20.1勾股定理及其应用(2)（教学设计）--2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的实际应用，通过《执竿入城》寓言故事与工人运送材料情境导入，衔接已学勾股定理基础，引导学生从实际问题中抽象直角三角形模型，搭建从生活到数学的学习支架。 特色在于情境导入激发兴趣，小组用自制木框与薄纸板动手探究培养几何直观，例题及变式训练提升推理能力和运算能力，方程思想解决秋千问题强化模型观念。帮助学生发展建模与解决问题能力，为教师提供分层教学与实操案例，提升课堂效率。

2026年五原县中小学优秀教学案例大赛 ---八年级下册第20章第1课《勾股定理及其应用（2）》教学设计 课程基本信息 主备人 张俊香 课型 新授课 学科 数学 年级 八年级 学段 八年级下册 版本章节 新人教版第20章 教学目标 经历“实际问题→抽象建模→解决问题→反思拓展”的完整过程，能运用勾股定理解决简单实际与几何问题，会将实际问题抽象为直角三角形模型，体会转化思想，发展几何直观、模型观念、应用意识和推理能力。 教学重难点 重点：运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题. 难点：将实际问题抽象成数学问题，借助直角三角形模型解决实际问题． 学情分析 八年级学生已掌握勾股定理基本内容，能进行简单直角三角形边长计算，具备初步几何观察与代数运算能力，在之前的学习中(如整式运算、图形面积)接触过数形结合思想，为勾股定理的应用奠定了基础。但在复杂情境中识别直角三角形、梳理数量关系的建模能力还较弱，平方根运算、近似值取舍及单位换算时易出现失误。同时，学生抽象思维与逻辑推理仍在发展中，需直观演示与分步引导才能透彻理解复杂问题。 教学准备 教师准备 制作包含动态几何演示的多媒体课件，设计分层练习题和学习工具单 学生准备 直尺、铅笔等绘图工具，分组合作制作模拟教具.组长制作内径10cm宽、20cm长的木框，组员制作30cm长，宽分别为20cm、21cm、22cm、23cm、24cm的薄纸板，为课堂探究做好准备。 教学过程 环节 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或达成目标 环节一 创设情境，导入新课 1.课前组织 （1）教师出示《太平广记》中的寓言故事《执竿入城》，学生结合图片阅读故事。 鲁有执长竿入城门者，初竖执之，不可入；横执之，亦不可入。计无所出。俄有老父至，曰：“吾非圣人，但见事多矣。何不以锯中截而入？”遂依而截之。‌ （2）教师提问：你能帮他在不锯断竹竿的情况下顺利进城吗？ 2.教师利用课件展示工人师傅运送装修材料的图片 现代生活中也有类似的情形，装修师傅把薄木板运上楼时，也需要提前考虑能否顺利进入楼门。现在我们就利用课前做好的教具探究一下薄木板在什么情况下能顺利进入楼门。 3.学生以小组为单位，运用课前做好的教具，探究木板能否通过门框的方法和条件，并思考所关联的数学知识，教师巡视指导。 4.得出结论，引入课题 薄木板进入木框的条件：薄木板的长小于门框的对角线就可以进入。 在上面实际问题的探究与解决中，我们用到了勾股定理进行计算，这节课我们主要就学习运用勾股定理解决实际问题。 1.结合图片阅读寓言故事，思考解决办法。 2.回答问题：顺着城门的方向，水平执竿可以进城。 3.小组合作动手操作，探究薄木板能否通过门框的条件，并做好记录。 4.小组负责人汇报探究结果， 师生共同总结归纳可行性结论。 1.用一个有意思且与本节课内容相关的寓言故事作为课前组织学生的素材，既能起到组织学生安静下来，也能引发思考，使学生进入上课状态。 2.通过小组活动培养几何直观与动手探究能力。将实操体验转化为数学认知，同时培养学生的合作交流能力、语言表达能力和逻辑归纳能力。 环节二 例2学习 1.教师利用课件出示例2，学生根据前面的探究经验，独立解决问题，教师巡视指导。 例2.一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 2.学生讲解思考结果，集体点评 3.教师点拨强调思路和数学格式，引导学生共同总结归纳，利用勾股定理解决实际问题的一般步骤。 1. 学生独立解决问题，在工具单上书写解答过程。 2.一名学生板演，并展讲思路，其他同学进行评价，集体纠错补充。 解：连接AC 在Rt△ABC中，∠ABC=90° ∴AC2=AB2BC2=5 ∴AC≈2.24＞2.2 ∴薄木板能从门框内通过. 3.总结解决 问题的方法，内化提升。 通过实际问题，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，增强数学建模观念。 总结解决问题的方法，内化提升能力 环节三 例3学习 1.教师利用课件出示例3，学生独立阅读，思考条件和问题，教师巡视指导。 例3.如图一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上,此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处,底端位于地面的点B处,点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗? 2.教师引导学生共同分析问题，厘清条件和问题。 问题呈现的方式不是一般的明确形式，经过分析可知要解决这个问题其实就是求出AC的长度。提问学生怎么求出AC的长度。 3.师生共同解决问题，教师 板书示范解题过程. 解:当梯子底端沿OB向外移动 0.8 m时,设梯子的底端由点B 移动到点D,顶端由点A下滑到 点C.可以看出, AC=OA-OC. 在Rt△AOB中,根据勾股定理, OA2=AB2-OB2=2.52-0.72=5.76, ∴ OA=2.4. 在Rt△COD中,根据勾股定理, OC2=CD2-OD2=2.52-(0.7+0.8)2=4, ∴ OC=2. ∴ AC=OA-OC=2.4-2=0.4. ∴ 当梯子底端向外移动0.8 m时,梯子 顶端并不是下滑0.8 m,而是下滑0.4 m. 1.学生独立思考，找出题目条件和要解决的问题。 2.思考并回答老师的问题。 解决本题的问题即计算出梯子D顶端A下滑的距离AC的长度，而AC=OA-OC，从而可得思路为根据勾股定理先计算OA，OC的长度，然后得到AC的长度即可. 3.师生共同完成解答过程。 例3是运用勾股定理解决较综合的实际问题,培养学生从身边的事物中抽象出直角三角形模型，进而运用勾股定理解决问题，培养学生建模观念和计算能力。 环节四 当堂巩固 1.教师利用课件出示变式练习1，学生独立解决问题。 练习1.一架5 m 长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端距墙脚3 m，若梯子顶端下滑1 m，求梯子底端滑动的距离. 2.教师巡视，关注学生能否准确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生的推理格式，对有困难学生给予帮助. 3.集体点评、纠错，总结解题思路。 1.学生独立完成，一名学生板演，其他学生在工具单上完成解题过程。 2.板演学生讲解思路，其他学生点评思路及书写。 3.学生根据点评 修改补充自己的解答过程。 通过与例题相同情境，但条件和问题交换的变式练习，及时训练学生运用勾股定理解决简单实际问题的能力,，加深对定理的理解，规范解题步骤，发展学生的计算能力和模型观念。 环节五 运用勾股定理列方程解决问题 1.教师利用课件出示针对练习2，学生独立思考后小组交流，教师巡视指导。 练习2.如图1是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米，如图2是秋千摆动过程示意图，其中O为秋千的绳索固定点，AC为部分地面平台，绳索OA=OB,BD⊥OA,BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，求绳索OA的长度 . 2.小组交流解题方法，教师倾听指导 3.教师点拔 运用勾股定理解决问题时，若没有足够的条件直接求边长时,可以设未知数，利用勾股定理建立方程解决问题。 1.个别学生代表展讲并板演，其他学生在工具单上完成解题过程。 解：∵BD⊥OA ∴∠BDO=90° 设OA=OB=x米 ∵AD=80 ∴OD=x-80 在Rt△BDO中 OD2+BD2=OB2 ∴（x-80）2+ 1002=x2 解得x=102.5 ∴绳索OA的长度为102.5米. 2.小组内核 对答案，互相解答 疑问。 3.总结思路 使学生明确在解决有关直角三角形的实际问题时,若情况复杂,没有足够的条件直接求边长时,可以设未知数，利用勾股定理建立方程解决问题,从而渗透方程思想. 板书设计/课堂小结 板书设计20. 1勾股定理及其应用（2） 一.例题学习 2.梯子问题：例3 变式练习1： 1.木板进门问题：例2 课堂小结：教师引导学生从多角度总结本节课的收获和疑惑。 1.本节课你有什么收获？ 2.还有什么需要解决的问题？ 教学反思 1.本节课由生活情境引入，有效激发了学生的学习兴趣。在探究环节，学生以小组为单位，通过自制教具开展合作探究，在动手实践中直观感受勾股定理的应用场景，既培养了团队协作能力，也逐步掌握了从实际问题中抽象几何模型、提炼解题关键的方法。 2.教师通过例题讲解，规范了学生的解题步骤，并借助变式练习与巩固训练，帮助学生初步掌握用勾股定理解决实际问题的思路。 3.八年级学生基础差异较大本节课通过设计分层习题、分层作业落实因材施教，有效提升了学生课堂参与度 ( — 2 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $