专题16.4 命题与证明（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本初中数学讲义聚焦“命题与证明”核心知识点，系统梳理命题的概念、结构（条件与结论）、真假判断、互逆命题及证明的基本步骤，搭建从识别命题到规范推理的学习支架，为后续几何证明奠定基础。 资料通过“即学即练”即时巩固、“典例+变式”分层训练，强化学生推理意识与逻辑思维，举反例判断假命题环节培养创新意识。多样化练习题助力学生用数学语言表达推理过程，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升几何证明能力。

专题16.4 命题与证明 教学目标 1. 理解命题、真命题、假命题的概念，能准确识别命题，区分命题的条件（题设）和结论，会将命题改写成 “如果……，那么……” 的形式。 2.了解互逆命题的概念，能识别两个命题是否为互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题。 3. 理解证明的含义，掌握证明的基本步骤. 教学重难点 1.重点 命题的概念、结构（条件与结论），真假命题的判断; 互逆命题的识别与简单逆命题的书写;证明的基本步骤与简单命题的规范证明（含举反例判定假命题） 2.难点 几何证明的逻辑性与严谨性：避免跳跃推理、循环论证，做到每一步推理都有依据 知识点01 命题 1.命题的概念 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作_______. 判断一句话是不是命题，关键是看这句话有无进行判断.如：“同角的余角相等”是命题，因为它对两个角是否相等做出了判断；再比如“互为相反数的绝对值相等吗？”这句话是个疑问句，不是命题，因为它没有对两个数是否相等做出判断. 易错点：假命题也是命题. 【即学即练】 下列句子不是命题的是（ ） A.对顶角相等 B.内错角相等，两条直线平行 C.如果a²=b²,那么a=b D.画∠AOB的平分线 2.命题的真假 正确的命题叫作_______，错误的命题叫作_______. 上述即学即练中，选项A、B都是真命题；选项C是假命题. 3.条件和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是_______，用“那么”开始的部分是_______. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 【即学即练】 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论. （1）两直线平行，内错角相等 （2）对顶角相等 4.互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作______________. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的______________. 易错点：原命题是真命题，逆命题不一定是真命题. 【即学即练】 命题“对顶角相等”的逆命题是___________________________ 知识点02 证明 1. 证明一个命题为真，先明确_______、_______，再_______.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 2. 在初中平面几何中，证明通常遵循的步骤： （1）根据题意画出示意图； （2）根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”； （3）写出由条件推出结论的完整过程. 3. 判断一个命题为假命题，只需要举一个反例即可. 【即学即练】 1. 求证：两直线平行，内错角的平分线互相平行. 2. 判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？ 题型01 命题的概念 【典例1】下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【变式1】下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作线段的垂直平分线 C．若，则 D．同角的补角相等 【变式2】下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【变式3】下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 【变式4】“相等的角是对顶角”是命题． （判断对错） 题型02 判断命题的真假 【典例1】命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【变式1】给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 【变式2】下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【变式3】“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是 ． 【变式4】下列命题的逆命题是假命题的有 ．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 题型03 命题的条件和结论 【典例1】把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 【变式1】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【变式2】命题“等角的补角相等”的条件是 ． 【变式3】把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【变式4】把命题“平行于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 题型04 互逆命题 【典例1】在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线. 【变式1】命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【变式2】命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的逆命题是 ． 【变式3】命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【变式4】命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 题型05 进行简单的推理证明 【典例1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【变式1】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并进行证明． 【变式2】证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 请将下列命题的证明过程补充完整，并进行证明. 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【变式3】如图，，与互为补角．求证：． 【变式4】如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 题型06 举反例说明一个命题是假命题 【典例1】用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． 【变式3】判断命题“已知三条直线a,b,c,如果a⊥b,b⊥c，那么a⊥c”是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． 【变式4】判断命题“同位角相等”是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．同旁内角互补 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 B．直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．夹角为90的两条直线互相垂直 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．同(等)角的余角相等 4．下列命题都正确，其逆命题也正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．垂线段最短 D．若a2＝4，求a的值 6．“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（   ） A．两个角互为邻补角 B．，的补角， C．，的补角， D．，的补角， 二、填空题 7．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这是错误的判断，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 8．命题：“如果，那么”的逆命题是 ，如果，那么，该命题是 命题（填真或假）． 9．命题“如果，那么”的逆命题是 ．命题（填“真”或“假”） 10．给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 三、解答题 11．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)同角的余角相等． (2)同号两数相乘，积为正数． 12．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 13．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)末位数字是0的数一定能被5整除． 14.如图，，，，求证： 15．如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.4 命题与证明 教学目标 1. 理解命题、真命题、假命题的概念，能准确识别命题，区分命题的条件（题设）和结论，会将命题改写成 “如果……，那么……” 的形式。 2.了解互逆命题的概念，能识别两个命题是否为互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题。 3. 理解证明的含义，掌握证明的基本步骤. 教学重难点 1.重点 命题的概念、结构（条件与结论），真假命题的判断; 互逆命题的识别与简单逆命题的书写;证明的基本步骤与简单命题的规范证明（含举反例判定假命题） 2.难点 几何证明的逻辑性与严谨性：避免跳跃推理、循环论证，做到每一步推理都有依据 知识点01 命题 1.命题的概念 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题. 判断一句话是不是命题，关键是看这句话有无进行判断.如：“同角的余角相等”是命题，因为它对两个角是否相等做出了判断；再比如“互为相反数的绝对值相等吗？”这句话是个疑问句，不是命题，因为它没有对两个数是否相等做出判断. 易错点：假命题也是命题. 【即学即练】 1.下列句子不是命题的是（ ） A.对顶角相等 B.内错角相等，两条直线平行 C.如果a²=b²,那么a=b D.画∠AOB的平分线 【答案】D 【分析】判断一句话是不是命题，关键是看这句话有无对某件事进行判断,与判断是否正确无关. 【详解】 A.“对顶角相等”是命题，因为它对两个角是否相等做出了判断； B.“内错角相等，两条直线平行”这句话也是命题，因为它对两条直线的位置关系做出了判断； C.“如果a²=b²,那么a=b”是命题，因为它对a和b的大小做出了判断,尽管判断错误，但仍属于判断; D.“画∠AOB的平分线”不是命题，这句话没有对一件事进行判断. 2.命题的真假 正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 上述命题中，选项A、B都是真命题；选项C是假命题. 3.条件和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 【即学即练】 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论. （1）两直线平行，内错角相等 （2）对顶角相等 【答案】见解析 【分析】说出一个命题的条件和结论，要写成“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 【详解】 （1）如果两条直线平行，那么内错角相等.条件是:两条直线平行，结论是：内错角相等. （2）“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 4.互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 易错点：原命题是真命题，逆命题不一定是真命题. 【即学即练】 命题“对顶角相等”的逆命题是___________________________ 【答案】见解析 【分析】写出一个命题的逆命题首先要辨析清楚它的条件和结论，然后将它的条件和结论交换位置即可. 【详解】因为“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，所以它的逆命题是“相等的角是对顶角”. 知识点02 证明 1. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 2. 在初中平面几何中，通常遵循步骤： （1）根据题意画出示意图； （2）根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”； （3）写出由条件推出结论的完整过程. 3. 判断一个命题为假命题，只需要举一个反例即可. 【即学即练】 求证：两直线平行，内错角的平分线互相平行. 【分析】本题考查了命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分．求证： 证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； 2. 判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？ 【答案】假命题；举例见解析； 【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可，反证法的应用，命题的改写要区分题设和结论． 【详解】解：此命题是假命题； 如，，符合，但不满足； 题型01 命题的概念 【典例1】下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 【变式1】下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作线段的垂直平分线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】解：A为陈述句，可判断真假，是命题； B为作图指令，非陈述句，不可判断真假，不是命题； C为陈述句，可判断真假（虽可能假），是命题； D为陈述句，可判断真假，是命题． 故选：B． 【变式2】下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 【变式3】下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义．根据命题的定义，命题是能够判断真假的陈述句，选项A是疑问句，不符合命题要求，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、“你饿了吗？”是疑问句，不是陈述句，故不是命题，故该选项符合题意； B、线段的垂线有无数条，是命题，故该选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，故该选项不符合题意； D、相等的角一定是对顶角，是命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式4】“相等的角是对顶角”是命题． （判断对错） 【答案】对 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】解：判断一件事情的语句，叫做命题，所以相等的角是对顶角是命题，对 故答案为：对． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题是指可以判断真假的陈述语句，加深对相关概念的理解是解此类问题的关键． 题型02 判断命题的真假 【典例1】命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：同位角不一定相等，只有两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题； 故答案为：假． 【变式1】给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角、补角的定义以及平行线的性质；通过举反例和定义分析即可判断． 【详解】①一个角的余角不一定大于这个角，反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与不一定是对顶角，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故③是真命题； ④根据平行线的性质，如果两条直线平行，且其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故④是真命题． 故答案为：③④． 【变式2】下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为：． 【变式3】“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．直接利用命题以及定理的定义分析得出即可． 【详解】解：由命题的定义可知：“垂线段最短”是命题，所以①正确， 由“垂线段最短”是定理，再结合所有的定理都是真命题可得②错误，③④正确． 故答案为：①③④． 【变式4】下列命题的逆命题是假命题的有 ．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 【答案】①③④ 【详解】本题考查逆命题的真假判断，需先写出每个命题的逆命题，再根据数学知识判断其真假． 【分析】解：①对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，因为相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等但不是对顶角），符合题意； ②两直线平行，同旁内角互补的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，该逆命题是真命题，是平行线的判定定理，不符合题意； ③全等三角形的周长相等的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，因为周长相等的三角形不一定全等（如边长分别为3、4、5和4、4、4的三角形周长均为12但不全等），符合题意； ④若，则的逆命题是“若，则”，该逆命题是假命题，因为时a与b可能互为相反数（如，），符合题意． 综上所述，逆命题是假命题的有①、③、④． 故答案为：①③④． 题型03 命题的条件和结论 【典例1】把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 【答案】 两个角相等 它们的余角相等 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角”表示两个角相等，是题设；“余角相等”表示它们的余角相等，是结论．因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：两个角相等，它们的余角相等． 【变式1】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】写出命题的题设与结论．命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】解：原命题的题设是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”， 因此改写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【变式2】命题“等角的补角相等”的条件是 ． 【答案】两个角相等 【分析】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案． 【详解】解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”， 所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等； 故答案为：两个角相等． 【变式3】把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 【变式4】把命题“平行于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也平行 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根【详解】解：依题意，把命题“平行于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行， 故答案为：两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也平行 题型04 互逆命题 【典例1】在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线. 【答案】如果两条直线平行，那么这两条直线没有公共交点. 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线. ”的逆命题是“如果两条直线平行，那么这两条直线没有公共交点.”． 故答案为：如果两条直线平行，那么这两条直线没有公共交点.． 【变式1】命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 【变式2】命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的逆命题是 ． 【答案】在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线一定垂直于同一条直线. 【分析】本题考查命题与逆命题，根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【详解】解：“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”可以改成“在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，所以它的逆命题是“在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线一定垂直于同一条直线.”． 【变式3】命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题主要考查了命题之间的关系，解决问题的关键是掌握原命题与逆命题的关系； 原命题的逆命题是“如果两个角互余，那么这两个角的和等于90°”，根据互余角的定义，该逆命题成立． 【详解】解：命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题． 故答案为：真． 【变式4】命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 如果，那么 假 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假，将原命题的条件和结论互换写出逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么； 当时，； 故该逆命题为假命题； 故答案为：如果，那么；假． 题型05 进行简单的推理证明 【典例1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【变式1】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并进行证明． 【答案】见解析 【详解】如果两条射线分别是一对邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，已知O是直线AC上一点，，分别平分，．求证：MO⊥NC 证明：∵，分别平分， ∴∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠BOC 又∵O在直线AC上 ∴∠AOB +∠BOC=180 ∴∠MOB+∠NOB=∠AOB+∠BOC=×180=90 ∴MO⊥NO. 【变式2】证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 请将下列命题的证明过程补充完整，并进行证明. 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见解析 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】已知：如图，直线中，，，    求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为．    ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式3】如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 【变式4】如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)说明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察和的位置关系，利用同位角相等的条件判定CE与GF平行； （2）由推出角相等，结合证明，进而得到与的数量关系； （3）利用平行线的性质求出相关角的度数，通过角的和计算的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型06 举反例说明一个命题是假命题 【典例1】用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，以及等式的性质，代值验证是解决本题的关键． 将选项中a，b，c的值代入验证是真假命题即可． 【详解】解：A选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义； B选项，当时，不满足，该例子不符合反例的定义； C选项，当时，满足，但，该例子符合反例的定义； D选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义． 故选：C． 【变式1】要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2】判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． 【答案】假命题；举例见解析； 【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可 【详解】解：此命题是假命题； 如，，符合，但不满足； 【变式3】判断命题“已知三条直线a,b,c,如果a⊥b,b⊥c，那么a⊥c”是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． 【答案】假命题；举例见解析； 【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可 【详解】解：此命题是假命题； 如图所示，a⊥b,b⊥c，结果a//c，所以原命题是假命题. 【变式4】判断命题“同位角相等”是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． 【答案】假命题；举例见解析； 【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可 【详解】解：此命题是假命题； 如图所示，∠1，,2虽是同位角，但并不相等.所以原命题是假命题. 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．同旁内角互补 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角的概念、平行线的性质、垂直的定义判断． 【详解】解：A、两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故选项A为假命题，不符合题意； B、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补不一定相等，故选项B为假命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故选项C为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项D正确，为真命题，符合题意． 故选：D． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 B．直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的判定，平行公理、垂线的性质、点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故为假命题，不合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，故为假命题，不合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为真命题，符合题意； D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．夹角为90的两条直线互相垂直 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．同(等)角的余角相等 【答案】C 【分析】逐一分析各选项的原命题及其逆命题，判断逆命题的真假．本题考查了命题的判断，熟练掌握解题要领是解题的关键． 【详解】A. 原命题：“夹角为90的两条直线互相垂直”． 逆命题：“互相垂直的两条直线夹角为90”,是真命题; B. 原命题：“内错角相等，两直线平行”． 逆命题：“两直线平行，内错角相等”． 这是平行线的性质，逆命题为真． C. 原命题：“对顶角相等”． 逆命题：“相等的角是对顶角”．是假命题; D. 原命题：“同(等)角的余角相等”． 逆命题：“如果两个角的余角相等,那么这两个角相等或是同一个角.”是真命题. 故选：C． 4．下列命题都正确，其逆命题也正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定各选项的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：A．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意； B．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意； C．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意； D．若，则逆命题为若，则是真命题，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了原命题、逆命题的定义和不等式的性质．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解题关键是能够根据不等式的性质对逆命题进行判断． 5．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．垂线段最短 D．若a2＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．垂线段最短，它是命题，所以C选项正确； D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 6．“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（   ） A．两个角互为邻补角 B．，的补角， C．，的补角， D．，的补角， 【答案】C 【分析】本题考查补角的定义，以及假命题的反例，解题的关键要熟记补角的定义，然后进行判断即可． 【详解】解：“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题． 其反例应满足“存在一个角的补角小于这个角”， A、两个角互为邻补角，无法判断大小，不符合题意； B、，的补角，，即补角等于这个角，不符合题意； C、，的补角，，即补角小于这个角，符合题意； D、，的补角，，即补角大于这个角，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这是错误的判断，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 8．命题：“如果，那么”的逆命题是 ，如果，那么，该命题是 命题（填真或假）． 【答案】如果，那么；假 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是“”，结论是“”， 故逆命题是如果，那么，该命题是假命题， 故答案为：如果，那么；假． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 9．命题“如果，那么”的逆命题是 ．命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了互逆命题的知识、不等式的性质，熟知两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把已知命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， ∴该命题是真命题． 故答案为：真． 10．给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 【详解】①是公理,正确； ②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误； ③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误； ④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的； ⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误； 所以真命题是①． 故答案为：①． 三、解答题 11．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)同角的余角相等． (2)同号两数相乘，积为正数． 【答案】(1)如果两个角都是另外一个角的余角，那么这两个角相等 (2)如果两个数的符号相同，那么它们的积为正数． 【分析】根据“如果”后面是条件，“那么”后面是结论把原命题改写成“如果……那么……”的形式即可． 【详解】（1）解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果……那么……”的形式为，如果两个角都是另外一个角的余角，那么这两个角相等； （2）解：命题“同号两数相乘，积为正数”，改写成“如果……那么……”的形式为，如果两个数的符号相同，那么它们的积为正数． 【点睛】本题主要考查了把命题改写成“如果……那么……”的形式，熟知“如果”后面是条件，“那么”后面是结论是解题的关键． 12．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了命题的条件和结论； （1）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （2）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （3）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； 理解命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】（1）解：条件：两直线平行； 结论：同位角相等； （2）解：条件：，， 结论：； （3）解：条件：不等式的两边同乘一个负数， 结论：不等号方向改变． 13．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)末位数字是0的数一定能被5整除． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等，是真命题 (2)能被5整除的数末位数字一定是0，是假命题 【分析】此题考查命题的逆命题，真假命题的定义， （1）写出逆命题，判定真假命题； （2）写出逆命题，判定真假命题； 正确掌握逆命题的定义及真假命题的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同位角相等． 是真命题； （2）逆命题为：能被5整除的数末位数字一定是0． 是假命题． 14.如图，，，，求证： 【答案】答案见详解； 【分析】本题主要考查垂线的性质和平行线的性质与判定，根据条件与结论因果关系直接写出完整的推理过程是关键. 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 15．如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $