20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

○新学期对照学数学八年级下册RJ 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于 区易错提醒 斜边长的平方.反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和 (1)a2+6=c2只是 等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？ 种常用的表达形式，不 图20.2-1给出了确定直角的一种方法： 能机械地认为c一定表 示斜边，在运用勾股定 把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3 理的逆定理时，应先确 个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为 定最长边，而不是直接 套用a2+b2=c2. 边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中 (13) (2)勾股定理的逆定 一个角便是直角 (12) 理不能表述为“当一个 (11) 三角形的斜边长的平方 上述方法意味着，如果围成三角形的三 (10) 等于两条直角边长的平 (9) 边长分别为3,4,5，它们满足关系“3+42= 方和时这个三角形是 (5)(6)(7)(8) 直角三角形”.因为在 52”,那么围成的三角形是直角三角形.一般 图20.2-1 未判定三角形为直角三 地，满足两条边长的平方和等于第三条边长 角形前，不能称最长边 的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 为“斜边”，也不能 称较短的两边为“直 @观察 角边” 画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,它们满 足关系“2.52+6=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长 分别为4cm,7.5cm,8.5cm,再试一试 因方法点拔 判定三角形为直角三角 由上面的尝试，我们猜想： 形的方法： (1)用角判断 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形 ①有一个角是90°的 是直角三角形 三角形是直角三角形； ②两个锐角互余的三角 这个猜想就是勾股定理的逆命题，下面证明这个猜想. 形是直角三角形 如图20.2-2(1)，已知△ABC的三边长分别为a,b,c,满足 (2)用边判断（勾股 定理的逆定理) a2+b2=c2.求证△ABC是直角三角形. 如果三角形的三边长 直接证明△ABC是直角三角形比较困难，回顾已经学过的知识， a,b,c满足a2+b-c2, 那么这个三角形是直 可以作一个两条直角边长分别为a,b的直角三角形，如果能证明△ABC 角三角形 与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形 38 中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 敲黑板多 B 风拓展提升 (1) (2】 图20.2-2 设三角形的三边长分别 如图20.2-2(2)，作一个Rt△A'B'C',使B'C'=a,A'C'=b, 是a,b,c(c是最长 边的长)： ∠C'=90°.根据勾股定理，AB2=B'C2+A'C2=a2+b2.因为a2+b2 (1)若a2+b2=c2,则 c2,所以A'B'=c.在△ABC和△AB'C'中，BC=a=B'C',AC=b=A'C', 这个三角形是直角三角 形，∠C为直角； AB=c=A'B',所以△ABC≌△A'B'C'(SSS).因此∠C=∠C'=90°，即 (2)若a2+b2<c2,则 △ABC是直角三角形. )当定理的逆命题为真命题时 这个三角形是钝角三角 才能叫逆定理 形，∠C为钝角： 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定 (3)若a2+c2,则 理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据， 这个三角形是锐角三 角形 例1@判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： （1)a=8,b=15,c=17; 之最长边 像8,15,17这样， （2)a=14,b=13,c=15. 量清有支要形 能够成为直角三角形三 条边长的三个正整数， 方法点拨 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断 称为勾股数 判断勾股数的方法： 个三角形是不是直角三角形，只要 (1)确定三个数都是 正整数： 判断两条较小边长的平方和是否等 (2)若是，确定出最 于最大边长的平方 大数，并计算最大数的 平方与另外两个较小数 解：(1)因为82+152=64+225=289， 的平方和： 172=289, (3进行比较，若相等， 则是勾股数，否则不是 所以82+152=17 对于例1(2)， 根据勾股定理的逆定理，由线段a,b, 如果这个三角形是 直角三角形，那么 冈拓展提升 c组成的三角形是直角三角形 根据勾股定理应有 常见的勾股数有： (2)因为142+132=196+169=365， a2+b2=c2.事实上， (1)3,4,5 上式不成立.因此， (2)5,12,13 152=225, 这个三角形不是直 (3)6,8,10: 所以142+132≠152 (4)7,24,25 角三角形 (5)8,15,17: 根据勾股定理，由线段a,b,c组成 (6)9,12,15: 的三角形不是直角三角形. (7)9,40,41. 中小学AI教辅引领者丨39 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 练习 可练习答亲 1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： 1.(1)不是.(2)是. (1)a=4,b=5,c=6: △点拔：注意不要默认c是最长边 (3)不是.(4)是 (2)a=2.5,b=0.7,c=2.4; 2.由S,+S2=S,得 1 1 8πAB+8πBG= (3)a=5,b=4,c=3 TAC2,即AB+ 8 (4)a=1,b=2,c=/3 BC=AC2,根据勾 股定理的逆定理，得 2.如图，以△ABC的三边为直径，分别画三个半圆， △MBC是直角三角形 三个半圆的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2=S3, 判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由. (第2题) 利用勾股定理的逆定理，可以解决一些实际问题· 例2②如图20.2-3，港口P位于东西方 图方法点拨 向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮 利用边的关系判定直角三 船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， 角形的步骤： “远航”号每小时航行l6 n mile,“海天” (1)找：找出三角形三 边中的最长边： 号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h (2)算：计算其他两边 后分别位于点Q,R处，且相距30 n mile. 的平方和与最长边的 图20.2-3 平方； 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海 (3)判：若两者相等， 天”号沿什么方向航行？ 则这个三角形是直角三 角形，否则不是 分析：在图20.2-3中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能 求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 解：根据题意， PQ=16×1.5=24, PR=12×1.5=18, 由边长的数量关系， QR=30. 入判定直角三角形 因为242+182=302，即P02+PR2=QR,所以∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海 天”号沿西北方向航行· 40丨中小学A教辅引领者 第二十章勾股定理 可以综合运用勾股定理及其逆定理解决问题， 敲黑板多 例3如图20.2-4，在四边形ABCD中， AB=5,BC=3,AD=号，DC=号.如果 ☒易错提醒 AC⊥BC,判断AC与AD是否也垂直，并说 图20.2-4 (1)勾股定理及其逆 明理由： 定理的题设和结论可 分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是 互换； (2)勾股定理是直角 不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD 三角形的一个性质定 解：因为AC⊥BC, 理，而其逆定理是直角 三角形的一个判定定 所以∠ACB=90°. 理，二者之间的关系也 在Rt△ABC中， 可以用下图表示： 勾股定理 AC2=AB2-BC2=52-32=16. a2+b2=c2 勾股定理 所以AC=4. 的逆定理 在△ACD中， 直角三角形的性质， 形 数 直角三角形的判定 Ac+AD2=4+(等)厂=1，C2=(号)）=19， 所以AC2+AD2=CD2 因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD 练习 1.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地 一练习答案 1.C地在B地的正北 在B地的什么方向？ 方向 0 2.所有可能的钢条组 合有：6,8,10： 10.24,26. 5 km 13km 3.36.提示：先根据勾 B A 12 km 股定理求出AC的 长度，再根据勾股 (第1题) (第3题) 定理的逆定理判断 2.高师傅有5根长度（单位：dm)分别为a=6,b=8,c=10,d= 出△ACD的形状， 最后利用三角形的 24,e=26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架.请你帮高 面积公式求解即可。 师傅找出所有可能的钢条组合 3.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B= 90°.求四边形ABCD的面积 中小学AI教辅引领者丨41 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 6内容 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 实质 由“数”得到“形” 三个正整数 勾股定理 O勾股数 满足a2+b2=c 的逆定理 O应用 判断一个三角形是不是直角三角形 互逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定 互逆定理 理，称这两个定理互为逆定理 课外提升对照练(· 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 20.2勾股定理的逆定理及其应用 一、互逆命题和互逆定理 C.全等三角形的对应角相等 1.有下列命题：①若a>b,则ac>bc;②若 D.若三角形三边长a,b,c(其中a<c,b<c)》 a=1,则√a=a;③同位角相等：④直角 满足a+b2=c2,则该三角形是直角三角形 三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命 4.命题“同旁内角互补”的逆命题 题均为真命题的有 ( 是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 这个逆命题是 (填“真”或“假”) 2.下列定理的逆定理不成立的是 ( 命题 A.全等三角形的对应角相等 二、勾股定理的逆定理 B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个 5.重点题在△ABC中，AB=√2，BC=√5， 端点的距离相等 AC=√3，则 () C.等腰三角形的两个底角相等 A.∠A=90° B.∠B=90° D.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+ C.∠C=90° D.∠A=∠B b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 6.由满足下列条件的线段a,b,c的长为三 3.下列定理中，没有逆定理的是 ( 边长，能组成直角三角形的是( A.直角三角形的两锐角互余 A.a:b:c=2:3:4 B.互为相反数的两数之和为0 B.a=8,b=15,c=17 42丨中小学AI教辅引领者 第二十章勾股定理 C.a=3,b=2,c=5 11.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边 D.a=b=5,c=53 7.如图，每个小正方形的边长为1，则网格中 的长分别为a,6,6如果a=子6=多 c=2, 那么这个三角形是直角三角形 的△ABC是 ( 吗？请说明理由. 恒恒的解答过程如下. 解：这个三角形不是直角三角形.理由 A.锐角三角形 B.钝角三角形 如下： C.直角三角形 D.以上都不对 8.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 a+=()°+(3=c=4, 为a,b,c,且(a+b)(a-b)=2,则() a2+2≠c2, A.∠C为直角B.∠B为直角 ∴.△ABC不是直角三角形， C.∠A为直角D.△ABC不是直角三角形 9.如图，在网格图（每个小方格的边长均为 请问恒恒的解答过程正确吗？若不正确， 请给出正确的解答过程， 1)中，以AB为边作直角三角形ABC,要 求顶点C在格点上，则图中不符合条件的 点是 .CA A.C B.C2 C.C3 D.C 10.如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口O,航 行的速度都是40m/min,甲客轮用15min 到达点A,乙客轮用20min到达点B. 若A,B两点的距离为1000m,甲客轮 沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮 的航行方向是 0 中小学AI教辅引领者|43 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 三、勾股数 16.重点题如图，在四边形ABCD中，∠B= 12.有以下几组数据：①6,8,10：②1.5,2， 90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求 2.5；③32,42,52；④7,24,25； △ACD的面积. ⑤3，√4，√5.其中是勾股数的是 .（填序号)》 13.有下列说法：①因为0.6,0.8,1不是勾 股数，所以以0.6,0.8,1为边长的三角 形不是直角三角形②若a,b,c是勾股数， 且c>b,c>a,则必有a2+b2=c2;③因 17.如图，在△ABC中，∠ADC=90°，若 为以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直 CD=12,AD=16,BC=15. 角三角形，所以0.5,1.2,1.3是勾股数； (1)求AC,BD的长； ④若三个整数a,b,c是直角三角形三 (2)判断△ABC的形状并说明理由. 条边的长，则3a,3b,3c必是勾股数.其 中正确的是 .（填序号) 四、勾股定理及其逆定理的综合应用 14.如图，在△ABC中，D是BC的中点.若 AB=5,AC=13,AD=6,则BC的长为() 五、利用勾股定理的逆定理解决实际问题 18.重点题随着中国科技的不断发展，5G信 号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表 现.如图，一辆汽车沿直线AB方向由点 A.61 B.261 C.13 D.12 A向点B行驶.已知点C为某个5G信号源， 15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2, 且点C到点A和点B的距离分别为60m BC=3,CD=1,∠A=90°，求∠ADC的 和80m,AB=100m,距离信号源中心 度数 50m及50m以内可以接收到5G信号. (1)这辆汽车在由点A向点B行驶的过 程中，能接收到5G信号吗？为什么？ (2)若这辆汽车的速度为7ms,则可以 接收到5G信号的时间有多长？ C 44丨中小学A1教辅引领者 第二十章勾股定理 19.如图，南北方向的领海线PQ以东为领海 20.选材新风向婴儿车某品牌婴儿车如图 区域，以西为公海.某日22时30分， (1)所示，其简化结构示意图如图(2) 某边防反偷渡巡逻艇A发现在其正西方 所示.现测得AB=CD=6dm,BC= 向有一条可疑船只C正向领海区域靠近， 3dm,AD=9dm,其中点B处由一个固 便立即通知正处于领海线PQ上的巡逻艇 定为90°角的零件连接，即∠ABD=90°. B注意其动向.经观测，发现巡逻艇A (1)求BD的长度； (2)根据安全标准，需满足BC⊥CD.通 与可疑船只C之间的距离为l0 n mile, 过计算说明该婴儿车是否符合安全标准. 巡逻艇A,B之间的距离为6 n mile,巡 逻艇B与可疑船只C之间的距离为 8 n mile.若该可疑船只C的航行速度为 12.8 n mile/,则它最早在何时进入领海 区域？ SD (2) B 0 中小学AI教辅引领者|45AD=√AC2-CD2=W52-32=4.'E为AD 的中点AB=BD=)AD=2,△BDE的 面积为2BD·ED=号×3x2=-3. 10.72或36当△ABC的高AD在△ABC内部 时，如图(1).AB=6√10，AC=6√2，AD=6, .BD=√AB2-AD=18,CD=√AC-AD= 6,∴.BC=BD+CD=24,.△ABC的面积为 2BC·A0=7×24x6=72.当△ABC的高 AD在△ABC外部时，如图(2).同理，得 BC=BD-CD=12,.△ABC的面积为)BC· AD=2×12×6=36,综上，△ABC的面积 为72或36. (1) (2) 11.解：AB=10,BD=6,AD=8, .BD2 +AD2=AB2. ∴.∠ADB=90°，∠ADC=90° 设CA=BC=x,则CD=BC-BD=x-6. 在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2,即x2= 82+(x-6)2,解得x=3, 25 nc 12.解：(1)∠B=60°，∠C=45°， ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=75°. (2)在Rt△ADC中，∠C=45°，∴.AD=DC, 由勾股定理，得AD2+CD2=AC2=4, ∴.AD=DC=2. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 1.A①若a>b,则ac>bc,是假命题，它的逆 命题是：若ac>bc,则a>b,是假命题；②若 a=1,则√a=a,是真命题，它的逆命题是：若 √a=a,则a=1,是假命题；③同位角相等，是 假命题，它的逆命题是：相等的角是同位角， 是假命题；④直角三角形的两锐角互余，是真 命题，它的逆命题是：有两个锐角互余的三角 形是直角三角形，是真命题， 2.A对应角相等的两个三角形不一定全等，故 A选项符合题意；与线段两个端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上，正确，故B 选项不符合题意；有两个角相等的三角形是 等腰三角形，正确，故C选项不符合题意；如 果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜 边长为c,那么a2+b2=c2,正确，故D选项不 符合题意 3.C 4.互补的角是同旁内角假 5.AAB2=(√2)2=2，BC2=(√5)2=5， AC2=(5)2=3,.AB2+AC2=BC2,.∠A=90°. 6.B 选项 分析 正误 a:b:c=2:3:4,∴.设a=2k, b=3k,=4k,.a2+b2= A (2k)2+(3k)2=13k2,c2= (4k)2=16k2,.a2+62≠c2, 不能组成直角三角形 a2+b2=82+152=289, B c2=172=289,.a2+b=c2, V .能组成直角三角形 a2+b2=(3)2+22=7, c2=(5)2=5,a2+b2≠c2, ,不能组成直角三角形 .a2+b2=52+52=50,c2= D (53)2=75,a2+b2≠c2, ∴.不能组成直角三角形 7.C8.C 9.D由题图可知，AB2=10,AC=5,BC=5, .AB2=AC+BC,.△ABC1是直角三角形 :AC2=10,AB2=10,BC2=20,.BC2= AC3+AB2,∴.△ABC2是直角三角形.：AB2= 10,AC=20,BC=10,∴.AC=AB2+BC3, .△ABC3是直角三角形.：AC=16,BC4= 18,AB2=10,∴.BC4≠AC+AB2,.△ABC4不 是直角三角形 10.北偏西60°甲客轮航行的路程：40×15= 600(m),乙客轮航行的路程：20×40= 800(m).:6002+8002=10002,∴.∠A0B= 90°.甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， ∴.乙客轮的航行方向是北偏西60°. 11.解：恒恒的解答过程不正确，正确的解答过 程如下 这个三角形是直角三角形.理由如下： 3>2>2 ∴.b是这个三角形的最长边 +-(2+2-=(3}- a2+c2=b2, ·.这个三角形是直角三角形 12.①④62+82=102；72+242=252,6,8， 10,7,24,25都是正整数，∴.6,8,10；7,24,25 是勾股数 13.②④①虽然0.6,0.8,1不是勾股数，但是 0.62+0.82=12,所以以0.6,0.8,1为边长 的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a,b,c是勾股数，且c>b,c>a,则必有 a2+b2=c2,故②说法正确；③因为0.5， 1.2,1.3都不是正整数，所以0.5,1.2,1.3 不是勾股数，故③说法错误；④若三个整数 a,b,c是直角三角形三条边的长，则3a,3b, 3c必是勾股数，故④说法正确. 14.B如图，作AD的延长线，使AD=ED,连 接CE. D是BC的中点，∴.BD=CD.又AD=ED, ∠ADB=∠EDC,∴.△ABD≌△ECD(SAS), ∴.CE=AB=5.又AE=2AD=12,AC=13, .CE2+AE2=AC2,∠E=90°，.CD= √ED2+CE2=√61，.BC=2CD=261. 15.解：连接BD,如图. B 在Rt△BAD中，AB=AD=2, ∴.∠ADB=45. 由勾股定理，得BD=√AD2+AB2=22. 在△BCD中， .DB2+CD2=(2√2)2+12=9=CB2, .△BCD是直角三角形， ∴.∠BDC=90°， ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+90°=135° 16.解：.∠B=90°，AB=3,BC=4,.根据勾股 定理，得AC=√AB2+BC2=5. CD =12,AD =13,..AD2 CD2 AC2, ∴.△ACD为直角三角形，∠ACD=90°， Saa=24C.CD=7×5x12=30 17.解：(1)在Rt△ACD中，∠ADC=90°，CD= 12,AD=16, ∴.由勾股定理，得AC=√JCD+AD2=20. 在Rt△BCD中， .·∠BDC=90°，CD=12,BC=15, ∴.由勾股定理，得BD=√BC2-CD2=9. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： .AD=16,BD=9, ∴.AB=AD+BD=25. .AC=20,BC=15, .AC2+BC2=625=AB2, ∴.△ABC是直角三角形. 18.解：(1)这辆汽车在由点A向点B行驶的过 程中，能接收到5G信号.理由如下： 在△ABC中，AC=60m,BC=80m,AB= 100m, .602+802=1002,即AC2+BC2=AB2, ∴.∠ACB=90°. 如图，过点C作CD⊥AB于点D. C AEDF :Sam=24B.CD=24C·BC, .CD=AC,BC-60×80 AB =48(m) 100 48<50, ∴.这辆汽车在由点A向点B行驶的过程中， 能接收到5G信号. (2)在直线AB上，设点E,F到点C的距离 为50m. 在Rt△CDE中，CD=48m,CE=50m, ∠CDE=90°， .DE=√CE2-CD2=√/502-482=14(m). 同理，可得DF=14m, 则(14+14)÷7=4(s) 答：有4s可以接收到5G信号 19.解：AC=10 n mile,AB=6 n mile,BC= 8 n mile, .AC2 =AB2 +BC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠ABC=90°. .PQ⊥AC, .SMGAB BGAGBD, .6×8=10BD, .∴.BD=4.8 n mile 又.PQ⊥AC,BC=8 n mile, .CD=BC2 BD2 =6.4 n mile ,该可疑船只C的速度为12.8 n mile/h, ∴从C处到D处所的时桐为哈8=05(， 即30min, 故该可疑船只C最早在23时进入领海 区域. 20.解：(1)在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2= 92-62=45, .BD=3√5dm. (2)由(1)知，在Rt△ABD中，BD2=45. 在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45, ∴.BC2+CD2=BD2, ∴.△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°， .BC⊥CD, ∴.该婴儿车符合安全标准 第二十一章 四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 1.B四边形的内角和等于360°. 2.C∠A与∠C互补，∴.∠A+∠C=180°. 在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+ ∠D=360°，∠B=80°，∴.∠D=360°-（∠A+ ∠C)-∠B=360°-180°-80°=100°. 3.C设∠A=x.∠A:∠B:∠C:∠D=1:2: 3:4,∴.∠B=2x,∠C=3x,∠D=4x.又四 边形的内角和等于360°，则x+2x+3x+4x= 360°，解得x=36°，∴.∠C=3×36°=108. 4.D.:∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°， ∠A+∠C=180°，∠B=75°，∴.∠ADC= 360°-（∠A+∠C)-∠B=360°-180°- 75°=105°，∴.∠ADE=180°-∠ADC= 180°-105°=75°.