专题03相交线.命题与证明复习讲义(知识梳理+15大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题03相交线.命题与证明复习讲义 【不含平行线】 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识：邻补角.对顶角.垂线.垂线段等相交线基础概念。 2.熟记：对顶角相等.邻补角互补.垂线段最短等核心性质。 3.识别:同位角.内错角.同旁内角,掌握三线八角辨别方法。 4.理解：命题、真命题、假命题、定理、证明的相关定义。 5.区分：命题的题设与结论，掌握命题标准改写形式。 6.掌握：命题真假判断方法，会用举反例证明假命题。 1.运用：相交线相关性质，进行角度计算与垂直关系判定。 2.提升：几何图形辨析能力，能拆解复杂几何基础图形。 3.规范：几何书写格式，掌握简单几何说理表达要求。 4.培养：逻辑推理思维，具备基础几何推理与论证能力 1.攻克：相交线角度计算、角的识别等基础常考题型。 2.掌握：命题改写、真假判断、逆命题书写等考点题型。 3.夯实：几何证明基础，做到推理有据、步骤完整规范。 4.衔接：后续几何内容学习，为平行线综合题型打基础。 题型01.两点确定一条直线 题型02.对顶角的定义 题型03.对顶角相等 题型04.垂线的定理理解 题型05.定理与证明 题型06.画垂线 题型07.垂线段最短 题型08.点到直线的距离 题型09.命题的判定 题型10.写出命题的题设与结论 题型11.命题真假判定 题型12.举例说明假(真)命题 题型13.写出命题的逆命题 题型14.互逆命题的判定 题型15.命题的证明 解答题6题 知识点01:相交线相关概念 1.相交线：同一平面内，两条直线有唯一公共点，两直线相交，公共点为交点。 2.邻补角 定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补，两角之和为 180°。 3.对顶角 定义：两角的两边分别互为反向延长线。 性质：对顶角相等。 知识点02:垂线 1. 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 2. 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点03:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点04:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 知识点05:证明与逆命题 证明：根据已知条件、定义、基本事实、定理，进行一步步逻辑推理，证实结论成立的过程。 逆命题：将一个命题的题设和结论互换，得到的新命题；原命题为真，逆命题不一定为真。 知识点06:核心易错点与关键提醒 1.定义≠命题：定义是 “规定是什么”，命题是 “判断对不对”；所有定义都是真命题，但真命题不一定是定义 2.命题必须有判断：疑问句、感叹句、祈使句（如 “画直线”“对顶角相等吗？”）不是命题 3.逆命题真假无关：原命题真 / 假，逆命题可真可假，需单独判断 4.证明步步有据：严禁 “想当然”，每一步推理必须有定义、基本事实、定理或已知条件支撑 5.反例只需一个：判定假命题，举一个反例即可，无需多个 题型01.两点确定一条直线 【典例】植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．能解释这一现象的数学道理是（    ） A．直线是向两个方向无限延伸的 B．两点确定一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【分析】本题考查直线的基本性质，根据题干描述匹配对应的直线基本事实即可得到答案． 【详解】解：∵两棵树的位置对应平面内两个点，确定两个点就能确定这条直线， ∴能解释该现象的数学道理是两点确定一条直线，因此选B． 【跟踪专练1】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线．上述“画参照线”方法的依据是______________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确把握直线的性质是解题关键．直接利用直线的性质分析得出答案． 【详解】解：上述“画参照线”方法的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【跟踪专练2】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短、两点确定一条直线等知识点，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧均是利用两点确定一条直线； 弯曲公路改直是利用两点之间线段最短； 故选：A． 题型02.对顶角的定义 【典例】下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对顶角有两个核心判定条件：①两个角有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线． 【详解】解：选项A：和的两边不互为反向延长线，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 选项B：和没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 选项C：和有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，符合对顶角的定义，故是对顶角； 选项D：和两边不互为反向延长线，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义求解即可． 【详解】解：的对顶角是， 故选C 【跟踪专练2】下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 题型03.对顶角相等 【典例】如图是一把剪刀示意图，直线与相交于点O，当剪刀口增加时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少25° D．增加 【答案】D 【分析】由对顶角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴，当剪刀口增加时，的值增加． 【跟踪专练1】如图，直线于点，为过点的一条直线，，则的度数是（   ） A．40° B．50° C．60° D．130° 【答案】A 【分析】根据对顶角相等求出 ，再根据垂直的定义求出 ，然后根据 ，代入数据计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，已知直线与相交于点O，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角相等、角的和差等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．由垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 题型04.垂线的定义理解 【典例】已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，互补、互余的概念，掌握概念是解题关键．由对顶角相等可得，根据可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， 与互余， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，进而可求． 【详解】解：， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的相关计算．先根据，设，，由算出和，进而算出，再根据平分得，最后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 题型05.定理与证明 【典例】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据定义、定理、基本事实的概念判断即可． 【详解】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于基本事实． 故选：C． 【点睛】本题主要考查定义、定理、基本事实的区分，牢记定义、定理、基本事实的概念是解题的关键． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型06.画垂线 【典例】过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查过点画已知直线的垂线，掌握垂线的作法是关键． 根据过直线外一点画已知直线的垂线的方法即可求解． 【详解】解：A、与不垂直，不符合题意； B、是过点的的垂线，符合题意； C、与不垂直，不符合题意； D、不经过点，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由垂线的定义可知，只有C选项中的画图正确，符合题意． 【跟踪专练2】下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是过一点画已知直线的垂线，根据利用三角板或量角器画垂直的方法进行判断即可． 【详解】解：过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是①③； 故选：B． 题型07.垂线段最短 【典例】如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：由图可知，垂直于起跳线，即是落地点到起跳线的垂线段， 在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是垂线段最短． 【跟踪专练1】如图，已知、、是直线上的三点，点是直线外一点，若，，，则下列各数中可能是点到直线的距离的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据垂线段最短可得，再结合题意可得答案． 【详解】解：由垂线段最短可知，， ∴点到直线的距离大于0且小于5， ∴点到直线的距离可能是4． 【跟踪专练2】．如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 题型08.点到直线的距离 【典例】如图，在三角形中，，下列说法正确的是（） A．点到直线的距离是线段 B．点到直线的距离是线段的长度 C．点到直线的距离是线段的长度 D．点到直线的距离是线段的长度 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，结合即可判断 【详解】解：∵， ∴， ∴点到直线的垂线段是线段， ∵点到直线的距离是指垂线段的长度，而不是垂线段本身， ∴点到直线的距离是线段的长度， 选项符合题意． 【跟踪专练1】点是直线l外一点，、、为直线l上的三点，，，，则点到直线l的距离为（   ） A．小于 B．等于 C．等于 D．不大于 【答案】D 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点P到直线l的距离即为点P到l的垂线段的长度． 又已知，，，是给出的线段中长度最短的， ∴点P到直线l的距离，即不大于． 【跟踪专练2】如图，，，垂足为D，则点B到直线的距离是指（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是解题的关键．点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离． 【详解】解：， 点B到直线的距离是指线段的长度． 故选D． 题型09.命题的判定 【典例】下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【答案】B 【分析】命题的定义为：判断一件事情的语句叫做命题．根据定义判断语句是否对一件事情作出判断即可得到结果． 【详解】解：选项A、画一条线段是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项B、对顶角相等，对对顶角的大小关系作出了明确判断，符合命题的定义． 选项C、过点作直线的垂线是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项D、今天天气好吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题． 【跟踪专练1】下列语言叙述是命题的是（    ） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【分析】命题是一个判断的语句，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句子．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对事件作出了判断，是命题，符合题意； B、“你喜欢陇南吗？”是疑问句，不是命题，不符合题意； C、“赶紧写作业！”是祈使句，不是命题，不符合题意； D、“画一条端点为A的射线”是指令，不是命题，不符合题意． 【跟踪专练2】下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 题型10.写出命题的题设与结论 【典例】命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 【答案】A 【分析】根据命题用“如果……那么……”的形式叙述进行分析即可． 【详解】题目中的命题用“如果……那么……”的形式叙述为“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”，所以属于题设部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的题设和结论，解题的关键是先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再分析题设和结论． 【跟踪专练1】把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 【跟踪专练2】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 题型11.命题真假判定 【典例】下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假性的判断，代入具体数值检验选项是否成立是解决本题的关键． 要证明命题“若，则”为假，需找到满足但的例子即可． 【详解】解：选项A：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项B：，。 则有，，满足，但，此时，命题不成立； 选项C：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项D：，， 则有，，不满足，故排除， 综上，选项B是唯一满足条件的反例，说明原命题为假． 故选：B ． 【跟踪专练1】下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据对顶角定义，同一平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐一判断选项． 【详解】解：A 选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等但不是对顶角，因此 A 是假命题； B 选项：∵在同一平面内，，，∴，因此 B 是假命题； C 选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行，因此 C 是假命题； D 选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∵，∴，因此 D 是真命题． 【跟踪专练2】下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线性质、对顶角性质、平行线判定、垂线的基本事实，逐一判断各命题真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，是假命题． ②对顶角的性质为对顶角相等，因此“对顶角相等”是真命题，原命题正确，是真命题． ③该命题未限定在同一平面内，不在同一平面时，满足，，与不一定平行，原命题错误，是假命题． ④根据垂线的基本事实，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题正确，是真命题． 综上，真命题共有2个． 题型12.举例说明假(真)命题 【典例】下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，根据相关基本性质逐一判断即可. 【详解】解： A选项 平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行线基本性质，是真命题； B选项 垂线段最短，符合垂线的性质，是真命题； C选项 只有两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，结论不成立，是假命题； D选项 两点之间，线段最短，符合线段的基本性质，是真命题； 【跟踪专练1】要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 【跟踪专练2】用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，若小亮取a=3，则b=________． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】找出一个小于3的值，使a2＜b2即可得答案． 【详解】当b=-4时， ∵3＞-4，32＜42， ∴“若a>b，则a2>b2”是假命题， 故答案为：-4 【点睛】本题考查命题，正确找出反例是解题关键． 题型13.写出命题的逆命题 【典例】“内错角相等，两直线平行”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查了命题真假的判断，逆命题，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质定理，难度比较小．先写出命题的逆命题，再利用平行线的性质定理，对命题进行判断即可得出答案． 【详解】解：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题． 故答案为：真． 【跟踪专练1】下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【详解】本题考查命题的有关知识，熟练掌握逆命题的意义并灵活运用是解题关键． 分别写出各命题的逆命题，并判断其真假． 【分析】的逆命题：相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角）， 逆命题不成立，不符合题意； 的逆命题：角的平分线上的点在角的内部，且到角的两边距离相等，∵角平分线的性质定理成立， 逆命题成立，符合题意； 的逆命题：锐角三角形是等边三角形，∵锐角三角形不一定等边（如三锐角不等）， 逆命题不成立，不符合题意； 的逆命题：对应角相等的三角形全等，∵对应角相等的三角形相似但不一定全等， 逆命题不成立，不符合题意； 故逆命题成立的只有． 故选． 【跟踪专练2】命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是______；它是______命题（真、假）． 【答案】 在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．找出原命题中的题设和结论，进行互换即可得到其逆命题． 【详解】解：命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是“在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形”．它是真命题． 故答案为：在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真． 题型14.互逆命题的判定 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 题型15.命题的证明 【典例】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可． 【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误； B、假命题是不正确的命题，故此选项错误； C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确； D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误； 故选：C． 【跟踪专练2】老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【解答题】 1．有下列语句：①作直线的垂线；②相等的角是对顶角；③是无理数吗？④两直线平行，内错角相等． (1)以上语句中，属于命题的有：__________，真命题是__________，假命题是__________（填序号）； (2)把真命题改写为“如果……那么……”的形式：__________．其中，题设是__________，结论是__________． 【答案】(1)②④；④；②； (2)见解析 【分析】本题考查了命题的判断及改写，真假命题的判定，掌握命题的判定和改写方法是关键． （1）根据命题的定义：能够判断其真假的陈述句被称为命题；真假命题的定义依次判断即可； （2）根据真命题的改写形式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：①作直线的垂线，不是命题； ②相等的角是对顶角，是命题；相等的角不一定是对顶角，是假命题； ③是无理数吗？，不是命题； ④两直线平行，内错角相等，是命题；是真命题； 故答案为：②④；④；②； （2）④两直线平行，内错角相等改写为“如果……那么……”的形式： 如果两条直线平行，那么内错角相等； 题设是两条直线平行，结论是内错角相等． 2．判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (3)如果，那么． 【答案】(1)假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一） (2)真命题 (3)假命题．反例：，有，但（举反例不唯一） 【分析】本题主要考查了命题，锐角的性质，平行线的性质，等式的性质等知识点， （1）通过举反例即可得解； （2）由平行线的公理可得解； （3）通过举反例即可得解； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一）； （2）解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是公理，是真命题； （3）解：假命题．反例：，有，但（举反例不唯一）． 3．如图，直线相交于点，，垂足为，平分，．求的度数． 【答案】 【分析】先求出的度数，再求出的度数，则可得的度数，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．如图，直线相交于点O，平分；若，求的度数． 【答案】 【分析】由角平分线的定义得到，根据题意可得，由平角的定义可得，则，解方程求出的度数，再根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 6．如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【答案】(1)，垂线段最短 (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据垂线段最短判断即可； （2）根据点到直线的距离的定义和等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； （2）解：∵，，，，， ∴，即， ∴， ∴点A到线段的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03相交线.命题与证明复习讲义 【不含平行线】 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识：邻补角.对顶角.垂线.垂线段等相交线基础概念。 2.熟记：对顶角相等.邻补角互补.垂线段最短等核心性质。 3.识别:同位角.内错角.同旁内角,掌握三线八角辨别方法。 4.理解：命题、真命题、假命题、定理、证明的相关定义。 5.区分：命题的题设与结论，掌握命题标准改写形式。 6.掌握：命题真假判断方法，会用举反例证明假命题。 1.运用：相交线相关性质，进行角度计算与垂直关系判定。 2.提升：几何图形辨析能力，能拆解复杂几何基础图形。 3.规范：几何书写格式，掌握简单几何说理表达要求。 4.培养：逻辑推理思维，具备基础几何推理与论证能力 1.攻克：相交线角度计算、角的识别等基础常考题型。 2.掌握：命题改写、真假判断、逆命题书写等考点题型。 3.夯实：几何证明基础，做到推理有据、步骤完整规范。 4.衔接：后续几何内容学习，为平行线综合题型打基础。 题型01.两点确定一条直线 题型02.对顶角的定义 题型03.对顶角相等 题型04.垂线的定理理解 题型05.定理与证明 题型06.画垂线 题型07.垂线段最短 题型08.点到直线的距离 题型09.命题的判定 题型10.写出命题的题设与结论 题型11.命题真假判定 题型12.举例说明假(真)命题 题型13.写出命题的逆命题 题型14.互逆命题的判定 题型15.命题的证明 解答题6题 知识点01:相交线相关概念 1.相交线：同一平面内，两条直线有唯一公共点，两直线相交，公共点为交点。 2.邻补角 定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补，两角之和为 180°。 3.对顶角 定义：两角的两边分别互为反向延长线。 性质：对顶角相等。 知识点02:垂线 1. 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 2. 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点03:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点04:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 知识点05:证明与逆命题 证明：根据已知条件、定义、基本事实、定理，进行一步步逻辑推理，证实结论成立的过程。 逆命题：将一个命题的题设和结论互换，得到的新命题；原命题为真，逆命题不一定为真。 知识点06:核心易错点与关键提醒 1.定义≠命题：定义是 “规定是什么”，命题是 “判断对不对”；所有定义都是真命题，但真命题不一定是定义 2.命题必须有判断：疑问句、感叹句、祈使句（如 “画直线”“对顶角相等吗？”）不是命题 3.逆命题真假无关：原命题真 / 假，逆命题可真可假，需单独判断 4.证明步步有据：严禁 “想当然”，每一步推理必须有定义、基本事实、定理或已知条件支撑 5.反例只需一个：判定假命题，举一个反例即可，无需多个 题型01.两点确定一条直线 【典例】植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．能解释这一现象的数学道理是（    ） A．直线是向两个方向无限延伸的 B．两点确定一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【跟踪专练1】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线．上述“画参照线”方法的依据是______________． 【跟踪专练2】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型02.对顶角的定义 【典例】下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 【跟踪专练2】下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 题型03.对顶角相等 【典例】如图是一把剪刀示意图，直线与相交于点O，当剪刀口增加时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少25° D．增加 【跟踪专练1】如图，直线于点，为过点的一条直线，，则的度数是（   ） A．40° B．50° C．60° D．130° 【跟踪专练2】如图，已知直线与相交于点O，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04.垂线的定义理解 【典例】已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型05.定理与证明 【典例】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型06.画垂线 【典例】过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 题型07.垂线段最短 【典例】如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【跟踪专练1】如图，已知、、是直线上的三点，点是直线外一点，若，，，则下列各数中可能是点到直线的距离的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】．如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 题型08.点到直线的距离 【典例】如图，在三角形中，，下列说法正确的是（） A．点到直线的距离是线段 B．点到直线的距离是线段的长度 C．点到直线的距离是线段的长度 D．点到直线的距离是线段的长度 【跟踪专练1】点是直线l外一点，、、为直线l上的三点，，，，则点到直线l的距离为（   ） A．小于 B．等于 C．等于 D．不大于 【跟踪专练2】如图，，，垂足为D，则点B到直线的距离是指（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 题型09.命题的判定 【典例】下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【跟踪专练1】下列语言叙述是命题的是（    ） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【跟踪专练2】下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 题型10.写出命题的题设与结论 【典例】命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 【跟踪专练1】把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【跟踪专练2】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型11.命题真假判定 【典例】下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 【跟踪专练2】下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型12.举例说明假(真)命题 【典例】下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 【跟踪专练1】要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，若小亮取a=3，则b=________． 题型13.写出命题的逆命题 【典例】“内错角相等，两直线平行”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 【跟踪专练1】下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【跟踪专练2】命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是______；它是______命题（真、假）． 题型14.互逆命题的判定 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 题型15.命题的证明 【典例】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 【跟踪专练2】老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【解答题】 1．有下列语句：①作直线的垂线；②相等的角是对顶角；③是无理数吗？④两直线平行，内错角相等． (1)以上语句中，属于命题的有：__________，真命题是__________，假命题是__________（填序号）； (2)把真命题改写为“如果……那么……”的形式：__________．其中，题设是__________，结论是__________． 2．判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (3)如果，那么． 3．如图，直线相交于点，，垂足为，平分，．求的度数． 4．如图，直线相交于点O，平分；若，求的度数． 5．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 6．如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $