 是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x,y)为坐标 注意：每个二元一次方程都对应一个一次函数，也 的点都在这条直线上·就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对 应两个一次函裁，也就是对应两条直线 交思考 2x-y=1, 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方 3x+5y=8, 程组进行解释吗？ 中小学A1教辅引领者1129 )新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板色 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与 ☒易错提醒 y=- 3 由于所画图象有误差，因 多x+号，解这个方程组，可以看作求这两个一次的数的图象的 此用图象法求出的方程组 交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.如 的解多数情况下是近似 解，可以将解代入原方程 图23.3-2，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与 组检验它是否正确. y=- x+号的图象.这两条直线的交点坐标为(1,1），由此得出方 3 2x-y=1, x=1, 程组 的解是 3x+5y=8 y=1. 图方法点拨 直线11：y=kx+b,（1≠ 0)与直线2：y=kx+b2 y=2x-1 (≠0)的交点的坐 3 标就是关于x,y的方 5 P(1,1) 程组+， 的解 y=kxx+b2 -10 1 2 3衣 图23.3-2 般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二 元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数” 的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函 数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的 方程组相当于确定两条直线交点的坐标· 例2同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出 @易错提醒 发，以1ms的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以 二元一次方程组中的两 0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min 个方程化为一次函数 后，其图象可能是两条 (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m)关于 相交直线、两条重合直 上升时间x(单位：s)的函数解析式； 线或两条平行直线，因 此，方程组可能有唯一 (2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球 解、无穷多解或无解 上升了多长时间？位于什么高度？ 解：（1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. (2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值 130|中小学AI教辅引领者 第二十三章一次函数 (0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由 敲黑板多 此可以列二元一次方程组 因方法点拨 y=x+5, 用图象法求二元一次方 y=0.5x+15. 程组的近似解的一般步 骤如下 解这个方程组，得 (1)变函数：把方程组 中的两个二元一次方程 x=20, 变成一次函数的形式： y=25 y=hx+b,y=kz+b2. (2)画图象：建立平面 这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m. 直角坐标系，在同一平 面直角坐标系内画出这 也可以画一次函数的图象解答此问题.如图23.3-3，在同一平面 两个一次函数的图象. 直角坐标系中，画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条 (3)找交点：写出这两 条直线交点的横、纵 直线的交点坐标为（20,25)，这说明当气球上升20s时，两个气球 坐标 都距离地面25m. y/m y=x+5 y=0.5x+15 25 P(20,25) 20 15 10 5 0 20 x/s 图23.3-3 6练习 同练习答案 --)x=4 1.画出一次函数y=-2x+8的图象，利用图象解方程-2x+8=0及 L图象略.解集见批注 2.方程组的解为 不等式-2x+8>0与-2x+8<0. 、-解集为x<4解集为x>4 x=2, (y=1, 2.一次函数y=2x-3与y=ax+2的图象的交点坐标为(2,1)，请 a的值为-号 y=2x-3, 3.5h 确定方程组 的解和a的值 .y=ax+2 3.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游.在甲公司租车，需 收取固定租金80元，在此基础上再按14元h计费；在乙公司租车， 无固定租金，按30元计费.当他家租车多长时间时，租用甲、乙 两个公司汽车的费用相同？ 中小学A教辅引领者丨 131 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 一元一次方程y=kx+b(k≠0)的解就是一次函 数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标 元一次方程 两个一次函数图象的交点坐标是它们解析式组 次函数与方程 成的方程组的解 (组)、不等式 kx+b>0的解集是对应的一次函数图象 在x轴上方时的x的取值范围 -次函数与不等式 kx+b<0的解集是对应的一次函数图象 在x轴下方时的x的取值范围 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照23.3一次函数与方程（组)、不等式 一、一次函数与一元一次方程的结合 6.重点题若直线y=a+5与y=2x+b的 1.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数 交点坐标为(2,3)，则关于x的方程 y=kx+b的图象可能是 ax+5=2x+b的解为 二、一次函数与不等式的结合 y 03 7.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示， A D 则不等式x+b<0的解集是 2.方程x+1=0的解就是函数y=x+1的图象 A.x>2 与 ( B.x>4 A.x轴交点的横坐标B.y轴交点的横坐标 C.x<2 C.y轴交点的纵坐标D.以上都不对 D.x<4 3.一元一次方程ax-b=0的解是x=3,函数 8.重点题若一次函数y=-x+m的图象经过 y=ax-b的图象与x轴的交点坐标为( 点(-1,2)，则不等式-x+m≥2的解集 A.（3,0)》 B.(-3,0) 为 ( C.(a,0) D.（-b,0) A.x≥0 B.x≤0 4.一次函数y=ax+b交x轴于点（-5,0)， C.x≥-1 D.x≤-1 则关于x的方程ax+b=0的解是 9若关于：的不等式细52100有解，则 5.若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则 次函数y=(a-3)x+2的图象一定不经过( 关于x的方程x+b=-2的解为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.对一次函数y=-3x+12,当x 时， y>0. 132|中小学AI教辅引领者 第二十三章一次函数 11.一次函数y=ax+3与y2= 13.重点题有A,B两个发电厂，每焚烧1t x-1的图象如图所示，则 垃圾，A发电厂比B发电厂多发40kW·h 不等式kx-ax<4的解集是 电，A发电厂焚烧20t垃圾比B发电厂焚烧 30t垃圾少发1800kW·h电. 12.真实任务情境采摘草莓甲、乙两家草莓 (1)求焚烧1t垃圾，A和B发电厂各 采摘园的草莓销售价格相同，现为扩大销 发电多少度； 量，实行的采摘方案如下. (2)若A,B两个发电厂共焚烧90t的垃 甲草莓采摘园的采摘方案：每位游客进园 圾，且A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电 需购买门票，采摘的草莓按七折优惠销售， 厂焚烧的垃圾的两倍，求A发电厂和B发 乙草莓采摘园的采摘方案：每位游客进园 电厂总发电量的最大值， 无需购买门票，采摘的草莓按售价销售， 不优惠 设采摘期间每位游客的草莓采摘量为x(单 位：kg)，在甲、乙两家草莓采摘园所需 总费用分别为y1,y2(单位：元)，函数 图象如图所示. (1)分别求出y,y2与x之间的函数解析 式；（不需要写出自变量x的取值范围） (2)求点A的坐标，并解释点A表示的实 际意义； (3)恒恒准备周末去采摘园采摘草莓，根 据函数图象，请问选择哪个草莓采摘园更 三、一次函数与二元一次方程（组）的结合 划算？ 14.下列图象中，以方程y-2-2=0的解为坐标 /元 y2 的点组成的图象是 200 30 10 12 -102 -1 0 10 x/kg -2 -2 A 2 12 12x _2 中小学A教辅引领者1133 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 15.如图，已知一次函数y=+1和y=ax+3 20.如图，在同一平面直角坐标系中，直线(：y= (a≠0)的图象交于点P,点P的横坐 x-1与直线2：y=- 标为1，则关于x,y的方程组y三-； 2x2交于点A(2,1) (ax-y=-3 (1)直接写出方程组-=1，的解： 的解是 (x+2y=4 A (2)请判断三条直线y=-1,y=-2+2, y=x+1 取子 y=+号是香各过同一个点，并说明理由， 1 c =x+3 D.2 16.重点题若以关于x,y的二元一次方程 x+2y-b=0的解为坐标的点（x,y)都在 21.重点题已知甲、乙两地相距90km,A, 直线y=-x+b-1上，则常数b=( ) B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A A号 B.2 C.-1 D.1 骑摩托车，B骑电动车，图中DE,OC分 17.若点（2,3)在一次函数y=kx-1（k为常 别表示A,B两人距离甲地的路程s(单位： 数)的图象上，则方程x-y=1的一组解 km)与时间t(单位：h)之间的函数关系， 为 根据图象解答下列问题， 18.若直线x-3y=8与2+5y=-4交点的纵坐 (1)A比B晚出发 h,B的速度是 标为0，则k的值为 19.跨学科整合物理)已知在弹性限度内， (2)分别求出A,B两人距离甲地的路程 甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体 s与时间t的函数解析式 的质量x(kg)之间的函数表达式分别是 (3)在A到达乙地之前，当A,B两人恰 y1=kx+b1,y2=k2x+b2,其图象如图所示.若 好相距10km时，求t的值 As/km 所挂物体质量均为2kg,则甲、乙两弹 90 簧的长度y1与y2的大小关系为 60 30 12 3 t/h 01234x 134|中小学AI教辅引领者 第二十三章一次函数 四、与一次函数有关的三角形面积问题 23.重点题如图，在平面直角坐标系中，直 22.已知一次函数y=kx+b的图象经过点 线4：y=号x-1与直线6：y=-2x+2 (-1,-3),且与正比例函数=x的 相交于点P,并分别与x轴相交于点A,B. 图象相交于点(4，a). (1)点P的坐标为 (2)求△PAB的面积； (1)求a的值； (3)若点M在直线l上，MN∥y轴，交 (2)求一次函数y1=hx+b的解析式； 直线I,于点N,且MN=AB,求点M的 (3)请你画出这两个函数的图象，并判 坐标. 断当x取何值时，y少1>y2 (4)求这两个函数图象与x轴围成的三角 B 形的面积。 6 5 3 2 -4-3-2-1 01234567 中小学AI教辅引领者1135(3),一次函数y=mx-（m-2)的图象不 经过第四象限， 「m>0, 解得0<m≤2， -(m-2)≥0， 即m的取值范围是0<m≤2. 第2课时一次函数的解析式 1.C2.C3.C4.A5.D 6.y=3x+377.y=-2x-4或y=-2x+4 8.39.y=2x-210.y=5x+1 11.解：(1)：小球由静止开始滚动，其速度每 秒增加2m, ∴.速度v=0+2t,即v=2t, 故滚动的时间t(s)是自变量，小球速度v是 t的函数， (2)当t=3.5时，代入v=2t,得v=7,故第 3.5s时小球的速度为7m/s. 12.解：(1)设一次函数的解析式为y=x+b, 将A(-2,-3)和B(1,3)代入，得 「-3=-2k+b, 「k=2, 解得 3=k+b, b=1. 故一次函数的解析式为y=2x+1. (2)将(-1,1)代入函数解析式，有 1≠-2+1， ∴.点P不在这个一次函数的图象上 (3)当=0时，y=1;当y=0时，x=-7 此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面 积为时×1×-引- 13.B14.A 15.1.3或1.5 16.解：(1)A种品牌服装x件，则B种品牌服装 (600-x)件，依题意，得y=20x+15(600- x)=5x+9000. (2)依题意，得 50x+35(600-x)≥26400， 3 解得x≥360， ∴.每天至少获利y=5×360+9000= 10800(元) 17.解：(1)由题意，得y1=20x(0≤x≤2)， y2=40(x-1)=40x-40(1≤x≤2). (2)画出(1)中两个函数的图象，如图所示 y/km 40 y1=20x 20 y2=40x-40 0 2 x/h (3)由图象可得，小刚和妈妈乘车，与爸爸 骑行同一时间到达老家 23.3一次函数与方程（组)、不等式 1.C2.A3.A 4.x=-5 5.x=-1从题中图象可知，一次函数y=kx+ b的图象与直线y=-2的交点坐标为(-1， -2),则关于x的方程x+b=-2的解 为x=-1. 6.x=2直线y=ax+5与y=2x+b的交点 坐标为(2,3)，∴.关于x的方程ax+5=2x+b 的解为x=2. 7.A8.D 「x-2>0, 9.D将不等式组 整理得 2x-a+1<0 rx>2, (*<2-1 21 「x-2>0, :关于x的不等式组 有解， 2x-a+1<0 1 2 >2,∴.a>5,∴.a-3>0, ∴.一次函数y=（a-3)x+2的图象经过第 一、二、三象限，不经过第四象限，故选D. 2 10.<411.x<1 12.解：(1)由题意，设y1=k1x+b,y2=k2x. :y2的函数图象经过(10,200)， .y2=20x, 则采摘的草莓的售价是20元/kg, k,=20×70%=14. y1的函数图象经过(0,30)，则b=30, ∴.y1=14x+30. 综上，y1,y2与x之间的函数解析式分别是 y1=14x+30,y2=20x (2)根据题中函数图象可知，点A是y1与y2 两个函数图象的交点，则y1=y2, 即14x+30=20x,解得x=5. 将x=5代入y2=20x,得y2=100, ∴.点A的坐标为(5,100). 点A的实际意义：当游客的草莓采摘量为 5kg时，选择甲、乙两家草莓采摘园所需总 费用相同，均为100元. (3)由题中函数图象可知，当恒恒的草莓采 摘量小于5kg时，y2<y1,选择乙草莓采摘 园更划算； 当恒恒的草莓采摘量为5kg时，y1=y2,选 择甲、乙两家草莓采摘园所需总费用相同； 当恒恒的草莓采摘量大于5kg时，y1<y2, 选择甲草莓采摘园更划算， 13.解：(1)设焚烧1t垃圾，A发电厂发电akW·h, B发电厂发电bkW·h,根据题意， 得-6=40， 「a=300, 解得 30b-20a=1800, b=260, 答：焚烧1t垃圾，A发电厂发电300kW·h, B发电厂发电260kW·h. (2)设A发电厂焚烧xt垃圾，则B发电厂焚 烧(90-x)t垃圾，总发电量为ykW·h,则 y=300x+260(90-x)=40x+23400, .x≤2(90-x),∴.x≤60. y随x的增大而增大， 3 ∴.当x=60时，y有最大值为40×60+ 23400=25800. 答：A厂和B厂总发电量的最大值是 25800kW·h. 14.C15.A16.B 18.-419.y1>y2 20.解：(1)由题图可得，直线11：y=x-1与直 线：y=-2x+2交于点A(2,1), 「x=2, 三方程组，的解是= lx+2y=4 (2)三条直线经过同一个点.理由如下： y=x-1, 解方程组{ -x2可得=2， y=-2x+2 y=1. 代人y-+成 三条直线y=-1,y=-7+2,y=+ 2经过同-个点4(2,1)， 21.(1)1;20km/h. 提示：由题图可知，A比B晚出发1h,B的 速度为60÷3=20(km/h). (2)解：由题图可知，D(1,0),C(3,60), E(3,90). 设直线OC的函数解析式为s=t, 则3k=60,解得k=20, 所以直线OC的函数解析式为s=20t. 设直线DE的函数解析式为s=mt+n, 则m+n=0, 解得 m=45, 3m+n=90, ln=-45, 所以直线DE的函数解析式为s=45t-45. (3)解：由题图可知， A,B两人恰好相距10km时有三种情况： ①20t=10,解得t=2 1 ②201-(451-45)=10，解得1= ⑧(451-45)-201=10，解得1=号 综上，A,B两人恰好相距10km时，t的值是 2好号 22.解：(1)由题意知，正比例函数=7x的图 象过点(4，a), 六a=分x4=2 (2),一次函数y1=x+b的图象经过两点 (-1,-3),(4,2), 「-k+b=-3 rk=1, ’解得 4k+b=2, 16=-2, ∴.一次函数的解析式为y1=x-2. (3)画出函数图象如图所示 6 5 3 2 1 -4-3-21 1234567 2 2=2x 1=x-24 由图象可知，当x>4时，y1>y2 (4).一次函数的解析式为y1=x-2,与x 轴交于点(2,0)，且正比例函数2=2x的 图象与一次函数y1=x-2的图象的交点为 (4,2), 两个函数图象与x轴所围成的三角形的 面积为7×2×2=2. 23.(1)(2,-2) 提示：联立直线11与2的方程， 1 得=2*-1 解得2， ly=-2x+2, y=-2, 则点P的坐标为(2，-2) (2)解：把y=0代入y=-分-1，得0 分-1，解得x=-2, .点A的坐标为(-2,0) 把y=0代入y=-2x+2,得0=-2x+2,解 得x=1, .点B的坐标为(1,0) .AB=3, 5aa=分：AB1l=7×3x2=3, (3)解：设点M的坐标为a,-20-1, 由MN∥y轴，MN与直线l2交于点N,得 N(a,-2a+2), Mw=-2a+2-(-2a-=B=3, 3 -2a+3=3, 解得a=4或a=0, .点M的坐标为(4，-3)或(0，-1). 23.4实际问题与一次函数 1.C2.D 3.解：(1)由题图可知，该地出租车的起步价是 7元 故答案为7. (2)设当x>2时，y与x之间的函数关系式 为y=kx+b(≠0)，将(2,7)，(4,10)分别代 入，得 2k+b=7, 解得 k=2 14k+b=10, b=4, “)与之间的函数解析式为)=子+4. 34