21.2 平行四边形-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学八年级下册RJ 21.2 平行四边形 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰三角形和直 角三角形，这是在一般图形的基础上研究特殊图形，我们在研究几何图 回拓展提升 形时常用这种思路.对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看， 四边形从属关系图 如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有 一组对边平行，这个四边形就是梯形（图21.2-1）.本节我们重点学习 矩形 平行四边形，研究它的性质和判定. )不是轴对称图形 正方形 菱形 两组对边分别平行 平行四边形 四边形 四边形 等腰 梯形 只有 梯形 组对边平行 梯形 韩形不一定是轴对称图形 图21.2-1 等腰梯形是轴对称图形 21.2.1平行四边形及其性质 平行四边形是常见的几何图形.学校的伸缩门、庭院的竹篱笆 等（图21.2-2)，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？ D 风方法点拔 平行四边形的定义既 B C 是性质，又是判定· 图21.2-2 图21.2-3 AB∥CD,AD∥BC⊙四边形ABCD是平行四边形 (如图21.2-3) 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 (parallelogram).平行四边形用“口”表示，如图21.2-3，平行四边 形ABCD记作“口ABCD”·口后妻紧银表示平行四边形回个顶点的字导， 不能单独使用它来代替“平行四边形 56|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和 敲黑板多 位置关系的角度研究平行四边形的性质.先来研究平行四边形的边和角 ?探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分 别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下， 和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学。 比较一下。 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边 形的对角相等.下面证明这些猜想。 上述猜想涉及线段相等、角相等.而利用三角形全等得出全等三 角形的对应边相等、对应角相等，是证明线段相等、角相等的一种重 要方法.为此，可以通过添加辅助线，构造两个三角形，利用三角形 全等进行证明 A 47 证明：如图21.2-4，连接口ABCD的对角线AC 'AD∥BC,AB∥CD, 图21.2-4 ∠1=∠2，∠3=∠4. 又AC是△ABC和△CDA的公共边， ceeeceeeeeeeeeeeeeee 国方法点拨 .△ABC≌△CDA 不添加辅助线，你 在平行四边形中，只 .AB=CD,BC=DA,∠B=∠D. 能否直接运用平行四边 要知道其中一个内角 形的定义，证明其对角 的度数，就可根据平 请你自己证明∠BAD=∠DCB. 相等呢？ 行四边形的对角相等、 这样，就得到平行四边形的性质： 邻角互补求其他三个 平行四边形的对边相等； 内角的度数，（知一 平行四边形的对角相等 求三) 接下来研究平行四边形的对角线 ?探究 习拓展提升 如图21.2-5，在□ABCD中，连接AC,BD, (1)平行四边形的邻 角互补： 并设它们相交于点O.点0把每条对角线都分成两部 (2)过平行四边形两 分，这两部分有什么关系？ B 对角线交点的直线等 利用信息技术工具，改变口ABCD的形状，你 图21.2-5 分平行四边形的周长 和面积. 发现的结论还成立吗？证明你发现的结论 容易发现，在口ABCD中，OA=OC,OB=OD.这 ☑易错提醒 个结论也可以通过三角形全等证明（请你结合图 平行四边形的每条对 角线都将平行四边 21.2-6完成证明)）. 形分成两个全等的 由此又得到平行四边形的一个性质： 4 B 三角形。 平行四边形的对角线互相平分 图21.2-6 中小学A1教辅引领者|57 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 例12如图21.2-7，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB= 10,AD=8,AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的长，以及□ABCD的面积. 解：·四边形ABCD是平行四边形， A D BC=AD =8,CD=AB=10. AC⊥BC, B C △ABC是直角三角形. 图21.2-7 AC=AB2-BC=/102-82=6. 1 0A=0C=2AC=3, SABCD=BC·AC=8×6=48. 同练习答案 马练习 1.(1)CD=5,AD=3. 1.在□ABCD中， (2)∠B=142°， （1)已知AB=5,BC=3,求另外两边的长； ∠C=38°，∠D= 142° (2)已知∠A=38°，求其余各内角的度数 2.△40D的周长是 2.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC=10,AC=8,BD= 21,△DBC的周长长 14.△AOD的周长是多少？△MBC与△DBC的周长哪个长？长多少？ 长6. 3.AD=BC.因为这时构 成的四边形ABCD的 两组对边分别平行， 它是平行四边形，所 以根据平行四边形 对边相等的性质，可 (第2题) 知AD=BC (第3题) 3.如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了 一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？ 为什么？ 例2如图21.2-8，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过 点O且与AB,CD分别相交于点E,F.求证OE=OF 证明：在口ABCD中，AB∥CD, ∠EAO=∠FC0,∠AE0=∠CFO. 又 0A=0C △AOE≌△COF. 图21.2-8 OE=OF 距离是几何中的重要度量之一.我们已经学习了点与点之间的距 离、点到直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性 质，学习两条平行线之间的距离. 58|中小学A1教辅引领者 第二十一章四边形 如图21.2-9，a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D 敲黑板多 四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形， AB=CD.也就是说，夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. oeoeeeeeeeeeeeeeeeee B D 连接两点 两条平行线之间的 的线段的 图21.2-9 距离和，点与点之间的距 长度 离、点到直线的距离有 何联系与区别？ 都是指某一条 点到直线的垂 B 线段的长度 线段的长度 图21.2-10 网拓展提升 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线 当两条平行线确定后， 上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上 这两条平行线之间的 距离是一个定值 任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.如 图21.2-10，a∥b,A是a上的任意一点，AB⊥b,垂足为B,线段AB 的长就是平行线a,b之间的距离. 例3如图21.2-11，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC.求证 ∠B=∠C. 区易错提醒 平行线间的距离和平 B E 行线间的平行线段是 图21.2-11 不同的概念，不能混 为一谈. 分析：由于AD∥BC,可以考虑运用平行线之间的距离，通过 三角形全等进行证明· 证明：如图21.2-11，在梯形ABCD中，AD∥BC,过点A,D分 别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F :AE,DF的长都是平行线AD,BC之间的距离， .AE DF. a000oaaoaoaaaaaa88: 又AB=DC, 你还有其他 .Rt△ABE≌Rt△DCF 证明方法吗？ ∴.∠B=∠C. 中小学A1教辅引领者|59 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 马练习 可练习答案 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC 1.35° 且与AD相交于点E,DF∥EB且与BC相交于点F.求∠1的大小： 2.8. 0 3.25 F C B B E (第1题)0A=0C (第2题) (第3题) 因方法点拨 2.如图，口ABCD的周长为16，对角线AC,BD相交于点O,点E在 在平行四边形中，平行 AD上，OE⊥AC.求△CDE的周长. 四边形的周长等于相邻 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=3,AB=4, 两边之和的2倍；反之， 相邻两边之和等于平行 BC=5,E为边BC上一点，AB∥DE.求AD,BC之间的距离. 四边形周长的一半. 四边形ABED是平行四边形 21.2.2平行四边形的判定 讨论平行四边形的判定，就是确定当四边形的边、角、对角线满 足怎样的位置关系和数量关系时，它是平行四边形.根据平行四边形 的定义，可以从边的位置关系的角度来判定.还有其他判定平行四边 形的方法吗？ 女思考 我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相 平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边 形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题 成立吗？ 可以证明，这些逆命题都成立 下面以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，根据平 行四边形的定义进行证明」 如图21.2-12，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,且OA= OC,OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明： OA=OC,OB=OD,∠AOB=∠COD, △AOB≌△COD. ∠OAB=∠OCD. AB∥CD. 同理AD∥BC 图21.2-12 .四边形ABCD是平行四边形. 60|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 于是得到平行四边形如下的判定定理： 平行四边形的 敲黑板9 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 判定定理与相应的 两组对角分别相等的四边形是平行四边形： 性质定理的条件和 结论正好互换，它 对角线互相平分的四边形是平行四边形 区易错提醒 们互为逆定理 习例如“筝形”《) 例4如图21.2-13，口ABCD的对角线AC, 两组邻边分别相等或两 BD相交于点O,点E,F在AC上，并且AE= 组邻角分别相等都不能 判定四边形是平行四边形 CF.求证：四边形BFDE是平行四边形 例如“等腰梯形”一 证明：，四边形ABCD是平行四边形， 图21.2-13 A0=C0,B0=D0. AE CF, .AO-AE=C0-CF,即E0=FO 又B0=D0, 你还有其他证 明方法吗？ 四边形BFDE是平行四边形. 凸练习 AD∥BC )AB∥CD 厚练习答案 1.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD,∠C+∠ABC=180°， 1.是.理由略 四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由 2.AB//DC//EF,AD∥BC D DE∥CF 3证明：：口ABCD的对 角线AC,BD相交于点O 0A=0C,0B=0D (第1题) (第2题) (第3题) E,F分别是OA OC的中点， 2.如图，AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF.图中有哪些互相平行的线段？ ÷0B=10A. 2 3.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且E,F分别是OA, 0n号oc ..OE =OF OC的中点，连接DE,DF,BE,BF.求证：四边形DEBF是平行四边形， 又OB=OD ·.四边形DEBF是平 行四边形 根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平 行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边， 那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ 闷思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考 虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平 行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四 边形的方法吗？ 中小学AI教辅引领者|61 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相 等.进而猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 这个猜想是正确的，可以通过证明四边形的另一组对边平行或相 等来完成.下面证明这个四边形的另外一组对边相等，从而证明这个 四边形是平行四边形 如图21.2-14，在四边形ABCD中，AB IL CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：连接AC AB∥CD, 图21.2-14 ∠1=∠2. 区易错提醒 又AB=CD,AC=CA, 一组对边平行，另一 △ABC≌△CDA. “L”表示平行 组对边相等的四边形 BC DA. 且相等. 不一定是平行四边形， 也有可能是等腰梯形， 又AB=CD, 如图 四边形ABCD是平行四边形 于是又得到平行四边形的一个判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 冈方法点拨 例5D如图21.2-15，在□ABCD中，E,F分别是AB,CD 平行四边形判定方法的选择 的中点.求证DE BF. 已知条件 证明思路 D 1.另一组对边相等 证明： 四边形ABCD是平行四边形， 一组对边相等 2.该组对边平行 AB⊥CD. 1.另一组对边平行 组对边平行 2.该组对边相等 EB=AB,DF=7 CD. E 又 对角线 对角线互相平分 图21.2-15 角 两组对角分别相等 EB LDF. 四边形EBFD是平行四边形 DE⊥BF 可练习答案 马练习 1.根据“一组对边平行 1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行 且相等的四边形是平 的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？ 行四边形”可知，由 枕木和铁轨构成的四 边形是平行四边形， 而平行四边形的对边 平行，所以两条铁轨 平行. (第1题) (第2题) 621 中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 敲黑板多 2.如图，在口ABCD中，BD是它的一条对角线，过A,C两点分别 作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证：四边形 可练习答亲案 AFCE是平行四边形 2略.提示：证明AE IL CF 3.6个.理由略.提示： 3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少 利用“两组对边分别 个平行四边形？为什么？ (第3题) 相等的四边形是平行 四边形”判定 21.2.3三角形的中位线 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三 角形全等研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角 形的有关问题 如图21.2-16，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，连 接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 oc0cco00000c0000800 D 三条《 一个三角形有几 条中位线？三角形的中 B 位线和中线一样吗？ 图21.2-16 不一样，三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段；而三角 形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段 习探究 观察图21.2-16，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的 位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证 明你发现的结论吗？ 我们猜想：DE∥BC,DE=)BC.下面对它们进行证明 如图21.2-16，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.求证： DE∥BC,且DE=7BC. 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段 的长等于另一条线段长的一半 转化思想 如图21.2-17，将DE延长一倍（得到点F) 后，可以将证明DE∥BC,且DE=方BC转 化为证明DFILBC,而这只要证明以B,C, D F,D为顶点的四边形是平行四边形，进而 只要证明四边形ADCF是平行四边形.由于 DE=EF,E是AC的中点，所以四边形ADCF 图21.2-17 中小学AI教辅引领者|63 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 证明. 证明：如图212-17，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF AE EC,DE EF, 四边形ADCF是平行四边形. CF⊥DA. 又D是AB的中点， CF LL BD. 四边形DBCF是平行四边形. DFBC. 又 DE 2 DF, 因方法点拨 有三角形中位线（或三 DE/BC,且DE=3BC 角形中两条边的中点) 通过上述证明，得到三角形的中位线定理： 的条件时，若求角的度 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的 数，则考虑中位线定理 一半 )位置关系 中的位置关系；若求线 数量关系 段的长度，则考虑中位 例6求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行 线定理中的数量关系， 四边形 已知：如图21.2-18，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连 区易错提醒 接四形的一条对角线，利用三角形中位 在综合运用平行四边形 线定理证明要证的四边形一组对边平行 的性质和判定时，要注 图21.2-18 意二者之间的区别，性 且相等，从而证明它是平行四边形. 质是已知平行四边形得 证明：连接AC. 到边、角或对角线之间 AH=HD,CG=GD. 的关系，而判定是已知 边、角或对角线之间的 HC/AC,且HG=AC 关系得到平行四边形. 同理EF∥AC,且EF=分AC HG⊥EF 四边形EFGH是平行四边形. 64|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 凸练习 敲黑板多 1.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.以这些 点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平 同练习答亲 行四边形？ 1.3个，分别是口ADEF, □BEFD,□ECFD.因 为一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 E 2略.提示：证明ED LFG. 3.分别我出AC和BC的中 点M.N,则AB=2M (第1题) (第2题) (第3题)》 测出MWN的长度即可. 2.如图，△ABC的中线BD,CE相交于点O,且F,G分别是OB, OC的中点.求证：四边形DEFG是平行四边形. 3.如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC和BC. 怎样利用三角形的中位线定理测出A,B两点间的距离？ 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 0定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 边一平行四边形的对边相等 一组对边平行，另一 0性质 一平行四边形的对角相等 组对边相等的四边形 对角线—平行四边形的对角线互相平分 不一定是平行四边形 如等腰梯形 定义一 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 0判定 角一两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线一对角线互相平分的四边形是平行四边形 三角形的 定义一连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 中位线 定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于 第三边的一半 中小学A1教辅引领者|65 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 21.2.1平行四边形及其性质 一、平行四边形的定义 B 1.如图，在□ABCD中，点E,H,F,G分 别在边AB,BC,CD,DA上，EF∥AD, GH∥CD,EF与GH交于点O,则图中的 平行四边形一共有 ( A.6个 (第5题) (第6题) B.7个 6.如图，∠BAC=45°，E为AB边上一点， C.8个 AE=3,M,N为AC边上的两个动点，且 D.9个 满足MN=1,则EM+EN的最小值为 二、平行四边形的性质 2.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于 7.重点题如图，在口ABCD中，E为边CD 点O,且AC+BD=36,AB=11,则△AOB 上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD'E处， 的周长是 ) AD'与CE交于点F.若∠B=52°，∠DAE= 20°，则∠FED'= (第2题) (第3题) A.18 B.29 C.36 D.47 (第7题) (第8题) 3.如图，在ABCD中，AB=BD,点E在BD上， DE=CE.若∠A=70°，则∠ECB= 8.如图，已知□AEFD与□EBCF的周长相 4.如图，口ABC0的顶点O,A,C的坐标分 等，且∠A=50°，∠BEF=120°，则∠CDF 别是(0,0)，（3,0)，(1,2)，则 的度数为 顶点B的横坐标是 9.在□ABCD中，∠A=30°，AD=2√3， BD=√7，则口ABCD的面积为 10.如图，在□ABCD中，E是边DA延长 线上的一点，且AE=AD,连接EC,与 0 AB,BD分别交于点F,G.求证：AF=BF 5.如图，将□ABCD沿EF对折，使点A落在 点C处.若∠A=60°，AD=4,AB=6, 则CE的长为 66|中小学A1教辅引领者 第二十一章四边形 11.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC, 三、两条平行线之间的距离 DF∥BE.求证：∠1=2∠ABC, 13.观察如图所示的三个平行四边形，下列 说法正确的是 () A.它们形状相同，面积相等 B.它们形状相同，面积不相等 B C.它们形状不相同，面积相等 D.它们形状不相同，面积不相等 1 cm cm B 12.如图，直线EF过口ABCD对角线的交 5 cm 点O,交AD于点E,交BC于点F.若 □ABCD的周长是36，OE=3,求四边形 I cm ABFE的周长 (第13题) (第14题) 14.重点题如图，已知AB∥CD,O为∠CAB 的平分线与∠ACD的平分线的交点.若 0E1AC,且OE=号，则平行线AB, CD之间的距离为 知识对照21.2.2 平行四边形的判定 一、平行四边形的判定方法 3.在平行四边形中有定理：平行四边形对 1.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交 角线的平方和等于各边的平方和.如图， 于点O,下列条件不能判定这个四边形是 在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=6, 平行四边形的是 D是BC的中点，则AD的长为 A.OA=OC,OB=OD 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D, B.AD∥BC,AB∥DC ∠DCA=∠CAB.求证：四边形ABCD是 C.AB=DC,AD=BC 平行四边形， D.AB∥DC,AD=BC 2.中考新角度发散性试题)如图，在四边形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, 已知AB∥CD,则添加一个条件 可得出四边形ABCD是平行四边形 D (第2题) (第3题) 中小学A1教辅引领者|67 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 5.重点题如图，在△ABC中，∠ACB=90°， A.甲<乙<丙 B.乙<丙<甲 ∠CAB=30°，以线段AB为边在AB上方作 C.丙<乙<甲 D.甲=乙=丙 等边三角形ABD,F是边AD的中点，连接 8.跨学科整合物理)一种光电转换接收器的 CF.求证：四边形BCFD是平行四边形， 基本原理图如图所示，光束发射器从点P D 处始终以固定角度α向液面，发射一束 细光，光束在液面L的点O,处发生反射， 其反射光被水平放置的光电转换器接收， 接收位置记为点S.当液面上升至2时， 入射点会沿着入射光线的方向平移至点O, 6.如图，AB,CD相交于点O,AC∥DB, OA=OB,E,F分别是OC,OD的中点 处，接收点也随之向左平移至S2处，OS, 求证： 交l于点Q,点O1处的法线ON交于点N, (1)OD=0C; 点02处的法线为O2M.若SS2=5.4cm, (2)四边形AFBE是平行四边形 =45°，则液面从11上升至l2的垂直 高度为 cm 光束发射器 光电转换接收器 E S p M N 0 a入& 01 二、平行四边形性质和判定的综合应用 9.如图，在口ABCD中，点E,F在对角 7.甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭 线AC上，且AF=CE,连接BE,DE, 头表示行进的方向)分别如图(1)(2)(3) BF,DF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： 所示.其中E为AB的中点，AH>HB,则甲、 (2)若∠BAC=80°，AB=AF,DC=DF, 乙、丙三人行进路线长度的大小关系为 求∠EBF的度数. C D 50加 602 50°60°5Q°6Q9 ⊙ (1) (2) K709 50°.6050°60 4 H (3) 68|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 三、平行四边形中的动点问题 四、平行四边形中的探究问题 10.重点题如图，在四边形ABCD中， 11.在□ABCD中，分别以AB,CD,DA为 AD∥BC,AD=6cm,BC=10cm,动点P, 斜边作等腰直角三角形，可得△ABE, Q分别从点A,C同时出发，点P以1cms △CDG,△ADF,∠CDA≠90° 的速度由点A向点D运动，点Q以2cms的 (1)如图（1)，当三个等腰直角三角形 速度由点C向点B运动.当其中一个动点 都在口ABCD外部时，连接GF,EF.请 到达终点时，另一个动点随之停止运动.设 判断GF与EF的数量关系和位置关系， 运动时间为ts. 并说明理由. (1)AP= cm,CO= cm; (2)如图(2)，当三个等腰直角三角形 (用含有t的式子表示) 都在口ABCD内部时，连接GF,EF, (2)当点P,Q与四边形ABCD的任意两 (1)中的结论还成立吗？若成立，给出证 个顶点所形成的四边形是平行四边形时， 明；若不成立，请说明理由 求t的值. 中小学A1教辅引领者|69 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 知识对照 21.2.3 三角形的中位线 一、三角形的中位线定理 A.10m B.12m 1.如图，在□ABCD中，BM平分∠ABC交 C.16m D.18m AD于点M,AM=2DM,连接CM,E,F 4.重点题如图，在△ABC中，已知∠C= 分别是BM,CM的中点.若AB=6,则 30°，E为边AB延长线上的一点，且AB= EF的长为 BE,D为边BC上一点，连接DE,在边 M AC,DE上分别取点F,G,使得AF=GE=4, E 连接FG,交BC于点M.若M为FG的中点， 则MB的长为 C 9 A.2 B.5 c号 D.6 2.如图，P是直线AB上的一个动点， A.5√2 B.23 点C,D分别在AB的两侧，CA⊥AB, DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,连 C.3 D.43 3 接PC,PD,分别取PC,PD的中点M,N, 5.如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E 连接MN.随着点P的运动，线段MW 是边AC的中点，连接DE,∠A=70°，∠C= 的长 60°，则∠BDE的度数是 A.随着点P的位置变化而变化 B.保持不变，长为2 A.110° B.120° C.130° D.140° C.保持不变，长为2 6.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC, D.保持不变，长为√41 BD相交于点O,E为CD的中点，BD=2, 3.如图，平地上A,B两点被池塘隔开，测 则△DOE的周长为 量员在岸边选一点C,AC和BC的中点分 别为D,E,DE=6m,则A,B两点之 间的距离为 B A.2 B.3 C.4 D.5 70|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 7.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边 10.中考新角度分类讨论)等腰三角形的一 上的中线，且BD⊥CE,BD=6,CE=8, 条边长为4，三条中位线的长度之和为8， 则△ABC的面积等于 则其底边长为 () A.24 B.32 A.4 B.8 C.36 D.48 C.4或6 D.4或8 8.如图，在△ABC中，中线BE,CD交于点 11.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边AB O,F,G分别是OB,OC的中点.求证： 上一点，DE∥BC交AC于点E,连接BE, 四边形DFGE是平行四边形 F,G,H分别为BE,DE,BC的中点 （1)求证：FG=FH, (2)当∠A的度数为多少时，FG⊥FH? 二、多条三角形的中位线 9.如图，E,F分别是四边形ABCD的边AB, CD的中点，G,H分别是两条对角线AC, BD的中点.若EH=6,且AD≠BC,则 下列结论错误的是 A.EH∥GE B.GF=6 C.AD=12 D.BC=12 中小学AI教辅引领者|714.解：如图，标示点G,H. .·∠CHG=∠D+∠E, ∴.∠C+∠D+∠E=∠C+∠CHG=∠BGF. ,四边形ABGF的内角和为360°， ∴.∠A+∠B+∠BGF+∠F=360°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 5.D多边形的内角和公式为(n-2)·180°， 其中n为多边形的边数且n≥3.