第3讲 相交线 培优讲义 2025--2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦初中数学相交线核心知识点，系统梳理对顶角与邻补角的定义及性质，垂线的意义、性质与垂线段最短原理，同位角、内错角、同旁内角的位置特征，构建从概念到性质再到位置关系识别的学习支架。 资料以结构化表格对比三类角的位置特征与图形结构，结合木匠弹墨线、投壶游戏等生活实例，培养学生几何直观与抽象能力。分层例题与巩固练习助力推理能力提升，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

第3讲 相交线 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第16章相交线进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了相交线相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 对顶角、邻补角 1.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 2.邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 3.对顶角的性质：对顶角相等． 4.邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 5.邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点二 垂线及垂线段 1.垂线的意义和性质 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 2.垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3） 实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 3.点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 知识点三 同位角、内错角、同旁内角 1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 要点：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在两条被截直线同旁，在截线同侧 形如字母“F” （或倒置） 内错角 在两条被截直线之内，在截线两侧 形如字母“Z” 同旁内角 在两条被截直线之内，在截线同侧 形如字母“U” 一．对顶角与邻补角（共15小题） 1．如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠BOC的度数是（　　） A．100° B．115° C．135° D．145° 【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝70°， ∴∠1＝∠2＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣∠1＝145°， 故选：D． 【点评】本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力． 2．如图，两条直线交于点O，若∠2+∠4＝100°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．125° C．120° D．110° 【分析】根据对顶角相等得∠2＝∠4＝50°，再根据邻补角的和为180°求∠3的度数即可． 【解答】解：∵∠2+∠4＝100°， ∠2＝∠4， ∴∠2＝∠4＝50°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°． 故选：A． 【点评】本题考查了对顶角，邻补角，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE＝70°，则∠AOE 的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【分析】利用角平分线的定义即可求得答案． 【解答】解：∵OA平分∠COE，∠COE＝70°， ∴∠AOE∠COE＝35°， 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【分析】根据邻补角的定义可求出∠BOC的度数，根据角平分线的定义可求出∠BOE的度数，即可得出答案． 【解答】解：∵∠BOC+∠AOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE． 故选：D． 【点评】本题主要考查了邻补角和角平分线的定义，熟练掌握邻补角和角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． 5．如图，木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等，反映了直线的一个基本事实是：　两点确定一条直线　 ． 【分析】根据直线的性质，即可解答． 【解答】解：如图，木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等，反映了直线的一个基本事实是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点评】本题考查了直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 6．如图，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝50°，则∠COE的度数是 　155°　 ． 【分析】直接利用邻补角的定义结合角平分线的定义得出答案． 【解答】解：∵∠BOC＝50°， ∴∠AOD＝50°，∠AOC＝130°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠DOE＝25°， ∴∠COE的度数是：∠AOC+∠AOE＝130°+25°＝155°． 故答案为：155°． 【点评】本题考查了邻补角以及角平分线的定义，掌握邻补角以及角平分线的定义是关键． 7．如图，直线AB，CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE平分∠AOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜360°）到OF．当∠AOF＝120°时，α是　82.5°或202.5°　 ． 【分析】分两种情况进行讨论：①OF是∠BOC之间；②OF在∠BOD之间，再结合角的和差进行求解即可． 【解答】解：①当OF在∠BOC的内部时，如图， ∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE＝∠EOC， ∴∠EOC＝37.5°， ∵∠AOF＝120°， ∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝45°， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝82.5°， 即α＝82.5°； ②当OF在∠BOD的内部时，如图， ∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE＝∠EOC， ∴∠AOE＝37.5°， ∵∠AOF＝120°， ∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157.5°， ∴α＝360°﹣∠EOF＝202.5°． 故答案为：82.5或202.5． 【点评】本题主要考查对顶角，补角，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF＝4：1，则∠AOE＝　135°　 ． 【分析】根据角平分线的定义得出∠BOD＝2∠BOF，∠BOF＝∠DOF，根据∠AOD：∠BOF＝4：1求出∠AOD：∠BOD＝4：2，根据邻补角互补求出∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，求出∠AOC＝60°，根据角平分线定义求出∠COE，再求出答案即可． 【解答】解：∵OF平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠BOF，∠BOF＝∠DOF， ∵∠AOD：∠BOF＝4：1， ∴∠AOD：∠BOD＝4：2， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOD＝120°，∠BOD＝60°， ∴∠AOC＝∠BOD＝60°， ∴∠BOF＝∠DOF30°， ∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝150°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COECOF， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝60°+75°＝135°， 故答案为：135°． 【点评】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义等知识点，能灵活运用知识点求出各个角的度数是解此题的关键． 9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝24°13′48″，则∠AOC＝　48.46　 °． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BOD＝2∠BOE，再根据对顶角相等解答． 【解答】解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠BOE＝2×24°13′48″＝48°27′36″＝48.46°， ∴∠AOC＝∠BOD＝48.46°． 【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 10．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠BOE＝36°，有下列结论：①∠AOC＝72°；②∠EOF＝90°；③∠AOD＝2∠COF；④∠AOD＝3∠BOE，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用角平分线的有关计算，平角的定义，对顶角相等来分别计算求解． 【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝36°， ∴∠DOE＝∠BOE＝36°， ∴∠DOB＝2∠BOE＝∠AOC＝36°×2＝72°， ∴①正确； ∵∠AOC＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝108°． ∵OF平分∠BOC， ∴∠BOF＝∠COF＝54°， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝90°， ∴②正确； ∵∠AOD＝∠BOC，∠BOF＝∠COF， ∴∠AOD＝2∠COF， ∴③正确； ∵∠AOD＝∠BOC＝108°，∠BOE＝36°， ∴∠AOD＝3∠BOE， ∴④正确． 综上所述，正确的有4个． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，平角的定义，理解角的相关知识是解答关键． 11．如图，直线AB，CD交于点O，∠DOF＝∠EOB＝90°，OD平分∠BOG，则下列角中，与∠DOG互余的是（　　） A．∠AOC B．∠COE C．∠EOF D．∠BOG 【分析】由∠DOF＝∠EOB＝90°，根据等角的余角相等可得∠BOD＝∠EOF，由∠DOF＝90°，可得∠COF＝90°，可得∠EOF与∠COE互余，根据OD平分∠BOG，可得∠DOG＝∠BOD，进而得出与∠DOG互余的是∠COE． 【解答】解：∵∠DOF＝∠EOB＝90°， ∴∠BOD＝∠EOF， ∵由∠DOF＝90°， ∴∠COF＝90°， ∴∠EOF+∠COE＝90°， ∵OD平分∠BOG， ∴∠DOG＝∠BOD， ∴∠DOG＝∠EOF， ∴∠DOG+∠COE＝90°， ∴与∠DOG互余的角是∠COE， 故选：B． 【点评】本题考查了余角、补角、角平分线，正确运用余角、补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 12．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，∠BOE：∠DOE＝2：3． （1）求∠BOE的度数； （2）若OF平分∠AOE，∠AOC与∠AOF相等吗？请说明理由． 【分析】（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x，根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC＝75°，即可求出x的值，从而求出∠BOE的度数； （2）根据邻补角互补求出∠AOE的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOF的度数，即可得出结论． 【解答】解：（1）设∠BOE＝2x， ∵∠BOE：∠DOE＝2：3， ∴∠EOD＝3x， ∵∠BOD＝∠AOC＝75°， ∴2x+3x＝75°， 解得x＝15°， ∴2x＝30°，3x＝45°， ∴∠BOE＝30°； （2）相等，理由如下： ∵∠BOE＝30°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝150°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF75°， ∵∠AOC＝75°， ∴∠AOF＝∠AOC． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 13．如图，直线AB，CD相交于点O，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，射线OD表示正西方向，即∠AOD＝90°，射线OE，OF的方向如图所示，其中∠EOF＝90°． （1）如图1， ①若射线OE的方向为北偏东35°，则射线OF的方向为　南偏东55°　 ． ②请说明∠AOF与∠COE互为补角． （2）如图2，OM平分∠COE，ON平分∠DOE，试猜想∠NOF与∠MOC的数量关系，请说明理由． 【分析】（1）①根据方向角可得∠AOE，结合已知计算即可；②根据互为补角的定义进行解答即可； （2）由OM平分∠COE，ON平分∠DOE，可得，，结合∠EOF＝90°，计算即可． 【解答】解：（1）①根据题意可得∠AOE＝35°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝55°， ∴射线OF的方向为南偏东55°． 故答案为：南偏东55°． ②∵∠AOD＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝∠COE， ∵∠AOF+∠BOF＝∠AOB＝180°， ∴∠AOF+∠COE＝180°， ∴∠AOF与∠COE互为补角． （2）∠NOF+∠MOC＝180°， 理由：∵OM平分∠COE， ∴（角平分线的定义）， ∵ON平分∠DOE， ∴（角平分线的定义）， ∵∠EOF＝90°， ∴∠NOF＝∠EOF+∠NOE180°﹣∠MOC， ∴∠NOF+∠MOC＝180°． 【点评】本题考查与余角、补角有关的计算，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，与方向角有关的计算题． 14．如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°． （1）求∠AOC的度数； （2）求∠EOF的度数． 【分析】（1）根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠BOE＝55°，∠COE＝90°，而∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣55°﹣90°＝35°， （2）∵∠DOE＝∠COE＝90°， ∴∠BOD＝90°﹣55°＝35°， 又∵DO平分∠BOF， ∴∠BOD＝∠DOF＝35°， ∴∠EOF＝55°+35°+35° ＝125°． 【点评】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的关键． 15．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠BOD＝36°． （1）∠AOC＝　36　 °； （2）求∠COF的度数； （3）与∠BOE互余的角有　∠BOD，∠AOC ． 【分析】（1）利用对顶角相等； （2）由（1）得出∠AOC＝36°，可求出∠AOE，再根据角平分线的定义得到∠AOF，再根据角的和差关系可求∠COF的度数； （3）由∠COE＝90°，得出∠EOD＝∠EOC＝90°，再根据余角的定义和性质求出即可； 【解答】解：（1）∵∠BOD＝36°，根据对顶角相等， ∴∠AOC＝36°， 故答案为：36°； （2）∵∠BOD＝36°，∠COE＝90°， ∴∠BOE＝54°，∠AOC＝36°， ∴∠AOE＝180°﹣54°＝126°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝63°， ∴∠COF＝63°﹣36°＝27°； （3）∵∠COE＝90°， ∴∠EOD＝∠EOC＝90°， ∴∠BOE+∠BOD＝90°， ∴∠BOE与∠BOD互为余角， ∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠BOE与∠AOC互为余角， ∴图中与∠BOE互余的角有∠BOD，∠AOC， 故答案为：∠BOD，∠AOC． 