19.1 二次根式及其性质-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学八年级下册RJ 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板 整式和分式都可以表示一些问题中的数量和数量关系.在学习了 算术平方根的概念后，我们还可以用含有根号的式子表示数量和数量关 系.例如，本章（教材）引言中广播电视节目信号的传播半径r可以表示 为2Rh. 再来看一些例子. 同思考答亲 思孝 (1)65. 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (2)Va2+1 （1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的 宽为 m. （2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长 为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s) 与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t子.如果用含 有h的式子表示t,那么t为 上面问题的结果分别是65，a+1, coccececcccccccccccccccecececccee 在二次根式a中， 停，它们表示一些正数的算术平方根。一 为什么a不能是负数？ 般地，我们把形如a（a≥0)的式子叫作 …>被开方数 个正鬟有两个平方根；0的平方 二次根式(quadraticradical)）,二次根式是根为0：在实装范国内，负鬟凌有 平方根。因此，在实数范围内开平 代数式. “厂”的根指数是2，一般省略不写 方时，a只能是正慧或0 例1@当x满足什么条件时，x-2在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，x-2在实数范围内有意义 使二次根式有意义的条件：在二次根式a中，要求字母口女须满足条件 a≥0，即被开方戴是非负裁，所以当a≥0时，二次根式a有意义，当a<0时， 二次根式a无意义 2|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 刘思考 敲黑板国国 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？呢？ 一思考答亲 x为任意实数；x≥0. 凸练习 一练习答案 1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它 1.33 cm.23 cm. 2(1)a≥1. 的长、宽各应取多少？ (2)a≤5 (3)a为任意实数。 2.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 3.2 (1)Ja-1; (2)5-a; (3)2a2+1. 3.当a=5时， a-1 2 的值是 下面研究二次根式的性质· 我们知道，当a>0时，a表示a的算术平方根，因此a>0: 当a=0时，a表示0的算术平方根，因此a=0.这就是说， a≥0(a≥0). 一个非负数的算术 平方根是非负裁 二次根式的双重非负性 可探究 一探究答亲 根据算术平方根的意义填空： 0s:0 (3=；05=一：(/)=：0 3是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，3是一个平方 等于3的非负数.因此，(3)2=3. 同理，0.5， 0分别是0.5， 了，0的算术平方根.因此， (0.5)2=0.5, (0)2=0 一般地， ☑易错提醒 对于公式a2=a (a≥0)，无论是正用， (a)2=a(a≥0). 还是逆用，都要注意前 」一个非负裁的算术平方根的平 提条件“a≥0” 方等于它本身 中小学A教辅引领者3 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 例2@计算： 例2(2) (1)(1.5)2: (2)(25)2 中25表示 2×V5,本题 解：（1)(1.5)2=1.5； 用到了(ab)2= ab这个性质. (2)(2/5)2=22×（5)2=4×5=20 形如ba(a≥0)的式子也是二次根式，b与a是相乘的关系，要注 意当b是假分鬟时，不能写成带分数，例如， 33不能写成225 。探究答泉 201:0 可探究 填空 根据算术平方根的意义，可以得到 2=2:0.=0.1 =号；=0 一般地， 一思考答菜 不成立 a2=a(a≥0）. a(a>0), a=ld=0(a=0), 还思考 -a(a<0), 当a为任意实数时，a都有意义·如果上式中的a为负实数，那 即任意一·个实数的平 么上式还成立吗？为什么？ 方的算术平方根等于 这个实数的绝对值 例3化简： (1)16; (2)-5)2. 解： (1)16=4=4; (2)-5)7=5=5. 零练习答案 马练习 1.(1)3.(2)18. 2.(1)0.3. 1.计算 (2)7 (1)(3)2: (2)(32)2. (3)-m (4)10 2.化简： (1)0.32; (2): (3)--m)7; (4)102. 4|中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 脉络梳理（◆ 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 概念 一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式 被开方裁为非负数 次根式 及其性质 Va≥0(a≥0) 口性质 (a)2=a(a≥0) a(a>0). Va-lal= 0(a=0). -a(a<0) 课外提升对照练（◆ 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照19.1二次根式 一、二次根式的概念 5.已知x,y为实数，且满足y=√x-3+ 1.有下列各式：①万；②√5；③√0： √3-x+2,则x的值为 ④V-3-x2;⑤Va2+9;⑥2m.其中是 A.5 B.6 二次根式的有 ( C.8 D.9 A.2个 B.3个 6.重点题当x满足什么条件时，下列各式在 C.4个 D.5个 实数范围内有意义？ 二、二次根式有意义的条件 (1)V2x-1; 2.重点题若√2+x在实数范围内有意义， 则x的取值范围在数轴上表示正确的是 (2)√2-x; ( A. 0 B.-2 0 (3) c 0 D.2 0 3.当x=1时，二次根式V3x+1的值为 (4)1+x2 1 一在实数范围内无意义，则实数x 的取值范围是 中小学AN教辅引领者丨5 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 三、二次根式的性质 (3)(-5)2; (4)(5月： 7.化简( 的结果是 c D时 8.化简V(-2)2的结果是 (5)√7； (6)√(-3)2； A.-2 B.2 e D.4 9.下列二次根式中，化简结果为-5的是 (7)V1-22;(8)V5-2)2. A.V-5) B.(-V5)2 C.-5 D.5 10.若√(2a-32=3-2a,则a的取值范围是 A.a≥3 13.若1，a,3是三角形的三边长，化简 B.a>3 (√a-2)2-√a2-8a+16. c 3 D.a 11.已知实数a,b,a<0,b>0,化简√a+ (√b)2的结果是 ( A.-2a+b B.2a-b C.b+a D.b-a 14.若实数a,b在数轴上对应的点的位置如 12.计算： 图所示，化简V(a-b)2-(b-a-2). at. (2)(45)2; 6丨中小学AI教辅引领者 第十九章二次根式 15.重点题如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向 17.先化简，再求值：a+V2-a)2=a+ 右爬了2个单位长度到达点B,点A表 2-a=2,其中a=2026 示-√2，设点B所表示的数为m.求 下面是小亮和小悦的解答过程： m+1+V(m-1的值。 小亮： 解：原式=a+V2-a)2=a+2-a, 3210123 当a=2026时，原式=2. 小悦： 解：原式=a+V2-a2=a+2-d, 当a=2026时，2-a<0, ∴.原式=a+a-2=2a-2=4050 (1)上述解答过程中， 的解法是错 误的； (2)先化简，再求值： b+2√b2-10b+25,其中b=-3. 16.中考新角度阅读理解)【阅读理解】阅读 下面的解题过程，体会如何发现隐含条 件，并回答问题： 化简：（V1-3x)2-1- 解：隐含条件1-3x20,解得x≤7 .原式=(1-3x)-(1-x)=-2x. 【启发应用】已知△ABC三条边的长度分 别是√x+1,VG-x2,4-(W4-x2. 记△ABC的周长为C△BC: (1)若x=2,求△ABC的周长； (2)请用含x的代数式表示△ABC的周 长（结果要求化简）. 中小学AN教辅引领者丨7知识对照参考答案 第十九章二次根式 (4)因为无论x取什么实数，x2≥0都成立，所 以x2+1>0, 19.1二次根式及其性质 所以x为任意实数时，√1+x都有意义， 1.B①7是二次根式；②√-5中的被开方数 7.C8.B 是负数，不是二次根式；③√10是二次根式； 9.C√(-5)2=5，(-√5)2=5，-√5= ④因为-3-x2<0,所以√-3-x2中的被开 -5,√52=5. 方数是负数，不是二次根式；⑤因为a2+9> 10.D√(2a-3)7=3-2a,.3-2a≥0，解 0,所以√a+9中的被开方数是正数，是二次 根式；⑥2m不是二次根式. 得a≤子 2.D:二次根式√2+x在实数范围内有意 11.Da<0,b>0, 义，.2+x≥0，解得x≥-2，表示在数轴上如 .√=lal=-a,(b)2=b, 图所示。 .√a+(b)2=-a+b=b-a -2 0 12解，a√得°-号 3 3.2将x=1代入√/3x+1,得√/3×1+1= √/3+1=√4=2. (2)(43)2=42×(3)2=16×3=48. 4.x≤3 :1一在实数范围内无意义，x (3)(-5)2=3. √x-3 3≤0，解得x≤3. 5.Dx,y满足y=√x-3+3-x+2, (5)√=171=7. 根据二次根式有意义的条件可得 (6)√（-3)7=1-31=3. [-320解得x=3,y=V-3+3-+ (7)√(1-2)2=11-21=2-1. 3-x≥0， 2=2,.x=32=9 (8)W(5-2)2=15-21=5-2. 13.解：.1，a,3是三角形的三边长， 6.解：(1)由2x-1≥0，得x≥2， ∴.3-1<a<1+3,即2<a<4, 所以当x≥2时，V2x-I在实数范围内有 (a-2)2-√a2-8a+16=a-2- 意义 /(a-4)2=a-2-|a-41=a-2-(4 a）=a-2-4+a=2a-6. (2)由2-x≥0，得x≤2， 14.解：由实数a,b在数轴上的位置， 所以当x≤2时，√2-x在实数范围内有 可得-3<a<-2,0<b<1, 意义 ∴.a-b<0, (3)由≥0且x0,得x>0, ∴.√(a-b)2-(b-a-2)=-(a-b)-(b- 所以当>0时，：在实数范围内有意义 a-2)=-a+b-b+a+2=2. 15.解：点A表示-√2，且一只蚂蚁从点A沿 数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点B3.D 所表示的数为m, 选项 分析 正误 ∴.m=-√2+2， A 22×35=6√6 + ∴.lm+1|+√(m-1)2=lm+1|+lm-1l= B 2×4=√⑧ 1-2+2+11+1-√2+2-11=13-√21+ C (V6)2+3=6+3=9 I1-21=3-2-(1-√2)=3-2-1+ 2=2. X D 16.解：(1)当x=2时，√x+1=√/2+1=3， √(5-x)=√(5-2)2=√32=3， 4-(√4-x)2=4-(√4-2)2=4-(2)2= 4.C√-4，√-9，√/-4×9没意义，故A,D 4-2=2. 选项错误；√(-4)×(-9)=√4×√9，故B 选项错误，C选项正确， ∴.△ABC的周长为√3+3+2=5+√3， (2)根据题意，得x+1>0且4-x≥0， 5.C√2×(-3)=-√6，-6<2，√2× ∴.-1<x≤4，则5-x>0,(√4-x)2= (-2)=-2,-2<2,(-√3)×(-√2)= 4-x. √6，√6>2 6.D 4-（√4-x)2=4-(4-x)=x>0, ∴.0<x≤4， 选项 分析 正误 .△ABC的周长为Vx+I+√(5-x)7+ √4×5=4×V5=25,原 A (4-(√4-x)2=√x+1+15-xl+4-(4- 计算错误 x)=√x+1+5-x+4-4+x=x+1+5. √(-9)×(-25)=W9× 17.(1)小亮 B √25=3×5=15，原计算 提示：a+√4-4a+a2=a+√(2-a)2,化 错误 简√(2-a)时要分情况， 当2<a时，√(2-a)2=a-2, C -√6，原计算错误 当2≥a时，√(2-a)2=2-a, .当a=2026>2时，原式=a+√(2-a)2= √132-122 a+a-2=2a-2, D √(13+12)×(13-12) ∴.小亮的解答过程错误 √25=5，原计算正确 (2)解：b+2√02-106+25=b+2√(b-5)2= 7.C 根据二次根式的乘法法则，可得 b+21b-51. 「x≥0， .b=-3,∴.b-5<0,.原式=b+2(5-b)= 11-x≥0， 解得0≤x≤1. 10-b=10-(-3)=13. 8.26 由表格中的数据规律可知，当输入数 19.2二次根式的乘法与除法 据为8时，输出的数据是√8×√3=√24= 1.C 2√6. 2.C25×3√/10=6√50=302 9.解：(1)原式=√36×√81 2