专题01一元一次不等式及其性质复习讲义(知识梳理+11大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题01一元一次不等式及其性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.识记：熟记各类不等号，区分不等式的解与解集。 2.理解：掌握不等式基本性质，明确负数乘除必须变号。 3.掌握：熟知一元一次不等式定义，牢记完整解题步骤。 1.运用：结合生活情境，准确列出不等关系式。 2.运算：依托不等式性质，规范完成式子变形与求解。 3.实操：借助数轴，标准表示不等式对应解集。 4.应用：结合实际题型，利用一元一次不等式解题。 1.规避：避开移项、去分母、系数化 1 等常见错误。 2.规范：统一解题书写格式，保证步骤完整严谨。 3.铺垫：巩固本节核心基础，衔接后续不等式组内容。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04.不等式的解集 题型05.求一元一次不等式的解集 题型06.数轴上表示不等式解集 题型07.求一元一次不等式整数解 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 解答题5题 不等式及其性质 —— 不等关系的 “铁律” 知识点01:不等式的概念（一眼分清等式 vs 不等式） 不等式：用 ＞、＜、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 知识点02:不等式的解与解集（极易混！必背） 不等式的解：能让不等式成立的一个具体数值（单个值）。 不等式的解集：所有解的全体（一个范围）。 解不等式：求解集的过程。 一句话区分：解是点，解集是线 / 区间。 知识点03:不等式的三大基本性质（重中之重！考试必坑） 设 ab，则： 性质 1（加减不变号）a±mb±m ✅两边同加 / 减同一个数，不等号方向不变。 性质 2（乘除正数不变号） 若 m0，则 ambm,  ✅乘除正数，方向不变。 性质 3（乘除负数必变号！易错之王） 若 m0，则 ambm, ​⚠️ ♦乘除负数，不等号必须反向！（考试最爱挖坑） 补充两个基础性质. 反对称性：a>b⟺b<a 传递性：a>b, b>c⇒a>c 知识点04:解集的数轴表示（数形结合必考） 空心圈 ○：不含这个点（对应 ＞、＜） 实心点 ●：包含这个点（对应 ≥、≤） 一元一次不等式 —— 不等式里的 “最简王者” 知识点05:一元一次不等式的定义（3 个条件缺一不可） 同时满足：只含一个未知数 未知数的次数是1 两边都是整式 一般形式：ax+b>0（或＜、≥、≤），且 a0。 知识点06:解一元一次不等式的 “标准六步”（类比方程，仅 1 处不同） 口诀：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1→数轴表示 1.去分母：两边同乘各分母最小公倍数 ♦乘负数时，不等号变向！ 2.去括号：括号前是负号，里面全变号 3.移项：移项必变号，不移不变号 4.合并同类项：化为最简 ax>b 形式 5.系数化为 1： a>0：方向不变 a<0：方向反转（高频易错点） 6.数轴表示解集：空心 / 实心 + 方向 知识点07:与一元一次方程的对比（一眼抓差异） 对比项 一元一次方程 一元一次不等式 连接符号 ＝ ＞、＜、≥、≤ 解的形式 唯一解 x=a 解集（范围） 乘除负数 等号不变 必须变号 常见易错 “雷区”（考前必看，避开即满分） 1.系数化为 1 时，负数忘了变号（错率最高） 2.数轴表示：空心 / 实心搞反 3.去分母时，漏乘不含分母的项 4.关键词翻译错：“至少”→ ≥ “至多”→ ≤ “不低于”→ ≥ “不超过”→ ≤ 题型01.不等式的定义 【典例】如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【跟踪专练2】一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 题型02.不等式的性质 【典例】设，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【跟踪专练2】如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03.一元一次不等式的定义 【典例】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若是关于的一元一次不等式，则________． 【跟踪专练2】当_____时，不等式是一元一次不等式． 题型04.不等式的解集 【典例】的值一定（    ） A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 【跟踪专练1】若是不等式的一个解，则n的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 题型05.求一元一次不等式的解集 【典例】若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 【跟踪专练2】若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 题型06.数轴上表示不等式解集 【典例】如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为________． 【跟踪专练1】不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07.求一元一次不等式整数解 【典例】不等式的正整数解为______． 【跟踪专练1】若方程的解是负数，则的最大整数值为___． 【跟踪专练2】关于x的不等式的最大正整数解是__________． 题型08.求一元一次不等式解的最值 【典例】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知实数，，．若，则的最大值为______． 【跟踪专练2】已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 题型09.列一元一次不等式 【典例】年智能电动汽车发展高层论坛上，某车企发布的新型电池技术要求其能量密度（）需满足续航需求．若行业标准要求电池能量密度不低于 ，则电池能量密度应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______． 【跟踪专练2】小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 题型10.一元一次不等式解决实际问题 【典例】杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于72分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 【跟踪专练2】合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 题型11.一元一次不等式解决几何问题 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【跟踪专练1】若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【跟踪专练2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答题】 1．解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． 2．某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同． (1)求A，B两种产品的单价； (2)在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 3．求不等式的最小整数解． 4．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 5．综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元一次不等式及其性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.识记：熟记各类不等号，区分不等式的解与解集。 2.理解：掌握不等式基本性质，明确负数乘除必须变号。 3.掌握：熟知一元一次不等式定义，牢记完整解题步骤。 1.运用：结合生活情境，准确列出不等关系式。 2.运算：依托不等式性质，规范完成式子变形与求解。 3.实操：借助数轴，标准表示不等式对应解集。 4.应用：结合实际题型，利用一元一次不等式解题。 1.规避：避开移项、去分母、系数化 1 等常见错误。 2.规范：统一解题书写格式，保证步骤完整严谨。 3.铺垫：巩固本节核心基础，衔接后续不等式组内容。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04.不等式的解集 题型05.求一元一次不等式的解集 题型06.数轴上表示不等式解集 题型07.求一元一次不等式整数解 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 解答题5题 不等式及其性质 —— 不等关系的 “铁律” 知识点01:不等式的概念（一眼分清等式 vs 不等式） 不等式：用 ＞、＜、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 知识点02:不等式的解与解集（极易混！必背） 不等式的解：能让不等式成立的一个具体数值（单个值）。 不等式的解集：所有解的全体（一个范围）。 解不等式：求解集的过程。 一句话区分：解是点，解集是线 / 区间。 知识点03:不等式的三大基本性质（重中之重！考试必坑） 设 ab，则： 性质 1（加减不变号）a±mb±m ✅两边同加 / 减同一个数，不等号方向不变。 性质 2（乘除正数不变号） 若 m0，则 ambm,  ✅乘除正数，方向不变。 性质 3（乘除负数必变号！易错之王） 若 m0，则 ambm, ​⚠️ ♦乘除负数，不等号必须反向！（考试最爱挖坑） 补充两个基础性质. 反对称性：a>b⟺b<a 传递性：a>b, b>c⇒a>c 知识点04:解集的数轴表示（数形结合必考） 空心圈 ○：不含这个点（对应 ＞、＜） 实心点 ●：包含这个点（对应 ≥、≤） 方向口诀：大于向右画，小于向左画。 一元一次不等式 —— 不等式里的 “最简王者” 知识点05:一元一次不等式的定义（3 个条件缺一不可） 同时满足：只含一个未知数 未知数的次数是1 两边都是整式 一般形式：ax+b>0（或＜、≥、≤），且 a0。 知识点06:解一元一次不等式的 “标准六步”（类比方程，仅 1 处不同） 口诀：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1→数轴表示 1.去分母：两边同乘各分母最小公倍数 ♦乘负数时，不等号变向！ 2.去括号：括号前是负号，里面全变号 3.移项：移项必变号，不移不变号 4.合并同类项：化为最简 ax>b 形式 5.系数化为 1： a>0：方向不变 a<0：方向反转（高频易错点） 6.数轴表示解集：空心 / 实心 + 方向 知识点07:与一元一次方程的对比（一眼抓差异） 对比项 一元一次方程 一元一次不等式 连接符号 ＝ ＞、＜、≥、≤ 解的形式 唯一解 x=a 解集（范围） 乘除负数 等号不变 必须变号 常见易错 “雷区”（考前必看，避开即满分） 1.系数化为 1 时，负数忘了变号（错率最高） 2.数轴表示：空心 / 实心搞反 3.去分母时，漏乘不含分母的项 4.关键词翻译错：“至少”→ ≥ “至多”→ ≤ “不低于”→ ≥ “不超过”→ ≤ 题型01.不等式的定义 【典例】如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格． 【跟踪专练1】已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 【跟踪专练2】一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 题型02.不等式的性质 【典例】设，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，，故选项A不符合题意； 选项B，当，时，显然，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D符合题意． 【跟踪专练1】若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． 【跟踪专练2】如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 题型03.一元一次不等式的定义 【典例】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解： A． 含有两个未知数，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； B． 中未知数的最高次数是2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； C． 含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； D． 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边都是整式，满足一元一次不等式的定义，符合要求． 【跟踪专练1】若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 【跟踪专练2】当_____时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型04.不等式的解集 【典例】的值一定（    ） A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 【答案】D 【分析】本题利用初中平方数的非负性，推导代数式的取值范围，即可判断结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴的值一定不小于. 【跟踪专练1】若是不等式的一个解，则n的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，将代入原不等式，得到关于的不等式，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴将代入不等式，不等式成立，可得， 解得． ∵选项中只有满足， ∴的值可以是． 【跟踪专练2】已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 题型05.求一元一次不等式的解集 【典例】若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零指数幂的底数不能为，求解即可. 【详解】解：∵有意义， ∴ ，解得 【跟踪专练1】已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对不等式右侧变形，再根据解集的不等号方向变化判断x系数的符号，即可求解m的取值范围． 【详解】解： 原不等式的解集为， 解得． 【跟踪专练2】若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集得出，解答即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集为，即关于的一元一次不等式的解集为， ∴， 解得：． 题型06.数轴上表示不等式解集 【典例】如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴得：不等式组的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式，得； 在数轴上表示解集如图： 【跟踪专练2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 不等式的解集在数轴上表示为：． 题型07.求一元一次不等式整数解 【典例】不等式的正整数解为______． 【答案】，2 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的正整数即可． 【详解】解： 移项，得， 系数化为，得， ∴原不等式的正整数解为． 【跟踪专练1】若方程的解是负数，则的最大整数值为___． 【答案】 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据解是负数这一条件列出关于的不等式，解不等式后确定的最大整数解． 【详解】解：， ， ， 方程的解是负数， ， ， ． 为整数， 的最大整数解为． 【跟踪专练2】关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【答案】3 【分析】先按照一元一次不等式的解法求解不等式，得到不等式的解集后，再在解集中找出最大的正整数即可． 【详解】解： ∴该不等式的正整数解为， ∴该不等式的最大正整数解为． 题型08.求一元一次不等式解的最值 【典例】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【跟踪专练1】已知实数，，．若，则的最大值为______． 【答案】6 【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 【详解】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值． 【跟踪专练2】已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 题型09.列一元一次不等式 【典例】年智能电动汽车发展高层论坛上，某车企发布的新型电池技术要求其能量密度（）需满足续航需求．若行业标准要求电池能量密度不低于 ，则电池能量密度应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵题目要求电池能量密度不低于 ，“不低于”的数学含义是大于或等于， ∴电池能量密度满足的不等关系为． 【跟踪专练1】一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______． 【答案】 【分析】设每次搬运x箱货物，根据总重量不超过电梯额定载重量列出不等式即可． 【详解】解：设每次搬运x箱货物，由题意得， ． 【跟踪专练2】小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 【答案】 【分析】设小聪购买x支钢笔，则可得到笔记本的购买数量为本，根据总价等于单价乘购买数量，结合总花费不超过120元，即可列出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设小聪购买x支钢笔，则购买了本笔记本， 根据题意得：． 题型10.一元一次不等式解决实际问题 【典例】杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于72分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，关键是准确表示总得分并理解“不低于”的含义(即大于等于)．首先根据答对题数得出答错或不答的题数，再推导总得分的表达式，最后根据“得分不低于分”的条件列出不等式． 【详解】解：∵答对了道题，总题数为道， ∴答错或不答的题数为道； 根据题意，可列出不等式． 故选：D． 【跟踪专练1】小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 【答案】八 【详解】解：设该卫衣打折销售， 依题意得， 解得， 即至多可以打八折． 【跟踪专练2】合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 【答案】B 【分析】设需要卖出套，根据题意列出不等式，进行求解即可. 【详解】解：设需要卖出套， 由题意，得， 解得， ∵是正整数， ∴最小为， 由题意，可以出售的明信片的套数至少为（套）； ， 故至少需要卖出728套才能达标. 题型11.一元一次不等式解决几何问题 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 【跟踪专练1】若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【答案】90 【详解】解：设这个角为，则其补角为， 由题意，得， 解得， 这个角最大为． 【跟踪专练2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【解答题】 1．解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． 【答案】，图见解析 【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 这个不等式的解集在数轴上表示如图： 2．某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同． (1)求A，B两种产品的单价； (2)在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 【答案】(1) A种产品单价为45元，B种产品单价为25元 (2) 最多购买A种产品5件 【分析】(1)设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元，根据总价相等的等量关系，列一元一次方程求解单价； (2)设购买A种产品件，则购买B种产品件，根据总预算不超过1600元的不等关系，列一元一次不等式，取最大整数解得到结果． 【详解】（1）解：设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元， 根据题意得：， 解得， 则， 答：A种产品单价为45元，B种产品单价为25元； （2）解：设购买A种产品件，则购买B种产品件， 根据题意得：， 解得， 所以的最大值为5； 答：最多购买A种产品5件． 3．求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 4．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 5．综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $