21.3.3.2 正方形的判定 导学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.3 正方形 第2课时 正方形的判定 教学目标： 1. 理解正方形的概念，掌握正方形与矩形、菱形的关系，能从边、角、对角线等方面归纳正方形的性质和判定方法； 2. 能运用正方形的性质和判定进行简单的计算和证明，提高逻辑推理能力； 3. 巩固对各种特殊平行四边形性质与判定的掌握，培养对知识的综合运用能力. 教学重点：掌握各种特殊平行四边形性质与判定； 教学难点：理解正方形性质与判定的综合应用，以及正方形与矩形、菱形之间的区别与联系． 活动一、复习导入 问题1：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系？ 活动二、探究新知1： 探究1.正方形的判定 思考1：满足什么条件的矩形是正方形？ 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 证一证1： 如图，在矩形ABCD中，AB＝AD． 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC， 又AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 证一证2： 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直． 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC． 又AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝90°． 在△AOB和△AOD中， ∴△AOB≌△AOD． ∴AB＝AD． ∴矩形ABCD是正方形． 思考2：满足什么条件的菱形是正方形？ 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形． 证一证3： 如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°． 求证：菱形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D． 又∠A＝90°，∴∠C＝90°． ∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°． ∴菱形ABCD是正方形． 证一证4： 如图，在菱形ABCD中，AC＝BD． 求证：菱形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， 在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC， ∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA． ∵∠DAB＋∠CBA＝180°， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°． ∴菱形ABCD是正方形． 正方形判定的几条途径： 知识点一（正方形的判定)： 定理1 有一组 邻边相等 的矩形是正方形． 定理2 对角线 互相垂直 的矩形是正方形． 定理3 有一个角是 直角 的菱形是正方形． 定理4 对角线 相等 的菱形是正方形． 定理5 有一组 邻边相等 且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形． 拓展： 定理6 有一组 邻边相等 且 对角线 相等的平行四边形是正方形． 定理7 对角线互相 垂直 且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形． 定理8 对角线互相 垂直 且 相等 的平行四边形是正方形． 定理9 对角线互相 垂直平分 且 相等 的四边形是正方形． 活动三、典例分析： 例1 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC． 求证：四边形CEDF是正方形． 【证明】∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°． 又∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF为矩形． ∵CD平分∠ACB， ∴DF＝DE， ∴四边形CEDF是正方形． 例2（教材P77例题） 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形. 【解析】要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出. 【解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 又AE=BF=CG=DH， ∴EB=FC=GD=HA. 在△AEH和△BFE中， ∴△AEH≌△BFE. 同理可得△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵△AEH≌△BFE， ∴∠2=∠3. 又∠1+∠2=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°. ∴四边形EFGH是正方形. 活动四、随堂检测 随堂练习1 下列命题正确的是（ D ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 随堂练习2 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　D　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 随堂练习3 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件 AB=BC(答案不唯一) ，可得出该四边形是正方形． 随堂练习4 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 ②③或①④ （只填写序号）． 随堂练习5 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N． （1）求证：∠ADB＝∠CDB． （2）若∠ADC＝90〫，求证：四边形PMDN是正方形． 证明：（1）∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SAS）, ∴∠ADB＝∠CDB． （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD＝∠PND＝∠ADC＝90〫． ∴四边形PMDN是矩形． 由（1）知∠ADB＝∠CDB ∴PM＝PN ∴四边形PMDN是正方形． 随堂练习6 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥ BC，DF⊥ AC，垂足分别为 E，F . 求证：四边形 CEDF 是正方形. 证明：∵DE ⊥ BC，DF ⊥ AC， ∴∠DEC = ∠DFC = 90°. 又∠ACB = 90°， ∴四边形 CEDF 是矩形. ∵CD 平分∠ACB，DE ⊥ BC，DF ⊥ AC， ∴CF = CE . ∴矩形 CEDF 是正方形. 随堂练习7 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形 AECF 是菱形， ∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF． ∵DE=BF， ∴OE + DE=OF + BF， ∴DO=BO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 又 AC ⊥ BD， ∴四边形 ABCD 是菱形． ∴∠ADO=CDO ∵∠ADO=45°， ∴∠ADC=2∠ADO=90°． ∴四边形 ABCD 是正方形． 随堂练习8 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC . 利用直角三角形的性质，求∠A，∠B 的度数. 解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 是Rt△ABC 斜边上的中线， ∴CD =AB = AD . ∵AB = 2AC， ∴AC =AB. ∴AC = CD = AD ， ∴△ACD 是等边三角形. ∴∠A = 60°. 又∠ACB = 90°， ∴∠B =∠ACB-∠A ＝30°. 随堂练习9 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M． （1）求证：BE=CM； （2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN. 求证：四边形AEFN是正方形. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°，AB=BC， ∴∠BAE+∠BEA=90°． ∵∠AEF=90°， ∴∠BEA+∠MEF=90°， ∴∠BAE=∠MEF． ∵FM⊥BC， ∴∠M=90° 在△ABE与△EMF中， ∴△ABE≌△EMF(AAS)， ∴AB=EM． ∴BC=EM， ∴BC－EC=EM－EC， 即BE=CM． （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°． 在△ABE与△ADN中， ∴△ABE≌△ADN(SAS)， ∴AE=AN，∠BAE=∠DAN． ∵AE=EF， ∴EF=AN． ∵∠EAN=∠DAN+∠EAD =∠BAE+∠EAD =∠BAD =90°， ∴∠EAN+∠AEF=180°， ∴AN∥EF， ∴四边形AEFN是平行四边形． ∵AE=EF， ∴四边形AEFN是菱形． ∵∠AEF=90°， ∴四边形AEFN是正方形． 随堂练习10 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE = BC， 过点 E 且与 BD 垂直的直线交 CD 于点 F，连接 BF. DE 与 CF相等吗？说一说你的理由. 解：DE = CF. 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠C = 90°，∠BDC = 45°. ∵EF ⊥ BD， ∴∠DEF = ∠BEF = 90°. ∴∠DFE = 90°-∠BDC = 45°. ∴∠BDC = ∠DFE， ∴DE = EF . 在Rt△BEF 和Rt△BCF 中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）. ∴EF = CF， ∴DE = CF. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $第二十一章 四边形 21.3特殊的平行四边形 21.3.3正方形 第2课时正方形的判定 教学目标： 1.理解正方形的概念，掌握正方形与矩形、菱形的关系，能从边、角、对角线 等方面归纳正方形的性质和判定方法； 2.能运用正方形的性质和判定进行简单的计算和证明，提高逻辑推理能力； 3.巩固对各种特殊平行四边形性质与判定的掌握，培养对知识的综合运用能力. 教学重点：掌握各种特殊平行四边形性质与判定； 教学难点：理解正方形性质与判定的综合应用，以及正方形与矩形、菱形之间的 区别与联系 活动一、复习导入 问题1：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系？ 活动二、探究新知1： 探究1.正方形的判定 思考1：满足什么条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形： 对角线互相垂直的矩形是正方形. 证一证1： 如图，在矩形ABCD中，AB=AD 求证：矩形ABCD是正方形， A 证一证2： 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直. 求证：矩形ABCD是正方形. D O B C 思考2：满足什么条件的菱形是正方形？ 其一 正方形 有一个角是直角的菱形是正方形： 对角线相等的菱形是正方形. 证一证3： 如图，在菱形ABCD中，∠A=90°. 求证：菱形ABCD是正方形， D B C 证一证4： 如图，在菱形ABCD中，AC=BD. 求证：菱形ABCD是正方形. D B 正方形判定的几条途径： 个直角， 正方 对角线相等 形 先判定菱形 矩形条件（二选一） 组邻边相等， 正方 对角线垂直 形 先判定矩形 菱形条件（二选一） 平行四 组邻边相等 正方形 边形 内角是直角 知识点一（正方形的判定）： 定理1 有一组 的矩形是正方形， 定理2 对角线 的矩形是正方形. 定理3 有一个角是 的菱形是正方形， 定理4 对角线 的菱形是正方形. 定理5 有一组 且有一个角是」 的平行四边形 是正方形. 拓展： 定理6 有一组 且 相等的平行四边形是正 方形. 定理7 对角线互相 且有一个角是 的平行四边形是正 方形 定理8 对角线互相 且 的平行四边形是正方形. 定理9对角线互相 且 的四边形是正方形， 活动三、典例分析： 例1直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D,DE⊥AC,DF⊥BC. 求证：四边形CEDF是正方形. B D A 例2（教材P77例题）如图，E,F,G,H分别是正方形ABCD四条边上的点， 且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形 A H D 3 B F 活动四、随堂检测 随堂练习1下列命题正确的是( A.四个角都相等的四边形是正方形 B四条边都相等的四边形是正方形 C,对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 随堂练习2如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 B A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 随堂练习3如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条 件 ， 可得出该四边形是正方形， B D 随堂练习4已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC,②∠ABC=90°， ③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，其中错误的是 (只填写序号. D C 随堂练习5如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N. (1)求证：∠ADB=∠CDB, (2)若∠ADC=90°，求证：四边形PMDN是正方形， A M D 随堂练习6如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证：四边形CEDF是正方形 A F可 D E B 随堂练习7如图，四边形AECF是菱形，对角线AC,EF交于点O,点D,B 是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45 。,求证：四边形ABCD是正方形. 随堂练习8在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.利用直角三角形的性质，求 ∠A,∠B的度数， B 随堂练习9如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF,过点 F作FM⊥BC,垂足为M. (1)求证：BE=CM; (2)延长CD至点N,使得DN=BE,连接AN,FN.求证：四边形AEFN是正方形 D B ■ E CM 随堂练习10如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC,过点 E且与BD垂直的直线交CD于点F,连接BF. DE与CF相等吗？说一说你的理由. A D E B C 活动五、课堂总结