23.1 一次函数的概念-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学八年级下册RJ 第二十三章 ·次函数 23.1一次函数的概念 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模 型.运动变化各种各样，函数也有不同的类型.一次函数是一类刻画 简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数， 问题某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km 风拓展提升 气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高 问题中函数的特征： (1)y关于x的函数解 xkm时，他们所在位置的气温是y℃.用函数 析式是整式： 解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向 (2)x和y的次数都是1. 上登高2km时，他们所在位置的气温 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上， 当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃.因此，y关于x 的函数解析式为 y=5-6x. 这个函数也可以写为 y=-6x+5. 当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就 是当x=2时函数y=-6x+5的值，即y=6×2+5=-7(℃ 交思考 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写 出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ (1)铁的密度约为7.9gCm3,铁块的质量m(单位：g)随它的体 积V(单位：cm)的变化而变化. (2)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位：cm)随练习本的个数n的变化而变化 (3)一种计算成年人标准体重m(单位：kg)的方法是：以厘米为单 位量出身高h,再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化. (4)把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变，矩 形的面积y(单位：cm)随x的变化而变化. 112|中小学AI教辅引领者 第二十三章一次函数 在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量 敲黑板多 之间关系的函数解析式分别为： 回拓展提升 (1）m=7.9V; (2)h=0.5n; 函数y=k(k是常数) (3)m=h-105; (4)y=-5x+50. 不是正比例函数，而是 常数函数 上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的 形式.特征：（1)y关于自变量心的式子是整式.(2)两个变量的次裁 都是1.(3)比例系裁k≠0.(4)常裁b为任意实数 般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0）的函数，叫作三 次函数(linear function),其中x是自变量.特别地，当b=0时，y= x+b即y=x,形如y=x(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例 函数，其中k叫作比例系数特征：(1)y关于自变量x的式子是整式 区易错提醒 (2)两个变量的次裁都是1.(3)比例系数k≠0 正比例函数=x也可 例@一个弹簧不挂物体时长12cm,在弹簧的弹性限度内，每挂 以说成y与x成正比例 关系，但若没有指明谁 1kg的物体，弹簧伸长2cm. 与谁成正比例关系，就 (1)求弹簧的长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位： 不一定是正比例函数. kg)的函数解析式； (2)当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 因方法点拨 判断一次函数的方法 解：(1)由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时， 看函数解析式能否通过 弹簧伸长2xcm.因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12 变形转化为y=kx+b(k, b为常数，且k≠0)的 (2)把x=5代入y=2x+12,得y=2×5+12=22. 形式，若能，则是一次 因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm. 函数，此时若b=0,则 一次函数与正比例函数的关系 该函数既是一次函数， 区别：正比例函数是一次函数，但一次函教不一定是正比例函数 又是正比例函数 联系：当b=0时，y=kx+b=kx,一次函数转化为正比例函数，所以说 正比例函戴是特殊的一次函数 练习 1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？虽装π是字母， 同练习答案 但它表示常裁 (1)y=-8x; (2)y=- (3C=2:A L.(1)(3)(5)是一次 函数。 (4)y=5x2+6; (5)y=2(x-4). (1)(3)是正比例函 2.用函数解析式表示下列问题中y与x的关系：→可变形为y=2x-8 数 2.(1)y=12 (1)某人一年内的月平均收入为x元，他这一年(12个月)的总 (2)y=3x+20 收入为y元； (2)某水池有水20m3,现在打开进水管开始进水，进水速度为 3m/h,则xh后水池有水ym3. 中小学AI教辅引领者丨 113 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 概念 形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数 次函数 正比例函数 形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数 叫作比例系数 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照23.1一次函数的概念 一、一次函数的概念 (1)在时速为80km的匀速运动中，路程 1.下列说法正确的是 ( y(km)与时间x(h)之间的关系； A.形如y=kx+b(k,b是常数)的函数， (2)汽车从A站驶出，先走了4km,再 叫作一次函数 以40kmM的平均速度行驶了xh,那么汽车 B.形如y=kx+b(k,b是常数，b≠0)的 离开A站的路程y(km)与时间x(h)之间 函数，叫作一次函数 的关系； C.形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的 (3)某车站规定旅客可以免费携带不超过 函数，是一次函数 20kg的行李，超过部分每千克收取1.5元 D.形如y=x(k是常数，k≠0)的函数， 的行李费用，则旅客需交的行李费y(元)》 不是一次函数 与携带行李质量x(kg)(x>20)之间的 2.重点题下列函数是一次函数的有( 关系 ①y=rx; ②y=2x-1; ③y= ④y=2-3x; ⑤y=x2-1. A.4个B.3个 C.2个 D.1个 3.下列函数关系为正比例函数的是( A.圆的面积S与它的半径 B.路程为常数s,行走的速度v和时间t C.被除数是常数a时，除数b和商c D.三角形底边长是常数a时，其面积S与 底边上的高h 4.写出下列各题中y与x之间的关系式，并 判断y是否为x的一次函数 114|中小学A1教辅引领者 第二十三章一次函数 二、利用一次函数的概念求值 四、确定函数的解析式 5.若函数y=(a-1)x-2是一次函数，则 11.用函数解析式表示下列问题中y与x的关 a的值为 系，并判断y是否为x的一次函数，是否 6.已知函数y=(m+2)x-m2+4(m是常数) 为x的正比例函数 是正比例函数，则m= (1)汽车以90kmh的速度匀速行驶，行 7.重点题若y=(m-3)xm-2+m+n是y关 驶路程y（单位：km)与行驶时间x（单 于x的一次函数，则m=；若它 位：h)之间的关系； 为正比例函数，则m= （2)在△ABC中，已知边AB上的高为8， △ABC的面积S与边AB的长x之间的关系； 三、一次函数与正比例函数的关系 (3)一条鳄鱼现在身长70cm,每月长 8.下列说法：①正比例函数一定是一次函 3cm,x月后这条鳄鱼的身长为ycm. 数；②一次函数一定是正比例函数；③速 度一定时，路程s是时间t的一次函数； ④圆的面积S是圆的半径r的正比例函 数.其中说法正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知函数y=（m+3)x+m. (1)当m取何值时，这个函数是正比例 函数？ (2)当m在什么范围内取值时，这个函数 是一次函数？ 12.重点题已知y-3与2+x成正比例关系， 且当x=2时，y=1 (1)求y关于x的函数解析式： (2)当y=10时，求x的值. 10.已知y=(m-1)x2-m+n+4. (1)当m,n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m,n取何值时，y是x的正比例函数？ 中小学A教辅引领者1115值，该选项不符合函数的定义，符合题意；D, 观察函数图象发现，该选项符合函数的定义， 不符合题意， 9.CA..对于气温的每一个值，都存在一个 唯一确定的音速，符合函数定义，∴.气温是自 变量，音速是气温的函数，正确，故选项A不 符合题意；B.由题中表格数据可知，y随x的 增大而增大，故选项B不符合题意；D.由表 格数据可知温度每升高5℃，音速增加 3m/s,正确，故选项D不符合题意；C.当气 温为30℃时，预测音速为349m/s,错误，故 选项C符合题意. 10.B观察发现，当m=1时，v≈0；当m=2 时，v≈3=22-1；当m=3时，v≈8=32-1； 当m=4时，v≈15=42-1，∴.m与v之间的 关系最接近的关系式为v=m2-1. 11.y=2x+815cm观察题中表格数据发 现，所挂物体质量每增加1kg,弹簧长度增 加2cm,不挂重物时，弹簧长度为10-2= 8(cm),所以弹簧长度y与所挂物体质量x 之间的关系式为y=2x+8.当x=3.5时， y=2×3.5+8=15. 12.解：由题意得，s与t的函数解析式为s= 60t(t≥0) 列表如下： t/h 0 1 2 3 4 s/km 0 60 120 180 240 描点、连线，画出s与t的函数关系图象，如 图所示： s/km本 360 300 240 180 120 60 123456h 3 13.(1)甲；甲；2. 提示：①由题图可知，甲先完成40个零件的 生产任务；在生产过程中，甲因机器故障停 止生产4-2=2(h). (2)解：由题图可知，当t=3或t=5.5时，两 函数图象相交，即甲、乙两名工人生产的零 件个数相同 (3)解：由题图可知，甲在4~7h内的生产 速度最快， 此时甲每小时生产零件的个数为9=”=10 14.29 观察题图，可知3min时进水30L,则 进水速度为=10(/min).:3mim时，再 打开出水管排水，8min时，关闭进水管，直 至容器中的水全部排完，∴.排水速度为 8X0;0=12(mm)a-8=8解得 8-3 29 a31 15.解：从题图(2)可知，当Rt△ABC先向右平 移2个单位长度时，Rt△ABC正好在矩形 DEFG中， 此时Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面 积等于Rt△ABC的面积，为2. 又BC=2,.R△ABC的面积为)BC·AB= 3×2MB=2解得4B=20G=2 当Rt△ABC再向右平移3个单位长度时，点 C与点E重合，∴.CE=5, ∴.矩形DEFG的面积为2×5=10. 第二十三章一次函数 23.1一次函数的概念 1.C2.B3.D 4.解：(1)由题可得，y=80x,是一次函数； (2)由题可得，y=40x+4,是一次函数； (3)由题可得，y=1.5(x-20),是一次函数 5.-1函数y=(a-1)xa1-2是一次函数， .∴.Ial=1且a-1≠0，解得a=-1. 6.2由正比例函数的定义，得-m2+4=0且 m+2≠0，解得m=2. 7.-3-33 8.B 说法 分析 正误 一次函数y=x+b,当b=0 ① 时，该函数就是正比例函数，故 正比例函数一定是一次函数 一次函数y=kx+b,若b≠0， ② 它就不是正比例函数 速度一定时，路程s关于时间 ③ t的函数关系式为s=t,是一 次函数 圆的面积S与圆的半径r的关 4 系为S=π㎡2，不是正比例函数 9.解：(1)根据题意，可得m+3≠0且m=0, 解得m=0, 故当m=0时，这个函数是正比例函数， (2)根据题意，可得m+3≠0， 故当m≠-3时，这个函数是一次函数 10.解：(1)根据一次函数的定义，得2-1ml=1, 且m-1≠0，解得m=-1, ∴.当m=-1,n为任意实数时，这个函数是 一次函数 (2)根据正比例函数的定义，得2-1ml=1, m-1≠0，n+4=0, 解得m=-1,n=-4, ∴.当m=-1,n=-4时，这个函数是正比 例函数. 11.解：(1)由题意，得y=90x,y是x的一次函 数，也是x的正比例函数 (2)由题意，得S=4x,S是x的一次函数，也 是x的正比例函数， (3)由题意，得y=3x+70,y是x的一次函 数，但不是x的正比例函数. 12.解：(1)由题知，y-3与2+x成正比例 关系， 故令y-3=k(2+x),k≠0. 又当x=2时，y=1, 则1-3=（2+2)k, 解得6=宁 所以y-3=(2+, 即y=-2+2 (2)将y=10代人y=-+2, 得10=-之+2，解得x=-16 23.2一次函数的图象和性质 第1课时一次函数的图象和性质 1.B2.D3.B4.A5.A6.D 7.2(答案不唯一，满足k>0即可) 8.m<2 9.k>m>n提示：取x=1. 10.解：(1)y=9x-7.(2)7=-25.(3)x=多 (④)<gg≤≤号 11.A12.B13.A14.D15.C 16.817.118.319.4 20.解：(1).一次函数y=mx-（m-2)的图象 过点(0,3)，∴.3=-（m-2),解得m=-1. (2)一次函数y=mx-(m-2)的图象经 过第一、二、四象限， 「m<0, {-(m-2)>0, 解得m<0, 即m的取值范围是m<0.