多边形的外 角和为360°，是定值.当多边形增加一条边 时，内角和增加180°，外角和不变 6.D正多边形的外角均等于40°，且外角和为 360°，则这个正多边形的边数为360°÷40°=9. 7.C由题意得，机器人所经过的路径是一个正 多边形，且其外角均是45°，∴.该机器人从开 始到停止所行走的路程为x4=8×4 32(m). 8.65°∠1=∠2=75°，∠3=∠4，∠5= 80°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∠3=360°-75°×2-80° 2 =65°. 9.解：如图，标示字母，延长GE交AB于点F,易 得∠AFE=90°. 在正六边形中，∠ABF=360°=60， 6 ∴.∠a=90°-∠AEF=30°. 10.5设正多边形的边数为n.由题意可得， (n-2)×180° 360°-36°，解得n=5, =2× n n 即该正多边形的边数为5. 11.解：如图，标示点A,B,C,D .·△ABC是等边三角形，∴.∠BAC=60° 由题意可知，∠DAB=∠DAC,∴.∠DAB+ ∠DAC+∠BAC=360°， ∴.∠DAC=(360°-60)÷2=150° .180°-150°=30°，∴.这个正多边形的边 数是0=12 12.D设这个多边形原来的边数为n.①当剪 掉一个角，角的数量增加1时，多边形有 (n+1)条边，故(n+1-2)×180°=1260°， 解得n=8;②当剪掉一个角，角的数量不变 时，多边形有n条边，故(n-2)×180°= 1260°，解得n=9;③当剪掉一个角，角的数 量减少1时，多边形有(n-1)条边，故(n- 1-2)×180°=1260°，解得n=10.综上，这 个多边形原来的边数为8或9或10. 13.解：(1)六边形ABCDEF的内角和为(6- 2)×180°=720°. (2).∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°， ∴.∠GBC+∠C+∠CDG=720°-460°=260°， ∴.∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)= 360°-260°=100°. 21.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 1.D四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ CD,AD∥BC..EF∥AD,GH∥CD,.AB∥ GH∥CD,AD∥EF∥BC,∴.四边形ABHG、四 边形CDGH、四边形BCFE、四边形ADFE、四 边形AGOE、四边形BEOH、四边形OFCH、四 边形OGDF均是平行四边形，共有9个平行 四边形 2.B,四边形ABCD是平行四边形，∴.AO= C0=7AC,B0=D0=7BD,△A0B的周 长为AB+A0+B0=AB+)(AC+BD)=29. 3.30°：四边形ABCD是平行四边形，∠A= 70°，∴.∠DCB=∠A=70°，AB=CD,AB∥ CD,∴∠CDB=∠ABD.AB=BD,∴.BD= CD,,∠DBC=∠DCB=70°，∴.∠CDB= 180°-∠DBC-∠DCB=180°-70°-70°= 40°.：DE=CE,.∠ECD=∠CDB=40°， .∴.∠ECB=∠DCB-∠ECD=70°-40°=30°. 4.4如图，延长BC交y轴于点D.四边形 ABCO是平行四边形，∴.BC=OA,BC∥OA. A0⊥y轴，.BD⊥y轴.A（3,0), C(1,2),∴.OA=BC=3,CD=1,∴.BD= CD+BC=1+3=4,即点B的横坐标是4. 6.19 如图，过点C作CM LAB交AB的延长 线于点M,则∠M=90°.：四边形ABCD是平 行四边形，∴.BC=AD=4,BC∥AD,∴.∠CBM= LA=60°，LBCM=30,BM=2BC=2 在Rt△BMC中，根据勾股定理，可得CM= √BC2-BM=2√3.设CE=x,则AE=x, BE=6-x,EM=8-x.在Rt△CEM中，CE2= CM2+EM2,.x2=(23)2+(8-x)2,解得 +19 4 D' D F A E B M 6.√19如图，作点E关于直线AC的对称点 E',连接EE'交AC于点G,连接E'N,过点M 作E'N的平行线，过点E作MN的平行线，两 条平行线交于点F,连接EF交AC于点D. B D:G MN C F 由轴对称的性质，得EE'⊥AC,E'N=EN, EG=E'G.:EF∥MN,FM∥EN,∴.四边形 MWE'F为平行四边形，∴.FM=E'N=EN, E'F=MN=1,∴.EM+EN=EM+FM≥EF, ∴.当点M移动到与点D重合时，有EM+ EN=EM+FM=EF,此时EM+EN的值最 小，最小值为EF的长度.：E'F∥MN,EE'⊥ AC,∴.EE'⊥E'F.在Rt△AGE中，，∠AGE= 90°，∠BAC=45°，AE=3,∴.∠AEG=90°- ∠BAC=90°-45°=45°=∠BAC,.AG= GE,.AE2=GE2+AG2=2GE2,GE2=9 2 CE=3)2,EE=2GE=32.在Rt△EE'B 中，EF=√E'E2+E'F=√(32)2+12= 19,即EM+EN的最小值为I9 7.36°四边形ABCD是平行四边形，∴.∠D= ∠B=52°..∠DAE=20°，∴.∠AED=180°- ∠DAE-∠D=180°-20°-52°=108°， ∠AEF=180°-∠AED=180°-108°=72°. 由折叠的性质得，∠AED'=∠AED=108°， ∴.∠FED'=∠AED'-∠AEF=108°-72°=36°. 8.35°在☐AEFD中，AD=EF,AE=DF,∠A= 50°，∴.∠EFD=∠A=50°.在□EBCF中， BE=CF,BC=EF,BE∥CF.'∠BEF=120°， ∴.∠CFE=180°-∠BEF=180°-120°= 60°，∴.∠CFD=∠CFE+∠EFD=60°+ 50°=110.：口AEFD与□EBCF的周长相 等，即AE+EF+DF+AD=BE+BC+CF+ EF,∴.2DF=2CF,∴.DF=CF,.∠CDF= ∠DCF=号x(180-∠CFD)=3× (180°-110°)=35. 9.55或5过点D作DE⊥AB交直线AB于 点E.在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=23, DE =7AD =3.AE =AD-DE= √(23)2-(3)2=3. 在Rt△BDE中，BE=√DB2-DE2= √(7)2-(3)2=2.如图(1)，当点E在边 AB上时，AB=AE+BE=3+2=5,∴.□ABCD 的面积为AB·DE=5×3=53;如图(2)， 当点E在边AB的延长线上时，AB=AE BE=3-2=1,.□ABCD的面积为AB· DE=1×√3=√3.综上，口ABCD的面积为 53或3 D B (1) (2） 10.证明：.四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC ·E是边DA延长线上的一点，.AE∥BC, ∴.∠AEF=∠BCF AE =AD, ∴.AE=BC 由题意，可知LAFE=∠BFC, 在△AEF与△BCF中， LAFE=∠BFC, ∠AEF=∠BCF, LAE=BC, ∴.△AEF≌△BCF(AAS), ..AF BF. 11.证明：.四边形ABCD为平行四边形， .∠ABC=∠ADC,AD∥BC, ∴.∠ADF=∠CFD. .·BE平分∠ABC, ÷LCBE=7LABC DF∥BE, ∴.∠CBE=∠CFD, ·LADP=∠CBE=2LABC=2 ∠ADC, ∠1=24ADC, 21-7LABG 12.解：四边形ABCD为平行四边形，其对角 线的交点为O,∴.AB=CD,AD=BC,OA= OC,AD∥BC,∴.∠EA0=∠FCO. r∠EAO=∠FC0, 在△AOE和△C0F中，OA=OC, L∠AOE=∠COF, ∴.△AOE≌△COF(ASA), ∴.OE=OF,AE=CF 口ABCD的周长为36，AB+BC= 36=18, ∴.四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+ EF=AB+CF BF +20E =AB BC +20E= 18+6=24. 13.C由题图可知，三个平行四边形的形状不 相同，但面积均为1×5=5(cm2). 14.号如图，过点0作MN⊥AB,交AB于点M, 交CD于点N,则∠AMN=0°.：AB∥CD, ∴.∠CNM=180°-∠AMN=90°，∴.MW⊥CD. :AO,CO分别平分∠CAB和∠ACD,且 0E1AC,0N=0E=号，0N=0B=号， MN=0M+0N=号，即平行线AB,CD之 间的距离为号 B D 21.2.2平行四边形的判定 1.D 选项 分析 OA=OC,OB=OD, A ∴.四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC,AB∥DC, B ∴.四边形ABCD是平行四边形 AB=DC,AD=BC, C ∴.四边形ABCD是平行四边形 由AB∥DC,AD=BC,不能判定四边 D 形ABCD是平行四边形 2.AB=CD(答案不唯一)答案不唯一，如 ①AB∥CD,∴.添加条件AB=CD,可得四边 形ABCD是平行四边形.②AB∥CD, .∠AB0=∠CD0.:∠AOB=∠COD,∴.添加 条件OB=OD,可得△AOB≌△COD(ASA), ∴.AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形 3.6如图，延长AD到点E,使DB=AD,连 接BE,CE.D是BC的中点，.BD=CD. AD=DE,.四边形ABEC是平行四边形. 由题意，得AE2+BC2=AB2+AC2+CE2+ BE2=2(AB2 +AC2)..AB=5,AC =4,BC= 6,.AE2+62=2×(52+42),.AE=√46， 六D=7B= 2 +E 4.证明：.·∠B=∠D,∠DCA=∠CAB, .∴.∠DAC=∠ACB, ∴.∠DAC+∠CAB=∠ACB+∠DCA, .∠DAB=∠DCB. ∠B=∠D, .四边形ABCD是平行四边形. 5.证明：：△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD,∠BAD=60°. :F是边AD的中点，DF=7AD=7AB, 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， BC-7AB DF-BC. 又∠ACB+∠CAD=∠ACB+∠CAB+∠BAD= 90°+30°+60°=180°， .AD∥BC,即DF∥BC, .四边形BCFD是平行四边形. 6.证明：(1)，AC∥DB, ∴.∠CAO=∠DBO. :∠AOC=∠BOD,OA=OB, ∴.△AOC≌△BOD(ASA),∴.OC=OD. (2)E,F分别是OC,OD的中点， 0B=20c,0F=20n, 由(1)知0C=0D,∴.0E=0F. 又OA=OB,∴.四边形AFBE是平行四边形 7.D由题图(1)可知，甲走的路线长=AC+ BC.如图(1)，延长AD交BF的延长线于点 C.,∠DEA=∠B=60°，.DE∥CF.同理， EF∥CD,∴.四边形CDEF是平行四边形， .DE=CF,EF=CD,即乙走的路线长=AD+ DE+EF FB=AD CF CD BF=AC+ 6 BC.如图(2)，延长AG交BK的延长线于点 C.同理，可得GH=CK,HK=CG,即丙走的路 线长=AG+GH+HK+KB=AG+CK+CG+ BK=AC+BC.综上，甲、乙、丙三人行进路线 长度的大小关系为甲=乙=丙， D 70 /70 450°.6050°.60 150°.60 70 609 H50° (1) (2) 8.2.7由题意得，01S1∥02S2,S1S2∥02Q, ∴.四边形S1S202Q是平行四边形，.02Q= S1S2=5.4cm.a=45°，∴.∠0201Q=180° 2×45°=90°，∠0102Q=a=45°，∴.∠01Q02= 90°-45°=45°，∴.∠0102Q=∠01Q02, ∴.0102=01Q.01N⊥02Q,∠0201N= 90°-45°=45°=∠0102N,∴.01N=02N= 0,0=2.7m 9.(1)证明：在□ABCD中，AB=CD,AB∥CD, ∴.∠BAF=∠DCE, .AB=CD, 在△ABF和△CDE中，{∠BAF=∠DCE, LAF CE, ∴.△ABF≌△CDE(SAS), .∴.BF=DE,∠BFA=∠DEC, .BF∥DE, ∴.四边形BEDF是平行四边形 (2)解：由(1)知四边形BEDF是平行四 边形， ∴.BE=DF. AB=DC=DF, ∴.AB=BE,.∠BEA=∠BAC=80°， ∴.∠ABE=180°-2∠BEA=180°-2×80°=20° AB=AF, ∠ABF=∠AFB=3×(180°-∠BMC)= 2×(1800-80)=50, .∠EBF=∠ABF-∠ABE=50°-20°=30°. 10.(1)t2t 提示：点P以1cm/s的速度由点A向点 D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点 B运动，∴.AP=tcm,CQ=2tcm. (2)解：如图(1)，当四边形PDCQ是平行四 边形时，PD=CQ,则6-t=2t,解得t=2. 如图(2)，当四边形PABQ是平行四边形时， AP=BQ,则t=10-2t,解得t=3 10 如图(3)，当四边形PDQB是平行四边形 时，PD=BQ,则6-t=10-2t,解得t=4. 综上所述，+的值为2或9或4 0 C B O (1) (2) (3) 11.解：(1)GF=EF,GF⊥EF.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,∠DAB+∠ADC=180° ,·△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三 角形， ∴.DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG= ∠ADF=∠BAE=45°， ∴.∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+ ∠CDA,∠EAF=360°-∠BAE-∠BAD- ∠DAF=270°-(180°-∠CDA)=90°+ ∠CDA,∴.∠GDF=∠EAF. 在△GDF和△EAF中， DF=AF, ∠GDF=∠EAF, LDG=AE, ∴.△GDF≌△EAF(SAS), .GF=EF,∠GFD=∠EFA,即∠EFA+ ∠GFA=∠GFD+∠GFA=∠DFA=90°， ∴.∠GFE=90°，∴.GF⊥EF. (2)GF=EF,GF⊥EF成立.证明如下： ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=DC,且AB∥DC 又△ABE,△CDG都是等腰直角三角形， ∴.AE=BE=DG=CG,∠CDG=∠BAE=45° 又△AFD是等腰直角三角形， ∴.AF=DF,∠FDA=∠DAF=45°，∠AFD=90° .AB∥DC, ∴.∠CDA+∠DAB=180 又∠CDA=∠CDG+∠FDA-∠FDG= 90°-∠FDG,∠DAB=90°+∠FAE, .∴.90°-∠FDG+90°+∠FAE=180°， ∴.∠FDG=∠FAE, ∴.△FDG≌△FAE(SAS), ∴.GF=EF,∠GFD=∠EFA,即∠EFA+ ∠GFA=∠GFD+∠GFA=∠DFA=90°， ∴.∠GFE=90°， .GF⊥EF 21.2.3三角形的中位线 1.A在□ABCD中，AD∥BC,AD=BC, ∠AMB=∠CBM..'BM平分∠ABC, .∠ABM=∠CBM,∴.∠ABM=∠AMB, AM=AB=6.AM=2MD..MD=7AM=3, ∴.BC=AD=AM+MD=6+3=9..E,F分 别是BM,CM的中点，∴.EF是△MBC的中位 线EF=BC-号 2.D如图，连接CD,过点C作CE⊥DB,交DB 的延长线于点E,易证得四边形ABEC为平行 四边形，∴.BE=AC=3,CE=AB=4,∴.DE= DB+BE=2+3=5.由勾股定理得，CD= √DB+CE=√52+42=√4I.:M,N分别 为PC,PD的中点，∴.MN为△PCD的中位 线MN=CD=西，即随若点P的运 动，MW的长保持不变，为4T 2 3.BD,E分别为AC和BC的中点，.DE是 △ABC的中位线，DE=2AB.DE=6m, ∴.AB=2DE=12m,∴.A,B两点之间的距离 为12m. 4.B如图，连接AG,取AG的中点P,分别连接 MP,BP,过点P作PQ⊥MB交MB于点Q,则 ∠PQB=∠PQM=90°.AB=BE,∴.B为AE 的中点，BP=2CE=2.:M为FG的中点， PM∥AE,PM=3AF=2,∠PMB= ∠C=30°，PM=PB.PQ⊥MB,∴.BQ= MQ=7BM,PQ=7 PB =1,MQ= √PM2-PQ2=√22-1=√5，.BM=23. F M B 5.CD是边AB的中点，E是边AC的中点， .DE是△ABC的中位线，∴.DE∥BC, ∴.∠BDE=180°-∠B.:∠A=70°，∠C= 60°，∴.∠B=180°-∠A-∠C=50°， ∴.∠BDE=180°-∠B=130 6.B,四边形ABCD为平行四边形，∴.OD= OB-7 BD=1,BC=AD,CD=AB.ABCD 的周长为8，BC+CD=8×号=4.：E为 CD的中点，DB=2CD,0E为△DBC的中 8 位线，0E=方BC,0E+DE=BC+ 2CD=2(BC+CD)=2△D0E的周长为 OE+DE +OD=3. 7.B如图，连接DE,过点E作EF∥BD,交CB 的延长线于点F ·BD和CE分别是两边上的中线， DE=2BC,DE∥BC.EF∥BD,四边 形DEFB是平行四边形，∴.EF=BD=8 EF∥BD,BD⊥CE,∴.EF⊥CE, ÷Sm=2EF.CE=7x6x8=24 四边形DEFB是平行四边形， BF=DB=2BC,BC=子FC, 2 SACB三片SAcr=3×24三1 .CE是△ABC的边AB上的中线， SAABC =2SABCE =2 x16=32. B 8.证明：BE,CD是△ABC的中线， .D,E分别为AB,AC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， DE/BC,DE BC. F,G分别是OB,OC的中点， .FG是△OBC的中位线， Fc∥Bc,G=2BC, .DE∥FG,DE=FG, .四边形DFGE是平行四边形 9.D:E,F分别是AB,CD的中点，G,H分别 是AC,BD的中点，EH∥AD,EH=2AD, GF∥AD,GF=2AD,.EH∥CF,AD=12, GF=6. 10.A:等腰三角形三条中位线的长度之和 为8，.等腰三角形的周长为16.当腰长为4 时，则底边长为16-2×4=8..4+4=8， ∴.不能构成三角形.当底边长为4时，腰长 为7×(16-4)=6.：4+6>6，能构成三 角形.综上，底边长为4. 11.（1)证明：.·AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ∴.∠ADE=∠AED, ∴.AD=AE,∴.AB-AD=AC-AE,即BD=CE. F,G,H分别为BE,DE,BC的中点， ∴.FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的 中位线， FG-BD,FH-7CE, .FG=FH. (2)解：如图，延长FG交AC于点N. C ·FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的 中位线， ∴.AB∥FN,AC∥FH. .FG⊥FH,∴.∠NFH=90°，∴.∠FNC=180°- ∠NFH=90°， ∴.∠A=∠FNC=90°， ∴.当∠A=90时，FG⊥FH. 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 1.C·四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,AC= 9