【点评】本题考查了余角和补角的定义以及性质，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．等角的补角相等．等角的余角相等．解题时认真观察图形是关键． 二．三线八角（共3小题） 16．如图，按各组角的位置判断错误的是（　　） A．∠1与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【解答】解：A、∠1和∠A是同旁内角，说法正确； B、∠3和∠4是内错角，说法正确； C、∠5和∠6不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误； D、∠2和∠5是同位角，说法正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的定义． 17．如图，直线a被直线b，c所截，下列是内错角的是（　　） A．∠1和∠5 B．∠4和∠7 C．∠3和∠5 D．∠3和∠8 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【解答】解：A、∠1与∠5是同位角，故此选项不符合题意； B、∠4与∠7不是内错角，故此选项不符合题意； C、∠3与∠5是内错角，故此选项符合题意； D、∠3与∠8是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 18．如图，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角． 已知∠β是∠α的关联角． （1）当∠α＝50°时，∠β＝　80°　 °； （2）当2∠α﹣∠β＝45°时，求∠β；并判断直线l1，l2的位置关系． 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）解2∠α﹣∠β＝45°与∠β＝∠α+30°构成的方程组，根据∠β和∠α的关系来确定直线l1，l2的位置关系即可． 【解答】解：（1）∵∠β是∠α的关联角，∠α＝50°， ∴∠β＝∠α+30°＝50°+30°＝80°． 故答案为：80°； （2）∵∠β是∠α的关联角， ∴∠β＝∠α+30° ∵2∠α﹣∠β＝45°， ∴2∠α﹣（∠α+30°）＝45° 解得：∠α＝75°， ∠β＝∠α+30°＝75°+30°＝105°， ∴∠β+∠α＝180°， ∴l1∥l2． 【点评】本题考查了角的计算，同位角、内错角、同旁内角，掌握相应的定义是解题的关键． 三．垂线与垂线段（共15小题） 19．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（　　） A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．线段PC的长是点C到直线AP的距离 C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段AC的长是点C到直线PA的距离 【分析】根据点到直线的距离的定义判断即可． 【解答】解：A、线段PC的长是点C到直线AP的距离，故此选项不符合题意； B、线段PC的长是点C到直线AP的距离，故此选项符合题意； C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故此选项不符合题意； D、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握这个定义是解题的关键． 20．如图，点P在∠AOB内部的一条射线上，PQ⊥OA，垂足为Q，且PQ＝4．已知点P到射线OB的距离为4，且∠OPQ＝68°则∠AOB的度数为（　　） A．22° B．44° C．45° D．68° 【分析】根据题意，可证Rt△POQ≌Rt△POE（HL），得到∠POQ＝∠POE，由直角三角形两锐角互余得到∠POQ＝22°，由此即可求解． 【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E， ∵PQ＝4．已知点P到射线OB的距离为4， ∴PQ＝PE，∠PQO＝∠PEO＝90°， ∵OP＝OP， ∴Rt△POQ≌Rt△POE（HL）， ∴∠POQ＝∠POE， 在Rt△POQ中，∠OPQ＝68°， ∴∠POQ＝90°﹣68°＝22°＝∠POE， ∴∠AOB＝∠POQ+∠POE＝44°， 故选：B． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 21．如图，直线AB，CD交于点O，OF⊥CD．若∠EOB＝90°，OD平分∠BOG，则下列角中，与∠DOG互余的是（　　） A．∠AOC B．∠COE C．∠EOF D．∠BOG 【分析】由垂直的定义可得，∠COF＝∠DOF＝90°；由余角的定义可得∠AOC+∠COE＝∠EOF+∠BOF＝90°，∠COE+∠EOF＝∠BOF+∠BOD＝90°，由等角的余角相等可得，∠AOC＝∠EOF＝∠BOD，因为OD平分∠BOG，所以∠AOC＝∠EOF＝∠BOD＝∠DOG，则与∠DOG互余的角是∠BOF，∠COE． 【解答】解：∵∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AOC+∠COE＝∠EOF+∠BOF＝90°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝∠DOF＝90°， ∴∠COE+∠EOF＝∠BOF+∠BOD＝90°， ∴∠AOC＝∠EOF＝∠BOD， ∵OD平分∠BOG， ∴∠DOG＝∠DOB， ∵∠AOC＝∠DOG， ∴∠AOC＝∠EOF＝∠BOD＝∠DOG， ∴与∠DOG互余的角是∠BOF，∠COE， 故选：B． 【点评】本题考查了余角、补角、角平分线，正确运用余角、补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CA的长度 B．线段CB的长度 C．线段CD的长度 D．线段DB的长度 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：∵CD⊥AB于点D， ∴点C到直线AB的距离是线段CD的长． 故选：C． 【点评】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义． 23．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD．给出下面四个结论： ①OE⊥OC； ②∠BOE与∠EOD互补； ③∠AOD+∠BOE﹣∠DOE＝90°； ④∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE． 上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ． 【分析】根据角平分线的定义和平角的定义，求出∠EOC，从而判断①的正误； 根据角平分线的定义求出∠AOE＝∠EOD，再根据平角定义判断②的正误即可； 观察图形可知：∠AOD＝∠AOE+∠DOE，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，∠AOD+∠BOD＝180°，从而求出∠AOD+∠BOE﹣∠DOE的度数，从而判断③的正误； 根据角平分线的定义证明∠AOD＝2∠DOE，∠BOC＝∠COD，然后求出∠AOC﹣∠BOC，从而判断④的正误即可． 【解答】解：∵A、O、B三点依次在同一直线上， ∴∠BOD+∠AOD＝180°， ∵OC平分∠BOD，OE平分∠AOD， ， ∴∠EOC＝∠DOE+∠COD ＝90°， ∴OE⊥OC， 故①的结论正确； ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠EOD， ∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠BOE+∠EOD＝180°， ∴∠BOE与∠EOD互补， 故②的结论正确； ∵∠AOD＝∠AOE+∠DOE，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOD+∠BOE﹣∠DOE ＝∠AOE+∠DOE+∠BOD+∠DOE﹣∠DOE ＝∠AOD+∠BOD ＝180°， 故③的结论错误； ∵OE平分∠AOD，OC平分∠BOD， ∴∠AOD＝2∠DOE，∠BOC＝∠COD， ∵∠AOC＝∠AOD+∠COD， ∴∠AOC＝2∠DOE+∠COD， ∴∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE+∠COD﹣∠COD＝2∠DOE， 故④的结论正确， 综上可知：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了角的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．3 B．4.8 C．5 D．6 【分析】根据垂线段最短可得当PC⊥AB时，线段PC的值最小，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【解答】解：由条件可得， 由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，线段PC的值最小， ∴此时有， ∴此时PC＝4.8， 即线段PC的最小值为4.8． 故选：B． 【点评】本题考查了垂线段最短、三角形的面积，熟练掌握垂线段最短是解题关键． 25．如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，M是边AB上的一个动点，连接CM．若CD＝6，则线段CM的长的最小值是　6　 ． 【分析】根据垂线段最短可得结论． 【解答】解：∵CD⊥AB，且CD＝6， 由题意可得：当点M与点D重合时，CM最短， 所以，CM的最小值为CD的长． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查点到直线的距离，正确进行计算是解题关键． 26．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是　垂线段最短　 ． 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【解答】解：小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【点评】本题主要考查了垂线的性质．熟练掌握该知识点是关键． 27．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝32°，则∠BOD的度数为　58　 °． 【分析】利用垂直得到互余的角，从而求得∠AOC，根据对顶角相等求得∠BOD的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOA＝90°， ∴∠EOC+∠AOC＝90°， ∵∠EOC＝32°， ∴∠AOC＝58°， ∴∠BOD＝∠AOC＝58°． 故答案为：58． 【点评】本题考查的是垂直、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握垂直、对顶角的定义． 28．直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠EOF＝54°． （1）求∠AOC的度数； （2）在∠AOD的内部作射线OG，使∠BOG＝162°，判断点O是否在直线FG上，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可； （2）根据垂直的定义，平角的定义得出∠BOG+∠BOF＝180°，即点F、点O、点G三点共线即可． 【解答】（1）解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠BOE＝2∠DOE， ∵OF⊥CD， ∴∠DOF＝90°＝2∠BOE+∠BOF， 即2∠BOE+∠BOF＝90°， ∵∠EOF＝54°＝∠BOE+∠BOF， ∴（2∠BOE+∠BOF）﹣（∠BOE+∠BOF）＝90°﹣54°， 即∠BOE＝36°， ∴∠AOC＝∠BOD＝2∠BOE＝72°； （2）证明：点O在直线FG上，理由： 由（1）得，∠BOD＝∠AOC＝72°， ∴∠BOF＝∠DOF﹣∠DOB＝90°﹣72°＝18°， 又∵∠BOG＝162°，且OG在∠AOD的内部， ∴∠BOG+∠BOF＝162°+18°＝180°， 即点F、点O、点G三点共线， ∴点O在直线FG上． 【点评】本题考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义以及角的和差关系是正确解答的关键． 29．图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，支撑轴长CD＝16cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE＝45°，求端点C到底座DE的距离． 【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰直角三角形的性质与勾股定理求解即可． 【解答】解：过点C作CF⊥DE于点F，如图所示： ∵∠CFD＝90°，∠CDE＝45°， ∴∠CDE＝∠DCF＝45°， ∴CF＝DF， ∴△CDF为等腰直角三角形， ∴CF2+DF2＝CD2， ∴（cm）， ∴端点C到底座DE的距离为． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数； （2）若∠COE：∠AOF＝2：3，求∠BOD的度数． 【分析】（1）根据∠DOE＝∠BOE+∠BOD，∠BOE＝90°，问题转化为求∠BOD的度数．OF平分∠AOD，则∠AOF＝∠DOF； （2）设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°，∠AOC＝（90﹣2x）°，∠AOD＝2∠AOF＝6x°，再根据∠AOC+∠AOD＝180°，则90﹣2x+6x＝180，求解得出x值，最后根据∠BOD＝∠AOC＝90﹣2x求解即可． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°． ∵∠COE＝50°， ∴∠AOC＝40°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°， ∵OF平分∠AOD， ∴； （2）∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°． ∵∠COE：∠AOF＝2：3， 设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°， ∴∠AOC＝（90﹣2x）°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠AOF＝6x°， ∵∠AOC+∠AOD＝180°， ∴90﹣2x+6x＝180， 解得：， ∴． 【点评】本题目考查垂直的定义，角平分线有关的角的计算，邻补角有关的角的计算，熟练掌握角的和差倍分的计算是解题的关键． 31．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OF⊥AB，点O为垂足，OE平分∠COB． （1）若∠BOE＝67°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE：∠COF＝5：4，求∠EOF的度数． 【分析】（1）根据角平分线的性质得∠BOC＝134°，根据邻补角的定义得∠AOC＝46°，根据垂直的定义得∠AOF＝90°，即可得出答案； （2）设∠BOE＝5x，则∠COF＝4x，根据角平分线的性质可得∠BOF＝6x，根据∠BOF＝90°，所以6x＝90°，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵OE平分∠COB，∠BOE＝67°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝134°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝46°， ∵OF⊥AB， ∴∠AOF＝90°， ∴∠COF＝90°﹣∠AOC＝44°； （2）∵∠BOE：∠COF＝5：4， ∴设∠BOE＝5x，则∠COF＝4x， ∵OE平分∠COB， ∴∠COE＝∠BOE＝5x， ∴∠OEF＝x， ∴∠BOF＝6x， ∵∠BOF＝90°， ∴6x＝90°， ∴x＝15°， ∴∠EOF＝15°． 【点评】本题主要考查了垂线，邻补角、对顶角及角平分线的定义，熟练掌握垂线，邻补角、对顶角及角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． 32．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O． （1）若∠BOE＝45°，求∠AOC的度数； （2）若∠AOC：∠BOE＝2：3，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，如果过点O作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与点O不重合），求∠EOF的度数． 【分析】（1）根据垂线的定义可得∠EOD＝90°，从而可得∠BOD＝45°，再根据对顶角相等即可求解； （2）由垂线的定义可得∠EOD＝∠COE＝90°，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，再结合题意可得∠BOD：∠BOE＝2：3，再由∠BOE+∠BOD＝90°，可得BOE＝54°，再由平角的定义求解即可； （3）由（2）可得，BOE＝54°，根据垂线的性质可得∠BOF＝90°，分两种情况：点F在直线AB的下方，点F在直线AB的上方，即可求解． 【解答】解：（1）∵EO⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∵∠BOE＝45°， ∴∠BOD＝∠AOC＝45°， （2）∵EO⊥CD， ∴∠EOD＝∠COE＝90°， ∴∠BOE+∠BOD＝90°， ∵∠AOC：∠BOE＝2：3，∠BOD＝∠AOC， ∴∠BOD：∠BOE＝2：3， ∴， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝126°； （3）如图，当点F在直线AB的下方， ∵MN⊥AB， ∴∠BOF＝90°， 由（2）可得，BOE＝54°， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝54°+90°＝144°； 当点F在直线AB的上方， ∵MN⊥AB， ∴∠BOF＝90°， 由（2）可得，BOE＝54°， ∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°， 综上所述，∠EOF的度数为144°或36°． 【点评】本题考查角几何图形中角的计算、余角的定义、垂线的定义、对顶角相等，根据题目中的条件和图形进行分类讨论是解题的关键． 33．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）当点E，F在直线AB的同侧； ①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数； ②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由； （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数； ②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论； （2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可． 【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O， ∴∠COF＝90°， ∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°， ∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°， ∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°； ∴∠EOF的度数为45°； ②平分，理由如下： ∵OF平分∠BOE， ∴∠EOF＝∠FOB， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°， ∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE． （2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②， ①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°； 当点E和点F在直线AB的异侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②， ①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°． 综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°． 【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合． 1．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OC平分∠AOE，若∠EOB＝54°，则∠BOD的度数为　63°　 ． 【分析】根据邻补角、对顶角的定义以及角平分线的定义进行计算即可． 【解答】解：∵∠EOB＝54°，∠EOB+∠AOE＝180°， ∴∠AOE＝180°﹣54°＝126°， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC∠AOE＝63°， ∴∠BOD＝∠AOC＝63°． 故答案为：63°． 【点评】本题考查邻补角、对顶角以及角平分线的定义，掌握对顶角相等，理解邻补角、角平分线的定义是正确解答的关键． 2．如图，直线AB、CD相交于点E，∠AED＝130°，则直线AB、CD的夹角是　50　 °； 若BM⊥CD于点M，MN⊥AB于点N，则线段EM 的长度表示点E到直线MB的距离． 【分析】根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【解答】解：由条件可知∠DEB＝180°﹣130°＝50°， ∵BM⊥CD于点M， ∴线段EM的长度表示点E到直线MB的距离． 故答案为：50，EM． 【点评】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是关键． 3．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝　108　 °． 【分析】先根据对顶角性质得∠BOD＝∠AOC＝36°，再根据角平分线定义得∠DOE∠BOD＝18°，然后根据OE⊥OF得∠EOF＝90°，最后根据∠DOF＝∠DOE+∠EOF即可得出答案． 【解答】解：∵直线AB与CD交于点O，∠AOC＝36°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE∠BOD36°＝18°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝18°+90°＝108°． 故答案为：108． 【点评】此题主要考查了垂直定义，角平分线定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解垂直定义，角平分线定义，熟练掌握对顶角的性质，角的计算是解决问题的关键． 4．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE． （1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数； （2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　77°　 ． 【分析】（1）求解∠AOC＝∠BOC＝90°，，，结合角平分线的定义进一步求解即可； （2）设∠AOC＝x°，可得，，，∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，进一步列方程求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵∠AOE：∠COE＝2：3， ∴，， ∴∠BOE＝90°+54°＝144°， ∵OF平分∠BOE， ∴． （2）设∠AOC＝x°，则，，， ∵∠BOF＝∠AOC+12°， ∴∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°， ∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴， 解得：x＝65， ∴， ∴∠BOE＝180°﹣26°＝154°， ∴． 【点评】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 1．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（　　） A．线段PB的长是点P到直线l的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离 【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，原说法正确，故此选项不符合题意； B、PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项不符合题意； C、线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离，原说法不正确，故此选项符合题意； D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若OA平分∠COE，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° 【分析】根据垂线的定义得出∠COE＝90°，根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再根据邻补角互补即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵OA平分∠COE， ∴∠AOE45°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣45°＝135°， 故选：B． 【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案． 【解答】解：由题意得PQ⊥MN， P到MN的距离是PQ垂线段的长度， 故选：A． 【点评】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键． 4．如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝2AB，P在线段BC上连接AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（　　） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 【分析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围进而得出答案． 【解答】解：∵过点A作AB⊥l于点B，AC＝2AB，P在线段BC上连接AP，AB＝3， ∴AC＝6， ∴3≤AP≤6， 故AP不可能是6.5， 故选：D． 【点评】此题主要考查了垂线段最短，正确得出AP的取值范围是解题关键． 5．如图所示，已知OA⊥BC，垂足为点A，连接OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO＝90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据点到直线的距离，两点之间的距离，垂线段最短逐个判断即可． 【解答】解：线段OB的长度是O、B两点的距离，故①错误； 线段AB的长度表示点B到OA的最短距离，故②正确； ∵OA⊥BC， ∴∠CAO＝90°，故③正确； 线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离，故④正确； 错误的有①，共1个， 故选：A． 【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，两点之间的距离，垂线段最短等知识点，注意：①从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫做这点到直线的距离，②连接两点之间线段的长度，叫两点之间的距离． 6．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝　134°　 ． 【分析】首先根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再根据角的和差关系可得∠COB＝134°，再根据对顶角相等可得∠AOD的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∵∠COE＝44°， ∴∠COB＝90°+44°＝134°， ∴∠AOD＝134°， 故答案为：134°． 【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，关键是算出∠EOB的度数，掌握对顶角相等． 7．如图，∠ACB＝90°，AB⊥CD，垂足为D，线段 BD 的长表示点B到直线CD的距离． 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：∵AB⊥CD，垂足为D， ∴线段BD的长表示点B到直线CD的距离． 故答案为：BD． 【点评】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠EOD，若∠AOC＝40°，则∠FOB＝　65　 °． 【分析】先根据对顶角性质得∠BOD＝∠AOC＝40°，再根据OE⊥AB得∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝50°，然后根据角平分线定义得∠FOD∠EOD＝25°，据此根据∠FOB＝∠FOD+∠BOD可得出答案． 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°， ∴∠BOD＝∠AOC＝40°， ∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°， ∵OF平分∠EOD， ∴∠FOD∠EOD50°＝25°， ∴∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝25°+40°＝65°． 故答案为：65． 【点评】此题主要考查了垂直定义，角平分线定义，对顶角性质，角的计算，理解垂直定义，角平分线定义，熟练掌握对顶角性质，角的计算是解决问题的关键． 9．如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是　垂线段最短　 ． 【分析】利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可． 【解答】解：如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短 【点评】此题考查了垂线段最短，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 10．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段 AD 的长度表示点A到直线CD的距离． 【分析】因为CD⊥AB，所以AD⊥CD，所以线段AD的长度表示点A到直线CD的距离． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∴线段CD的长度表示点A到直线CD的距离， 故答案为：AD． 【点评】本题考查了点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义． 11．如图，直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD＝40°，∠COF＝98°，求AOE的度数． 【分析】由对顶角相等得∠DOE＝98°，进而得∠BOE＝58°，由垂直定义得∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，代入计算． 【解答】解：∵∠COF＝98°， ∴∠COF＝∠DOE＝98°， ∵∠DOE＝∠BOD+∠BOE，∠BOD＝40°， ∴∠BOE＝98°﹣40°＝58°， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOB＝∠BOE+∠AOE， ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝90°﹣58°＝32°． 【点评】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 12．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据∠CON与∠NOD互补，即可解答； （2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数． 【解答】（1）证明：∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°， ∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°． ∴∠NOD的度数为90°； ∴ON⊥CD （2）解：∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∵∠BOC＝4∠1， ∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1， 解得∠1＝30°， ∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 13．已知：如图，AB，CD，EF三直线相交于一点O，且OE⊥AB，∠COE＝20°，OG平分∠BOD，求∠BOG的度数． 【分析】结合图形，根据垂直的定义、角平分线的定义和对顶角的性质，可解此题． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵∠COE＝20°， ∴∠AOC＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∵OG平分∠BOD， ∴∠BOG∠BOD＝35°． 【点评】本题利用垂直的定义，对顶角的性质及角平分线的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，OF平分∠COB，∠EOD＝28°，求： （1）∠DOB的度数． （2）∠AOC的度数． （3）∠BOC的度数． （4）∠COF的度数． 【分析】（1）由垂直的定义定义即可计算； （2）由对顶角相等即可得到答案； （3）由邻补角的性质即可计算； （4）由角平分线定义即可计算． 【解答】解：（1）∵OE⊥AB于O， ∴∠EOB＝90°， ∴∠DOB＝∠EOB﹣∠DOE＝90°﹣28°＝62°； （2）∠AOC＝∠DOB＝62°； （3）∵∠BOC+∠BOD＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣62°＝118°； （4）∵OF平分∠BOC， ∴∠COF∠BOC118°＝59°． 【点评】本题考查对顶角，邻补角，垂线，角平分线定义，掌握以上知识点是解题的关键． 15．如图，要从小河l引水到村庄B，请设计并作出一条最短路线，并说明理由． 【分析】根据垂线段最短的性质直接得出答案． 【解答】解：如图， 沿BA引水距离最短， 理由：垂线段最短． 【点评】此题主要考查了应用与设计作图，正确掌握垂线段的性质是解题关键． 16．作图并写出结论： 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO的延长线于M、N，线段 PN 的长表示点P到直线BO的距离；线段 PM 的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线 PN 的距离；点P到直线OA的距离为 　0　 ． 【分析】先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可． 【解答】解：如图所示： 线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0， 故答案为：PN，PM，PN，0． 【点评】本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 相交线 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第16章相交线进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了相交线相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 对顶角、邻补角 1.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 2.邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 3.对顶角的性质：对顶角相等． 4.邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 5.邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点二 垂线及垂线段 1.垂线的意义和性质 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 2.垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3） 实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 3.点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 知识点三 同位角、内错角、同旁内角 1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 要点：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在两条被截直线同旁，在截线同侧 形如字母“F” （或倒置） 内错角 在两条被截直线之内，在截线两侧 形如字母“Z” 同旁内角 在两条被截直线之内，在截线同侧 形如字母“U” 一．对顶角与邻补角（共15小题） 1．如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠BOC的度数是（　　） A．100° B．115° C．135° D．145° 2．如图，两条直线交于点O，若∠2+∠4＝100°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．125° C．120° D．110° 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE＝70°，则∠AOE 的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 5．如图，木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等，反映了直线的一个基本事实是：　 　 ． 6．如图，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝50°，则∠COE的度数是 　 　 ． 7．如图，直线AB，CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE平分∠AOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜360°）到OF．当∠AOF＝120°时，α是　 　 ． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF＝4：1，则∠AOE＝　 　 ． 9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝24°13′48″，则∠AOC＝　 　 °． 10．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠BOE＝36°，有下列结论：①∠AOC＝72°；②∠EOF＝90°；③∠AOD＝2∠COF；④∠AOD＝3∠BOE，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，直线AB，CD交于点O，∠DOF＝∠EOB＝90°，OD平分∠BOG，则下列角中，与∠DOG互余的是（　　） A．∠AOC B．∠COE C．∠EOF D．∠BOG 12．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，∠BOE：∠DOE＝2：3． （1）求∠BOE的度数； （2）若OF平分∠AOE，∠AOC与∠AOF相等吗？请说明理由． 13．如图，直线AB，CD相交于点O，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，射线OD表示正西方向，即∠AOD＝90°，射线OE，OF的方向如图所示，其中∠EOF＝90°． （1）如图1， ①若射线OE的方向为北偏东35°，则射线OF的方向为　 　 ． ②请说明∠AOF与∠COE互为补角． （2）如图2，OM平分∠COE，ON平分∠DOE，试猜想∠NOF与∠MOC的数量关系，请说明理由． 14．如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°． （1）求∠AOC的度数； （2）求∠EOF的度数． 15．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠BOD＝36°． （1）∠AOC＝　 　 °； （2）求∠COF的度数； （3）与∠BOE互余的角有　 　 ． 二．三线八角（共3小题） 16．如图，按各组角的位置判断错误的是（　　） A．∠1与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角 17．如图，直线a被直线b，c所截，下列是内错角的是（　　） A．∠1和∠5 B．∠4和∠7 C．∠3和∠5 D．∠3和∠8 18．如图，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角． 已知∠β是∠α的关联角． （1）当∠α＝50°时，∠β＝　 　 °； （2）当2∠α﹣∠β＝45°时，求∠β；并判断直线l1，l2的位置关系． 三．垂线与垂线段（共15小题） 19．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（　　） A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．线段PC的长是点C到直线AP的距离 C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段AC的长是点C到直线PA的距离 20．如图，点P在∠AOB内部的一条射线上，PQ⊥OA，垂足为Q，且PQ＝4．已知点P到射线OB的距离为4，且∠OPQ＝68°则∠AOB的度数为（　　） A．22° B．44° C．45° D．68° 21．如图，直线AB，CD交于点O，OF⊥CD．若∠EOB＝90°，OD平分∠BOG，则下列角中，与∠DOG互余的是（　　） A．∠AOC B．∠COE C．∠EOF D．∠BOG 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CA的长度 B．线段CB的长度 C．线段CD的长度 D．线段DB的长度 23．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD．给出下面四个结论： ①OE⊥OC； ②∠BOE与∠EOD互补； ③∠AOD+∠BOE﹣∠DOE＝90°； ④∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE． 上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．3 B．4.8 C．5 D．6 25．如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，M是边AB上的一个动点，连接CM．若CD＝6，则线段CM的长的最小值是　 　 ． 26．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是　 　 ． 27．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝32°，则∠BOD的度数为　 　 °． 28．直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠EOF＝54°． （1）求∠AOC的度数； （2）在∠AOD的内部作射线OG，使∠BOG＝162°，判断点O是否在直线FG上，并说明理由． 29．图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，支撑轴长CD＝16cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE＝45°，求端点C到底座DE的距离． 30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数； （2）若∠COE：∠AOF＝2：3，求∠BOD的度数． 31．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OF⊥AB，点O为垂足，OE平分∠COB． （1）若∠BOE＝67°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE：∠COF＝5：4，求∠EOF的度数． 32．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O． （1）若∠BOE＝45°，求∠AOC的度数； （2）若∠AOC：∠BOE＝2：3，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，如果过点O作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与点O不重合），求∠EOF的度数． 33．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）当点E，F在直线AB的同侧； ①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数； ②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由； （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 1．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OC平分∠AOE，若∠EOB＝54°，则∠BOD的度数为　 　 ． 2．如图，直线AB、CD相交于点E，∠AED＝130°，则直线AB、CD的夹角是　 　 °； 若BM⊥CD于点M，MN⊥AB于点N，则线段　 　 的长度表示点E到直线MB的距离． 3．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝　 　 °． 4．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE． （1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数； （2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　 　 ． 1．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（　　） A．线段PB的长是点P到直线l的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离 2．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若OA平分∠COE，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° 3．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　） A． B． C． D． 4．如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝2AB，P在线段BC上连接AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（　　） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 5．如图所示，已知OA⊥BC，垂足为点A，连接OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO＝90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝　 　 ． 7．如图，∠ACB＝90°，AB⊥CD，垂足为D，线段 　 　 的长表示点B到直线CD的距离． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠EOD，若∠AOC＝40°，则∠FOB＝　 　 °． 9．如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是　 　 ． 10．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段 　 　 的长度表示点A到直线CD的距离． 11．如图，直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD＝40°，∠COF＝98°，求AOE的度数． 12．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 13．已知：如图，AB，CD，EF三直线相交于一点O，且OE⊥AB，∠COE＝20°，OG平分∠BOD，求∠BOG的度数． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，OF平分∠COB，∠EOD＝28°，求： （1）∠DOB的度数． （2）∠AOC的度数． （3）∠BOC的度数． （4）∠COF的度数． 15．如图，要从小河l引水到村庄B，请设计并作出一条最短路线，并说明理由． 16．作图并写出结论： 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO的延长线于M、N，线段 　 　 的长表示点P到直线BO的距离；线段 　 　 的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线 　 　 的距离；点P到直线OA的距离为 　 　 ． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $