19.2 二次根式的乘法与除法-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点B 所表示的数为m, .m=-√2+2， ∴.lm+1川+√(m-1)2=lm+1l+lm-11= |-2+2+11+1-√2+2-1|=13-√21+ I1-21=3-√2-(1-√2)=3-√2-1+ √2=2. 16.解：(1)当x=2时，√x+1=√2+1=√5， √(5-x)2=√(5-2)=√32=3， 4-(√4-x)2=4-(√4-2)2=4-(2)2= 4-2=2. ∴.△ABC的周长为√3+3+2=5+√3 (2)根据题意，得x+1>0且4-x≥0， .-1<x≤4，则5-x>0,(√4-x)2= 4-x. .4-(√/4-x)2=4-(4-x)=x>0, .0<x≤4， ∴.△ABC的周长为√x+1+√(5-x)2+ (4-(√4-x)2=x+1+15-xl+4-(4 x)=√x+1+5-x+4-4+x=x+1+5. 17.(1)小亮 提示：a+√4-4a+a2=a+√(2-a)2,化 简√(2-a)2时要分情况， 当2<a时，√(2-a)2=a-2, 当2≥a时，√(2-a)2=2-a, ∴.当a=2026>2时，原式=a+√(2-a)2= a+a-2=2a-2, ∴.小亮的解答过程错误 (2)解：b+2√0-106+25=b+2√(b-5)2= b+21b-51. b=-3,∴.b-5<0,∴.原式=b+2(5-b)= 10-b=10-(-3)=13. 19.2二次根式的乘法与除法 1.C 2.C25×3√/10=6√50=302. 3.D 选项 分析 正误 A 2√2×3√3=66 + B √2x4=⑧ (6)2+3=6+3=9 3 D 4.C-4,√-9，-4×9没意义，故A,D 选项错误；√(-4)×(-9)=√4×√9，故B 选项错误，C选项正确。 5.C√2×(-5)=-√6，-6<2,2× （-2)=-2,-2<2,(-3)×(-2)= √6,6>2. 6.D 选项 分析 正误 A √4×5=4×5=25，原 计算错误 √/(-9)×(-25)=9× B √/25=3×5=15，原计算 错误 C + -√6，原计算错误 √132-122 D √(13+12)×(13-12)= √25=5，原计算正确 7.C 根据二次根式的乘法法则，可得 「x≥0， 11-x≥0， 解得0≤x≤1. 8.26 由表格中的数据规律可知，当输入数 据为8时，输出的数据是√8×√3=√24= 2√6. 9.解：(1)原式=√36×81 =6×9 =54. (2)原式=√144×100 =√/144×√/100 =12×10 =120. (3)原式=之×V36×5 =-7×65 =-35 (4)原式=√9m2·2n =√9m2·2n =3m√2n. 10.解：由题意得，BG=AF. EF-2BGEF-2AF. 又DE⊥AF,.DE垂直平分线段AF, ∴.DF=AD=23, ∴.SE方形B0m=25×25=2×2×√3×3=12. 11.解：(1)由题意得，乙容器的体积V=4× 2×5=410 (2).甲和乙均是体积为V且高为h的长 方体容器， ∴.甲、乙容器的底面积相同 .a2=bc=24, ∴.a=√24=26， ∴.甲容器的侧面积=4ah=4×2√6×√3= 242, 12.B√12÷☐=√6，☐=√12÷6= √/12÷6=√2 13.B 由x-3 x-3 Vx+T Vx+1 和二次根式的除法 法则可得， x+1>0解得x≥3，故x的取值 「x-3≥0， 范围在数轴上的表示如图所示. 03 48立 ∴.m+3≥0,4-m>0, 解得m≥-3，m<4,即-3≤m<4, ∴.选项中符合的m的值只有2. 压一成立，根据 15.0≤x<7“√7-x=7-x 二次根式的除法法则，可得x≥0且7-x> 0,∴.0≤x<7. 1a0于得a 2 17.(1)原式=√6 -2. (2)原式=√2 =8 =2√2. 10x2☑ (3)原式=√5y =√2xy (4)原式= b.b 520a2 b,20a2 =4a2 =21al. 18cs-g-o 万-万-万-万×5=2I 19.解：(10V22523x56 81×12=8T×v25_9×55_155 (2)144 √144 12 4 9x √9x 。9·E_3E (3)W64764厨·F8y (x>0,y>0). 20解：页14，a×经-号m% 3 答：传输带的速度是ms 21.C 22.AA.√5是最简二次根式，符合题意； B.-√20=-25，不是最简二次根式，不 符合题意；C.0.2=√月=，不是最简 1 二次根式，不符合题意：D√ 3,不是 最简二次根式，不符合题意 23.B 选项 分析 正误 √18=32，故没有化为最 A 简二次根式 B √0+3y已经化为最简二 次根式 √？=登，故没有化为最简 1-2 二次根式 √a石=lalB,故没有化为 最简二次根式 24.①④⑤⑥ ①2是最简二次根式：②√m 被开方数中含有分母，故不是最简二次根 式；③√1.5被开方数中含有小数，故不是最 简二次根式；④√x2+y是最简二次根式； ⑤y公-F是最简二次根式：⑥是最简 二次根式：②23兰，放不是最简二次 根式 25.√3a2(答案不唯一) 答案不唯一，如 √3a2=a√3(a为正整数) 26.解：1)原式=√厚= 2)原式=-√受- 3 (3)原式=√42×15=4√15. (4)原式=√4a2(ab+2b)=2a√ab+2b. 27.解：：√45=35，且√45与最简二次根式 √2m-1能合并， .2m-1=5, 解得m=3. 28解1)05/号-√2-v10 3x7--2. ②--9 a -g=--a(a<0. (2)根据题意可知a-1>0, 所以(1-)V=-(a-1, /(a-1)2 a-1 --a-L. 29.解来约方法：v2下-√需-√品0 250=5×50-5×50_mn N100 10 10 -10 恒恒的方法：√2.5=√25×0.1=5√0.1= 品源 30.(1)1原式=3××1 3 x1x)=4=2. (2)2原式=λ√16×2×2 31.解：(1)原式=√后号-V 63 7×2×323√14 W22 2 2)原式=日6×46÷√月 26×4×63列÷（号×26）=26× 号3÷6=（分×号引×v6x86 (分×子×3到×5=5， (3)原式=[房×(-)×引· (瓜·√8=() 1 b Va8=-b匠.尽硒=-6· ab√ab=-a√ab. (4)由题意可知，12ab≥0,6b≥0， .a≥0，b≥0， 原赋=-号×3p山⑥=-2v后 √0·√2a=-12ab√2a 19.3二次根式的加法与减法 1.DA.a=-3时，√a无意义，不符合题意； B.当a=1时，WT=1,与3的被开方数不同， 不能合并，不符合题意；C.当a=6时，√6与 √3的被开方数不同，不能合并，不符合题意； D.当a=12时，√12=23，与√5的被开方数 相同，可以合并，符合题意 2.BA.√⑧=2√2，可以与√2合并，不符合题意； B.√12=23，√18=3√2，不可以合并，符合 题意；C.√24=2√6，√54=3√6，可以合并， 不符合题意：D.√45=3√5，√/20=25，可以 合并，不符合题意。 .D1瓜，-画，5-画都 √/ab-ab’V4=2’Wa 能与√ab合并，选项A,B,C不符合题意； √ab2=ab,不能与√ab合并，选项D符合 题意 4.(1)40.75 (2)3V80,70.2 5.解：：最简二次根式-√2a-3与9a+1可 以合并， ∴.b=2,2a-3=a+1, 解得b=2,a=4, ∴.-a°=-42=-16. 6.解：因为A=√3x-1,B=3√x+3为最简二 次根式，且A+B=C, 所以3x-1=x+3,解得x=2. 因为A=3x-1,B=3x+3, 所以A=√5，B=35, 则A+B=4√5=√80. 因为A+B=C,C=7x+6y, 所以7x+6y=80,即14+6y=80, 解得y=11. 所以原式=√2×11-22=√/18=3√2. 7.AA.√⑧-√2=2√2-√2=√2，故选项A符 合题意；B.√2与√3的被开方数不同，不能合 并，故选项B不符合题意；C.4√3-4√3=0， 故选项C不符合题意；D.3与2√2不能合并， 故选项D不符合题意. 8.B7+√3-28=√7+37-27=27= √/28..√25<√28<√36，.√7+63-√28 的值在5和6之间， 9.解：(1)原式=7+27=37. (2)原式=4√x+8√x=12√x. (3)原式=125-9×月+65=125-33+ 65=153. (4)原式=√48+/20+√12-√5=43+ 25+23-W5=4V3+23+2W5-5= 65+√5. 10.C 11.D正方形格子中横向、纵向及对角线方 向上的实数相乘的结果都相等，其值为√2× √10×5，√2=5×2×√2×√10=10√10， A=10D=25,B=100=1,C= 5×2 10×√/10 10=2,D=100=5,A+B+ 5×√10 10×2 C+D=2V5+1+2+V5=3+35.Q新学期对照学数学八年级下册RJ 19.2二次根式的乘法与除法 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习 二次根式的运算.根据算术平方根的意义，当α取某个非负实数时， 敲黑板® Jā也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算. 先来研究二次根式的乘法 可探究答案 可探究 (1)6:6. 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (2)20:20 (3)42；42 (1)4×9= J4×9= ； (2)16×25= /16×25= (3)36×49= /36×49= 银泡，二次程式的手法法则是今女★是杂会受 Ja·6=ab(a≥0，b≥0) >此法则成立的前提条件 a,b既可以是鬟，也可以是代戴式，但必 须满足a≥0，b≥0 网拓展提升 例1计算： (1)乘法交换律和结 合律以及乘法公式（平 (1)3×5; 1 (2)3×27; (3)层× 方差公式和完全平方公 解： 式)在二次根式的乘法 (1)3×5=3×5=15; 运算中仍然适用； (2)二次根式相乘的 (2)×27=兮×27=5=3 结果不一定是二次根式 把a·b=ab(a≥0，b≥0)反过来，就得到 ab=a·b(a≥0，b≥0）， 注意前提条件 积的算术平方根等于积中各因戴或因式的算术平方根的积 利用它可以进行二次根式的化简· 二次根式的乘法法则的推广 (1)a.b.vc=√abc(a≥0，b≥0，c≥0)； (2)aNb·c√d=acbd(b≥0，d≥0)，即当根号前面有因裁时，可 类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将因慧之积作为因裁，被开方数之积 作为被开方裁 8 |中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 例2化简： (2)4a2b0 敲黑板 (1)16×81; 被开方数4a2b3 解：（1)16×81=J16×/81=4×9=36: 含有偶数次因数4 因方法点拨 (2)4a=4··丽 （4=22)和因式a2, 化简二次根式的方法： b2,它们是开得尽平方 (1)当被开方数是单 =2·a·0·b 的因数和因式，被开 个数字或多个因数（或 =2aF·6 因式的外移 方后可以移到根号外. 因式)的积时，将能化 为平方形式的部分改写 2ab /b 后，再开平方： 拓展：将根号外面的非负因式平方后移到根号里面，叫作因式的内移，若根号 (2)当被开方数是和 (或差)的形式时，需 外的因式是负数，内移后，要将负号留在根号外 先将其合并为单个式子 例3⊙计算： 或因式分解，再进行 化简； 1 (1)14×7; (2)3J5×210: (3)3x·3y· (3)若积中的因数（或 因式)不是非负数，应 解：(1)/14×万=14×7=7×2=7×2=72； 先将其化为非负数，再 运用公式化简. (2)35×2/10=3×2×5×10=6/52×2 =6F×2=6x52 =302; (3)3x·写对=3x写= =R·万 =xJy. 。练习答泉 凸练习 1.(1)10. 1.计算： (2)6. (3)25 (1)2×J5; (2)3×12; (4)2. 2.(1)63 (326× (4w288×历 (2)2N. (3)4bevac 2.化简： 3.45. (1)49×81; (2)4y;(3)16abc 3.一个长方形的长和宽分别是10和22，求这个长方形的面积 ①在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数；根号下含有字 母的二次根式的运算都是选学内容. 中小学AN教辅引领者丨 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 再来研究二次根式的除法· ?探究 。探究答案 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)2.2 353 4 4 16 16 (2)4.4 J25 55 (3)6.6 (3)36 36 7；7 49 ’49= 般地，二次根式的除法法则是 注意这里b>0, 因为b=0时分母 (a≥0，b>0). 为0，式子无意义 )两个二次根式相除，把被开 方戴相除，根指数不变 ☑易错提醒 例4②计算： (1)二次根式的除法 24 法则中的a,b既可以 (1) (2层÷辰 是数，也可以是代数式： (2)在二次根式的计 解： 4=8=4x2=22; 算中，最后的结果中被 开方数应不含能开得尽 平方的因数或因式，且 (2)厚÷辰-层8-×18=3x9=3. 被开方数不含分母，同 时分母中不含二次根 把后-层(a=0,6>0)反过来，就得到 式； (3)被开方数若是带 a (a≥0，b>0), 分数，应先将其化为假 商的算术平方根等于被除式的算术 分数再计算. 平方根与除式的算术平方根的商 利用它可以进行二次根式的化简 例59化简： (2) 3 33 解：(1)100=10=10 例6设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=10, b=3,求a. 二次根式 解：因为S=ab,所以 化简的结果中 a==0- 10 10x3= 30-30-30 被开方数不含 Γ633 3×3 323 分母 10|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 8练习 敲黑板国多 1.计算 零练习答泉 (1)18÷2; (2) L.(1)3.(2)25 (3)45 (3)2N5.(4)2a b 20 4 20a7 21)5.(29 6 2.化简： 4B (1 (2) (3) (3) 16b 5a J25a2 3.计算 3.(1)0 字母默认表示正数 )亮 (2)2a÷6a (2)5 例4、例5、例6中各小题的最后结果是22,33,3，正 10x 30,观察这些式子中的二次根式，可以发现它们有如下两个特点： 网拓展提升 分母有理化的方法是 (1)被开方数不含分母： 根据分式的基本性质， 不是最简二次 (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式·根式< 将分子和分母都乘分 母的有理化因式（两个 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 含有二次根式的代数 式相乘，如果它们的 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根 积不含二次根式，就 说这两个代数式互为 式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式 有理化因式)，化去分 母中的根号，分母的 有理化因式不唯一， 例7计算： 但以运算较简便为宜。 )得 2)漂： 3)是 解：1)解法1得=停=爱厚雪 二 5 解法2：得-得雪 5 在解法2中， 3 (2)32-32-32-2 27=3x3=3×/5=3 5×N5 5xV5, 这样变形是为 2×3 了使分母中不含二次根式 3×3 6 中小学AN教辅引领者|11 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板虽 (3) 8=8·2a-4a_2@ 2a2a·2a2aa 在二次根式的化简中，要注意以下三点： (1)被开方数是带分数的要先化为假分数； (2)被开方数是小数的要先化为分数： (3)被开方裁是多项式且能进行因式分解的要先进行因式分解 现在来看本章（教材)引言中的问题. 如果两个广播电视塔的高分别是h,km,h2km,那么它们的传 播半径之比是西 这个式子还可以化简： 2h-2R·五-= 2Rh2 J2Rh2J2R·Jh2Jh2 历·=hh.可以看出，这个比与地球半径无关.这样，只要知道 Th2h2 h2 h1,h2,就可以求出比值 把分母的根号化去的过程称为分母有理化，分母有理化的方法： (1)Ja=Ja.B Jab √6√b.6b (a≥0，b>0）: (2)通过美似分式中的“约分”进行分号有理化，和b bB-=avB (b>0) 由此你能回答本章（教材）引言中开始提出的问题吗？ 传播半径r不会增加到 凸练习 相应的倍数 。练习答案 1.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： 1.(1)45 (2)210 (1)32; (2)J40; (3)J24×75; (3)30√ (4)1.5; 5): (6)2 16b2c (4)6 2 5)6 2.计算： (6)4bC )方 2漂 (3)3元 5n (4) 2xy a 2)5.2) 2 3.一个长方体的体积V=43,高h=32,求它的底面积S. 5 3)5n.(4)2x 3 3.26 3 12|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 脉络梳理（◆ 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 法则：√a√b=√ab(a≥0，b≥0) 0乘法 逆用：√ab=√a√b(a≥0，b≥0) 法则： a 二次根式的 a≥0，b>0) 乘法与除法 O除法 逆用： 回 Vb√b (a≥0，b>0) (1)被开方数不含分母 最简二次根式 (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式 @ 课外提升对照练⊕ 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 重点题讲解 @扫码批改 知识对照19.2二次根式的乘法与除法 一、二次根式的乘法 4.下列运算正确的是 1.计算：√3x2= A.V-4)×(-9)=√-4x√-9 A.6 B.√-4)x(-9)=-V4xV9 B.5 C.V-4)×(-9)=V4×V9 C.6 D.V-4)×(-9)=V-4x×9 D.5 5.从√2，-3，-√2这三个实数中任选两 2.计算：2√5×3V10= 数相乘大于2的是 A.6V15 A.√2×(-V3) B.√2×(-√2) B.6√30 C.(-√3)×(-2)D.没有 C.30w2 二、积的算术平方根 D.30W5 6.下列计算正确的是 3.下列各式计算正确的是 A.V4×5=4V5 A.22×3V5=6√3 B.V(-9)×(-25)=√9×V-25=(-3)×(-5) B.√2x√4=V6 =15 C.(6)2+3=36 及店 6 D.V132-122=√13+12)×(13-12)=5 中小学AN教辅引领者丨13 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 7.要使等式√-=√-x成立，则实 10.选材新风向赵爽弦图由四个全等的直 数x的取值范围是 角三角形拼成的“赵爽弦图”如图所示， A.x≤0 得到正方形ABCD与正方形EFGH,连 B.x≥0 接DF.若EF=BG,DF=25,求正 C.0≤x≤1 D.x≥1 方形ABCD的面积. 8.小王利用计算机设计了一个程序，输入和 输出的数据如下表： 输入 1 2 3 4 … 输出 5 √6 3 2V5 那么当输入数据为8时，输出的数据是 9.化简： (1)√36×81； 11.如图，甲和乙均是体积为V且高为h的长 方体容器，甲容器底面是边长为α的正方 形，乙容器底面是长为b,宽为c(c≠b) 的长方形 (2)V(-144)×(-100); h a 甲 (1)若b=4,c=V2,h=V5,求乙容 器的体积V; (2)若bc=24,h=√3，求甲容器的侧 面积. (4)V18m2n(m>0,n>0). 14|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 三、二次根式的除法 四、商的算术平方根的应用 12.若√2÷口=√6，则口中的数是( 18.化简，25等于 A.2 B.√5 4 C.3 D.6√2 2 B.51 13.使等式-3 x-3 √r+iVx 成立的x的取值范 D.+V101 2 围在数轴上可表示为 19.化简： A. -10 B.0 3 7 (1) 81×125 (2) 144 C.-103 D. 14.若4-m m+3 m+3 成立，则m的值可以 √4-m 是 (3) A.-4 B.2 /642x>0,y>0 9x C.4 D.5 15.能使等式 成立的x的取 V7-x√7-x 值范围是 16.中考新角度新定义对于任意两个数 a,b(a>b),定义一种新运算“⊕”： 20.在一条传输带上，有一件物品随传输带 a⊕b= a+b .如3©2= V3+2 =5, 在14√2s的时间内匀速前进了V72m, √a-b V3-2 传输带与物体之间没有相对滑动，求传 计算12⊕4 输带的速度 17.计算： (1) 6 (2)16 √2 (3) 10x2y2 (4) b b ; 5xy V20a2 中小学AN教辅引领者|15 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 五、最简二次根式 (3)V240: 21.将√⑧化为最简二次根式是 A.V⑧ B.4 C.2W2 D.√2 22.重点题下列二次根式中，是最简二次根 (4)V√4a3b+8a2(a≥0，b≥0). 式的是 A.√3 B.-V20 C.√0.2 27.若√45与最简二次根式√2m-1能合并， 23.下列各式中，已化为最简二次根式的是 求m的值 ( A.√18 B.V2+3y2 ay D.a'b 24.下列二次根式中，是最简二次根式的是 (填序号) 28现察式子：。 ③√1.5； 仿照上面的方法解决下列 ④x2+y2;⑤Va2-b2; 问题： (1)化简： ⑥ 3；⑦3 25.中考新角度发散性试题请写出一个二 次根式，使其化简后结果为a√5(a为正 整数)，这个二次根式可以是 2把- 中根号外的因式移到 26.把下列各式化成最简二次根式： 根号内，求化简的结果。 (1)V1.25; (2) 5 16|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 29.阅读下面材料： 31.重点题计算： 老师在复习“二次根式”时，在黑板上 写出下面一道题： (1)4÷6× 27 已知a=√7，b=√70，用含a,b的代数 式表示√4.9 荣荣、恒恒两名同学跑上讲台，写了如 下两种解法 荣荣：√4.9= 49 49×10 490 V10 V10×10 V100 √7×70 √7×√70 ab 10 10 10 相：9-90i-7-7品 隔德8 请按上述两种方法解答：已知m=√5， n=√50，用含m,n的式子表示√2.5. 3)2瓜.(b)÷3月 (a>0,b>0): (43a12ah.(-号）. 六、二次根式的乘除混合运算 30计第：1)35×方 (2)i6÷2x及 中小学AN教辅引领者|17