第04讲 平行线（知识详解+17典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 平行线（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的意义和基本性质 1、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 【知识点02】同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 【知识点03】平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【知识点04】平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【知识点05】平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，同一平面内，两直线不相交就互相平行，同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得答案． 【详解】解：A、同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，不符合题意； B、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行，原说法正确，符合题意； D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 变式1．（2024七年级下·上海·专题练习）在同一平面内，两条直线有 种位置关系，它们是 ． 【答案】 两 相交和平行 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了在同一平面内两条直线之间的位置关系，较简单，要注意垂直只是属于相交的一种特殊情况．在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是相交和平行，其中垂直是相交的一种特殊情况． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合直线有两种位置关系，它们是相交和平行， 故答案为：两，相交和平行． 【题型二】用直尺、三角板画平行线 例2．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【知识点】用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线与直线相交，点为直线、外一点，根据下列语句画图： (1)过点画直线交于点； (2)过点画直线，垂足为点； (3)过点画的垂线段，垂足为点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作图，平行线的定义，垂线的定义，垂线段的定义，熟练掌握这些相关定义并会作图是解题的关键． （1）利用直尺作平行线即可； （2）利用直尺作垂线即可； （3）利用直尺作垂线段即可，注意垂线段是线段． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，直线即为所求作； （3）解：如图，线段即为所求作． 【题型三】平行公理的应用 例3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】A 【知识点】平行公理的应用、对顶角相等 【分析】本题考查了平行的传递性、平行线的性质，对顶角，熟练掌握知识点解答本题的关键． 根据平行的传递性可判断A；根据两直线的位置关系可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、根据平行的传递性可知A正确，故本选项符合题意； B、若与相交，与相交，则与可能相交或平行，故本选项不符合题意； C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意． 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 【答案】/ 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，易错点是未根据题意进行画图解答．根据平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可知直线a与直线c的关系是平行． 【详解】解：在同一平面内，，， ． 故答案为：． 【题型四】反证法证明中的假设 例4．（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】反证法证明命题：在中，，求证：， 第一步应先假设， 故选：B． 变式1．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用反证法证明命题 【分析】假设结论不成立，即 【详解】∵命题：“在中，，则”， ∴假设为：， 故选：D 【点睛】本题考查了用反证法证明命题，掌握反证法的假设为结论不成立是解决问题的关键 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 【题型五】用反证法证明命题 例5．（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】用反证法证明命题、平行公理的应用 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 【题型六】同位角、内错角、同旁内角 例6．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 变式1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有 组同旁内角． 【答案】6 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 变式2．（2023七年级下·上海·月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE． ∠A的同位角是　　． ∠ABD的内错角是 　　． 点B到直线AC的距离是线段 　　的长度． 点D到直线AB的距离是线段 　　的长度． 【答案】∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC ；BD ；DE 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离 【分析】根据两直线被第三条直线所截，位置相同的角是同位角，可得一个角的同位角，根据两直线被第三条直线所截，角位于两直线的中间，截线的两侧是内错角，可得一个角的内错角，根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离，可得答案． 【详解】解：∠A的同位角是∠BDC、∠BED、∠EDC， ∠ABD的内错角是∠BDC， 点B到直线AC的距离是线段 BD的长度， 点D到直线AB的距离是线段 DE的长度， 故答案为：∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC ；BD ；DE． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 【题型七】同位角相等两直线平行 例7．（22-23七年级下·上海虹口·期末）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、求一个角的余角 【分析】根据平行线的判定条件逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A、，，， ， ，符合题意，选项正确； B、不能得到，不符合题意，选项错误； C、不能得到，不符合题意，选项错误； D、不能得到，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题关键． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，对顶角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：如图，设交于点M， ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；． 变式2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，选择①②作为条件，③作为结论，由垂直定义得到，再由平行线的判定即可得证，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 【题型八】两直线平行同位角相等 例8．（22-23七年级下·上海·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等． 【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是， 由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：， 由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，那么的度数 ． 【答案】/度 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等得到，，再等量代换即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 【题型九】内错角相等两直线平行 例9．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误； B、根据，不能判定，故该选项错误； C、∵，∴，故该选项正确； D、根据，不能判定，故该选项错误； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在四边形中，，可以判断 ，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，证明：． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、垂直，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据已知条件证明，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十】两直线平行内错角相等 例10．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．根据“两直线平行，内错角相等”，即可判断答案． 【详解】， ， 根据“两直线平行，内错角相等”，A、B、C三个选项均错误，只有D选项正确． 故选D． 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，直线，被直线所截，若，，，则 度．    【答案】 【知识点】对顶角相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，    故答案为：80． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    【答案】的度数是，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质得出与的度数，再由角平分线的性质即可得出结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：的度数是． 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 【题型十一】同旁内角互补两直线平行 例11．（22-23七年级下·上海静安·期中）下列条件能判断ABCD的是（    ）       A．∠B =∠D B．∠B +∠DA B=180° C．∠DAC=∠BCA D．∠B +∠D C B=180° 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；逐一判定即可． 【详解】解：A. ∠B =∠D不能得出ABCD，此选项不符合题意； B. ∠B +∠DA B=180°，可得出ADBC，此选项不符合题意； C. ∠DAC=∠BCA，可得出ADBC，此选项不符合题意； D.∵∠B+∠DCB=180°，同旁内角互补，两直线平行，可以判定ABCD；此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【答案】65 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 变式2．如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？ 解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知） ∴∠3＝　　（　　） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（　　） ∴　　∥　　（　　） 【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝120°（已知）， ∴∠3＝120°（ 等量代换） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（等式的性质） ∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 【题型十二】两直线平行同旁内角互补 例12．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 变式1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则 ． 【答案】70 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角，在图中标注，利用邻补角互补，可求出的度数，结合的度数，可求出的度数，由,利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数． 【详解】解：在图中标注，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：70． 变式2．（2022七年级下·上海·专题练习）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？ 解：过点E作EF∥AB①，如图（b）， 则∠ABE+∠BEF＝180°，（______） 因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（______） 所以∠FED+∠EDC＝______°（等式的性质） 所以FE∥CD②（______） 由①、②得AB∥CD（______）． （2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件______时，有AB∥CD． （3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件______时，有AB∥CD． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补、已知、180、同旁内角互补，两直线平行，平行线的传递性；（2）∠1+∠3＝∠2；（3）∠B+∠E+∠F+∠D＝540° 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】（1）过点E作，由两直线平行，同旁内角互补以已知条件可求得∠FED+∠EDC＝180°，然后根据平行线的传递性即可证明； （2）过点E作．有两直线平行，内错角相等得∠1=∠BEF，再根据∠1+∠3＝∠2，∠2＝∠BEF+∠DEF，可得∠3＝∠DEF，即有，再平行线的传递性即可证明； （3）过点E、F分别作．根据同旁内角互补和已知条件可得∠ABE+∠BEG＝180°，则有，即有． 【详解】（1）过点E作，如图（b）， 则∠ABE+∠BEF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°，（已知 ） ∴∠FED+∠EDC＝180°，（等式的性质） ∴，（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行线的传递性）． （2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3＝∠2时，． 理由：过点E作． ∴∠1＝∠BEF； ∵∠1+∠3＝∠2，∠2＝∠BEF+∠DEF， ∴∠3＝∠DEF， ∴， ∴（平行线的传递性）； （3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D＝540°时，有． 理由： 过点E、F分别作． 则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°， ∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°； 又∵∠B+∠E+∠F+∠D＝540°， ∴∠ABE+∠BEG＝180°， ∴， ∴； 故答案为：（1）两直线平行，同旁内角互补；已知；180；同旁内角互补，两直线平行，平行的传递性； （2）∠1+∠3=∠2； （3）∠B+∠E+∠F+∠D=540°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 【题型十三】根据平行线的性质探究角的关系 例13．（22-23七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】画出图形，根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行分析． 【详解】解：如图所示， 和，和两对角符合条件． ∴，或， 即两个角相等或互补， 故选：A．    【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况． 变式1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质、角度的关系，由题意可得，根据的两边与的两边分别平行，得出或，分别求解即可． 【详解】解：∵比的3倍少， ∴， ∵的两边与的两边分别平行， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 【题型十四】根据平行线的性质求角的度数 例14．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 变式1．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果一个角，它的两边与另一个角的两边分别平行，另一个角的大小为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】①如图1，由题意得，，，, ∵， ∴； ∵， ∴； ②如图2，由题意得，，，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 综上，另一个角的度数为或． 故答案为：或． 变式2．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出； ②若，则，又，所以，所以，进而求解； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 【题型十五】平行线的性质在生活中的应用 例15．（24-25七年级下·上海·月考）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 【答案】A 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据平行线的性质分别判断得出即可． 【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此选项符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此选项不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【题型十六】根据平行线判定与性质求角度 例16．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据，可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么 【答案】/28度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点F作，由平行线的性质推出，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作，根据平行线的性质求出，，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，作 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 【题型十七】根据平行线判定与性质证明 例17．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，①根据内错角相等，判定两直线平行；②根据两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行进行判定；③根据两直线平行，同旁内角互补与同角的补角相等判定；④根据两直线平行，内错角相等判定． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以①正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故②正确； ∵，（已证）， ∴，， ∴（同角的补角相等）， 所以③正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 所以④正确． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知：，求证：． 【答案】证明见解答过程． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：， ， ， ， ． 变式2．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【答案】①对顶角相等②③同位角相等，两直线平行④⑤两直线平行，同旁内角互补⑥内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 一、单选题 1．如图，∠B的内错角可以是（    ） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【答案】B 【分析】结合图形根据内错角的定义即可作答． 【详解】根据图形可知：∠B的同位角是∠4，内错角是∠2，同旁内角是∠3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了内错角的定义．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 2．如图所示，直线被直线所截，现给出下列条件： ①；②；③④；⑤． 其中能判断的条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定依次判定即可． 【详解】解∶ ①∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ②∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； ③∵，不能判定； ④当，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴不能判定； ⑤不能判定； 综上分析可知：能判断的条件的序号是①②． 故选：A． 3．如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 4．下列各图中，能判定的是（    ） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得②③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 综上所述，能画出的是①②③④，故选：D． 5．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 6．如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质、判定的应用能力，先运用角平分线的定义和平行线的判定推导出，再运用平行线的性质推导出． 【详解】证明：∵平分平分， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故C不符合题意； 根据题意无法证明， 故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ． 【答案】三角形三个内角都大于60 °． 【分析】写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °． 故答案为：三角形三个内角都大于60 °． 【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键． 8．把一副三角板按如图的方式放在桌面上，判定的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行； 根据“内错角相等，两直线平行”即可得到答案 【详解】∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：内错角相等，两直线平行 9．如图，将一个直角三角形的直角顶点放在一个长方形的一边上，如果，那么 度． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，再根据平角的定义结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义．理解和掌握平行线的性质是解题的关键． 10．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为 . 【答案】 【分析】过点C作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解. 【详解】解：过点C作，如图： 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系. 11．如图，已知，平分，交于点，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角度的和差，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，得出，，，则可求出，利用平分，求出，则可得，利用，可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，，平分，，，则 度． 【答案】110 【分析】过点E作，过点F作，利用余角的性质，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，将转化为，最后根据平角的性质即可得到答案． 【详解】解：过点E作，过点F作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质余角，平角等知识，解题关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补． 13．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 14．如图，在中，直线交于点，交于点，将沿直线折叠，使点落在点的位置．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先由平行求得，再由折叠性质得，即可求解的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 【答案】①②③⑤⑦ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 若，则：， ∴；故⑦正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤⑦． 16．在中，，将沿着射线方向平移得到，连接． （1）如图，若平分，则 ． （2）若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 【答案】 或或 【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，平移的性质，解题关键是利用平移的性质求解 （1）先利用平移得到，，再利用角平分的意义得出，然后利用平行线的性质得出； （2）分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【详解】解（1）：，将沿着射线BC方向平移得到， ，， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：第一种情况：如图，当点在上时， 设， 由平移的性质可知：， ， 当时，则， ，，， ， 解得：， ； 当时， 则， 即 ， ，，， ， 解得：， ， 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ，， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ∴ 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 三、解答题 17．如图，已知∠B＝∠C，AD//BC．求证：AD是∠CAE的平分线． 【答案】证明见解析 【分析】由平行的性质可得∠2＝∠B，∠1＝∠C，再结合∠B＝∠C，即可得∠2＝∠1，从而得证． 【详解】证明：∵ADBC， ∴∠1＝∠C，∠2＝∠B， ∵∠B＝∠C， ∴∠1＝∠2， ∴AD是∠CAE的平分线． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与交于点G，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由，根据同位角相等两直线平行得到，再由两直线平行内错角相等得，，从而得出结论． 【详解】证明：如图， ， ， ， ， ， ． 19．如图，点A，B，C在同一直线上，．求证：． 证明：（已知）， ______________（_______）． _______（_______）． ， _______=_______（_______）． （_______）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由得，即得，进而得，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行） ． 20．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且．求证：． 证明：平分 （ ①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （ ④）． 【答案】①角的平分线的定义；②；③；④同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线定义，平行线的判定，根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定，得出．解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法， 【详解】证明：平分 （角的平分线的定义①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （同旁内角互补，两直线平行④）． 21．将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中，，，）设． (1)若，说明； (2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）分两种情形：如图②中，当时，如图③中，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图①中， ∵∠，， ∴∠ACE=∠A， ∴； （2）解：如图②中，当时，则， ； 如图③中，当时，则， ． 综上所述，的值为15°或165°． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 22．如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质： （1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出的度数，对顶角即可得出的度数，再根据平行线的性质，求出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，如图， ∵将长方形纸带沿折叠， ∴， ∴， ∴； ∴当时， ； （2）解：当时： 由（1）可知：，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上：或； （3）解：当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 故：或． 23．如图，已知，，点P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D． (1)求的大小． (2)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，的大小是_______． 【答案】(1)50° (2)不变，，理由见解析 (3) 【分析】本题围绕平行线的性质以及角平分线的定义展开，分三个小问探究角之间的数量关系．需利用平行线性质转换角的关系，结合角平分线定义推导角的和、倍分关系． 【详解】（1）， . ， . 又平分，平分， . 又， . （2）数量关系不变，理由如下： ， 平分， 又， （3）设， 平分， ， . ， 又平分， 且， ， 解得，即 【点睛】本题核心是运用平行线的性质和角平分线的定义，将复杂角关系转化为和、倍分关系，解题关键：利用角平分线性质“转移”角；结合角平分线定义拆分/合并角，建立已知与未知角得联系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平行线（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的意义和基本性质 1、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 【知识点02】同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 【知识点03】平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【知识点04】平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【知识点05】平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 变式1．（2024七年级下·上海·专题练习）在同一平面内，两条直线有 种位置关系，它们是 ． 【题型二】用直尺、三角板画平行线 例2．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线与直线相交，点为直线、外一点，根据下列语句画图： (1)过点画直线交于点； (2)过点画直线，垂足为点； (3)过点画的垂线段，垂足为点． 【题型三】平行公理的应用 例3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 变式1．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 【题型四】反证法证明中的假设 例4．（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 变式1．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设 ． 【题型五】用反证法证明命题 例5．（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【题型六】同位角、内错角、同旁内角 例6．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 变式1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有 组同旁内角． 变式2．（2023七年级下·上海·月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE． ∠A的同位角是　　． ∠ABD的内错角是 　　． 点B到直线AC的距离是线段 　　的长度． 点D到直线AB的距离是线段 　　的长度． 【题型七】同位角相等两直线平行 例7．（22-23七年级下·上海虹口·期末）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 变式2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【题型八】两直线平行同位角相等 例8．（22-23七年级下·上海·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，那么的度数 ． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【题型九】内错角相等两直线平行 例9．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在四边形中，，可以判断 ，理由是 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，证明：． 【题型十】两直线平行内错角相等 例10．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，直线，被直线所截，若，，，则 度．    变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    【题型十一】同旁内角互补两直线平行 例11．（22-23七年级下·上海静安·期中）下列条件能判断ABCD的是（    ）       A．∠B =∠D B．∠B +∠DA B=180° C．∠DAC=∠BCA D．∠B +∠D C B=180° 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 变式2．如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？ 解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知） ∴∠3＝　　（　　） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（　　） ∴　　∥　　（　　） 【题型十二】两直线平行同旁内角互补 例12．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则 ． 变式2．（2022七年级下·上海·专题练习）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？ 解：过点E作EF∥AB①，如图（b）， 则∠ABE+∠BEF＝180°，（______） 因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（______） 所以∠FED+∠EDC＝______°（等式的性质） 所以FE∥CD②（______） 由①、②得AB∥CD（______）． （2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件______时，有AB∥CD． （3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件______时，有AB∥CD． 【题型十三】根据平行线的性质探究角的关系 例13．（22-23七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 变式1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么 变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【题型十四】根据平行线的性质求角的度数 例14．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海静安·月考）如果一个角，它的两边与另一个角的两边分别平行，另一个角的大小为 ． 变式2．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【题型十五】平行线的性质在生活中的应用 例15．（24-25七年级下·上海·月考）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【题型十六】根据平行线判定与性质求角度 例16．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，， 那么 变式2．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数． 【题型十七】根据平行线判定与性质证明 例17．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知：，求证：． 变式2．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 一、单选题 1．如图，∠B的内错角可以是（    ） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 2．如图所示，直线被直线所截，现给出下列条件： ①；②；③④；⑤． 其中能判断的条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④⑤ 3．如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．下列各图中，能判定的是（    ） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 二、填空题 7．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ． 8．把一副三角板按如图的方式放在桌面上，判定的依据是 ． 9．如图，将一个直角三角形的直角顶点放在一个长方形的一边上，如果，那么 度． 10．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为 . 11．如图，已知，平分，交于点，，，则的度数为 ． 12．如图，，平分，，，则 度． 13．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 14．如图，在中，直线交于点，交于点，将沿直线折叠，使点落在点的位置．若，，则的度数是 ． 15．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 16．在中，，将沿着射线方向平移得到，连接． （1）如图，若平分，则 ． （2）若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 三、解答题 17．如图，已知∠B＝∠C，AD//BC．求证：AD是∠CAE的平分线． 18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与交于点G，，，求证：． 19．如图，点A，B，C在同一直线上，．求证：． 证明：（已知）， ______________（_______）． _______（_______）． ， _______=_______（_______）． （_______）． 20．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且．求证：． 证明：平分 （ ①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （ ④）． 21．将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中，，，）设． (1)若，说明； (2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若，求的度数． 22．如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 23．如图，已知，，点P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D． (1)求的大小． (2)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，的大小是_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $