数学活动——利用勾股定理绘制图案-同步探究学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

课题 数学活动——利用勾股定理绘制图案 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1．能利用勾股定理设计并绘制几何图案（如勾股树、螺旋线等）． 2．体会数学与艺术的结合，提升动手实践能力． 重点 能利用勾股定理确定图案中线段长度，规范绘制出符合要求的图案，体会定理的实践价值． 难点 灵活运用勾股定理解决图案绘制中的线段计算、图形构图问题，兼顾图案的合理性与美观性． 探究过程 导入新课 【引入思考】 问题：请同学们说一说勾股定理的内容？ 数学不只是计算与推理，它还还彰显出数学的“无限”之美． 新知探究 本节课来研究： 本节我们借助勾股定理，画出美丽又奇妙的几何图案． 活动一：探究勾股树的绘制原理 图1形如一棵树，有人称之为“勾股树”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图1中的勾股树，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的图形上多次重复构造相同图形，逐步形成图案. 归纳：勾股树以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学“无限”之美． 活动二：探究螺旋线的绘制原理 图2形如螺旋，有人称之为“勾股螺旋”，也有人把它称之为“螺旋线”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图2中的勾股螺旋，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理，通过在新生成的斜边上继续构造直角三角形，逐步形成螺旋图案． 归纳：勾股螺旋以勾股定理为核心，依托直角三角形的边长关系，通过多次重复构造相似直角三角形，体现数学“递推”与“无限延伸”之美． 活动三：探究勾股阶梯图案的绘制原理 图3形如层层递进的阶梯，我们称之为“勾股阶梯”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图 3 中的勾股阶梯，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的两个小正方形上，多次重复构造相同的直角三角形与正方形，逐步形成阶梯状图案． 归纳：勾股阶梯以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学 “对称” 与 “递推” 之美． 创作：请你尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并向同学分享你的作品及其蕴含的数学秘密． 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图所示：画线段，过点作，且，连接；过点作，且，连接；过点作，且，连接，，如此操作下去，当操作到连接后停止操作，在所画图形中，长度为有理数的所有线段之和的长度值为___________． 3．如图，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆B、C的面积分别是4、5，则半圆A的面积是多少？ 选做题： 4．“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 2．如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中有___________条线段长度为整数． 3．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为多少？ 选做题： 4．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【综合拓展类作业】 5．定义：如图，点，把线段分割成、、，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割． (1)已知、把线段分割成，，，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $