2026年学科素养评价练习数学(四)-【衡水金卷·先享题·信息卷】2026年高考数学学科素养评价练习（B卷）

评价练习 数学（四） 2026年学科素养评价练习 数学（四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 有限数集间的运算 易 0.82 复数的运算，涉及复 2 选择题 5 0.75 数的模 3 选择题 两圆的位置关系 易 0.70 4 选择题 总体方差的计算 中 0.60 由复合函数的值域 5 选择题 5 中 0.55 求参 6 选择题 5 条件概率 中 0.50 抛物线性质的综合 选择题 5 中 0.32 应用 8 选择题 5 比较大小 难 0.28 9 选择题 6 不等式的性质 中 0.60 选择题 利用导数研究三次 10 中 0.50 函数的性质 以正方体为载体，截 11 选择题 6 面问题及中点的轨 L 难 0.28 迹问题 12 填空题 利用诱导公式求值 0.72 13 利用向量解决参数 填空题 中 0.55 取值范围问题 14 填空题 5 求椭圆的离心率 中 0.30 等比数列的证明，错 15 解答题 中 0.60 位相减法求和 社会热点问题，相互 独立事件的概率，利 16 解答题 15 / 中 0.50 用期望解决决策性 问题 ◆1 评价练习 数学（四） 以锥体为载体，证明 线线垂直，由线面角 17 解答题 15 中 0.40 的正弦值求参数 的值 直线与双曲线的位 18 解答题 17 难 0.26 置关系，定值问题 以三角函数为载体 19 解答题 17 的导数问题，证明不 难 0.22 等式 ·2 >回 评价练习 数学（四） 参考答案及解析 数学（四）》 一、选择题 入y=2x,得t2=4,又t>0,所以t=2,则P(2,2),所 1.D【解析】由题得A={1,2,3,4,5},故AUB={1 2,3,4,5,6,71.故选D. 以直线PF的斜率长=2是-子放选C 2.A【解析】因为4x=5-3iz,所以(4十3i)x=5,则之 22 5 5(4-3i) 8.D【解析】对于A,当c=1时，2+lna=3+lnb= 是，所以1= 5,易知f(x)=2r十lnx与g(x)=3r十lnx均为增函 数，且f(2)=4+ln2<5,g(1)=3<5,所以a>2,b> ()+(一)=1.故选A 1,则a十b>3,故A正确；对于B,2a+lna=3+lnb 3.A【解析】由题得圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,圆 >2十lnb,即f(a)>f(b),所以a>b,同理g(b)=5 心为C(1,1),半径为m=1,圆C2:(x十3)2十(y十 十lnc>3十lnc=g(c),所以b>c,所以a>b>c,故 2)2=16,圆心为C2(-3,一2)，半径为r2=4,所以 B正确：对于C,当ac=1时，2十na=5立十n合 1C,C21=√/(-3-1)2+（-2-1)F=5=n十2， 5-lna,即2十2lna-5左=0，显然h(x)=2+ 则两圆外切.故选A 21nx-5是增函数，而h(2)=4+21n2-√5>0= 4.C【解析】这60人得分的平均值x=20X9十40×6 60 h(a),所以0<a<2,则c=>号，故C正确：对于 a -7,板这60人得分的方差-器×[5+0-)门十 D,当ac=1时，由a十c>号，得上+c>号，即22 铝×[2+6-7)]=5.故选C 5c+2>0,解得c<号或>2，由BC选项可知)<g 5.A【解析】由sinx∈[-1,1，且a>0,得f(x)的值 <a<2,c<号或c>2与之矛盾，故D错误，故选D. 域为[3-“十a2,34十a2],故 3+公=青，所以g 二、选择题 3a+a2=4 9.ACD【解析】由b>bc>0,得0<c<1,故A正确；取 3·-令，解得3=3或-子（舍）所以a=1,经检验 1 c= a=合b=子，则=（分）广<（分）=6， 符合题意，故选A. 6B【解折】由题得PAB)=品，P(A- 则a<,故B错误，因为0<c<l,所以>a,故 P(B)= 2,所以T= 1 P(A B)P(B A) P(AB) a=灰—6a-b,放C正确：a<a·a1=a, 1 1 c P(AB).P(AB) 1 故D正确.故选ACD. P(B)P(A) P(AB) 5 P(AB) P(AP(B) 10.ACD【解析】对于A,因为f(x)=x3-3x一3，所 以f(x)=3x2-3=3(x2-1),则当x∈(-oo, (分1]，所以该校学生性别与饮食习惯的关联性定 -1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(-1,1) 时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，十o∞)时， 向偏强，故选B f'(x)>0,f(x)单调递增，故-1与1均为f(x)的 7.C【解析】由题可得F(号，0)，PF=2p+ 极值点，故A正确；对于B,因为f(-1)=-1+3 3=一1<0，且f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在 号，设fp)=2p+号，p>0,则f(p)=8p十合> (-1,1)上单调递减，所以当x∈(-∞，1)时，f(x) <0,又f(x)在(1，十∞)上单调递增，此时f(x)只 0,故fp)在(0，十∞)上单调递增，因为f1)=号， 有一个零点，则f(x)只有1个零点，故B错误；对于 C,因为1<2<π，且f(x)在(1，十∞)上单调递增， 故b=1,所以抛物线E:y=2z,F(号，0），P(2,0代 所以f(π)>f(2),故C正确；对于D,易得(0) 回 数学（四） 参考答案及解析 =-3,f(0)=-3,所以曲线y=f(x)在点(0，f(0) 对于D,将△BCD沿BD向下翻折与平面BDD1B 处的切线方程为y一(-3)=一3(x一0)，即y 共面，连接BC,则BP十PC的最小值即为线段 -3(x十1)，过点(-1,0)，故D正确.故选ACD. BC的长度，P为BC与BD的交点，易知∠BBC 11.BCD【解析】对于A,当A,P,C三点共线时，P为 =135°，所以由余弦定理得B,C2=BB十BC BD中点，则MP-VAA+(分AD)=号AD 2BB1·BCcos∠B1BC=8+4√2，则BC= 2√J2+√2，故D正确.故选BCD. √5，解得AD=2,所以正方体的体积V=AD=8,故 D A错误；对于B,记AB中点为E,连接CM,CE, ME,显然有CM∥CE,ME⊥CE,故点C在a上， 则截面图形为矩形CEMC,又CC=2,所以CM= √5，则截面图形的面积为CC×CM=2√5，故B 正确； A 01 三、填空题 12.-1 【解析】o[(2026+专)m-a]=cos(号 D a)=o[2x-受-(e+若)门=os[受+(a+ EX- P 晋)]=-s如(a+吾)=-子 对于C,取MB中点F,MD中点G,连接FG,易知点 13.[1,2]【解析】因为|a+b=√3，所以3=a2+ Q的轨迹为线段FG,FG=BD=厄，易知BC1 2a·b+=2+2a…b,解得a…b=分，故1≥a+ MB,所以FC=VBC+BF= 2(1-A)a·b+(1-)2b2=1+1-λ+(1-1)2= 2 ,因为点G到平 -3入十3，即2-3λ十2≤0，解得1≤λ≤2，所以1的 面BBCC的距离为号，所以CG=√1+1+号 取值范围为[1,2]. ,则FC+FG-CG=4+2-￥ 【解析】设∠AF1F2=9,|AF2|=t,则 =3>0, A 4 CG+FG-rC=只+2-头-=1>0，所以∠CFG, ∠FAF,=20,∠AF,F=元-30(0<0<号) ∠CGF均为锐角，故当CQ⊥FG时，CQ取得最小 1A=2a-,由正弦定理得 值，因为cos∠CFG= FC2+FG2-CG2 AF AF 2FC·FG sin∠AF:F sin∠AFE,因为|EF:|=2c,所 V42 2a-t t ,所以sin∠CFG 以.2c2%=sm39sin日因为sin30=sin(20+A)= 2×②Tx2 14 2 sin 20cos 0 cos 20sin 0=2sin 0cos20+sin 0(1- V1-cos'∠CFG=V15 2sin6)=2sin 0-2sin0+sin 0-2sin0=3sin 0- 14 ,故CQ的最小值为 4sin0,所以2g-1=n39=3-4sin'a,所以g sin FCsin∠CFG=,故C正确： 2(1-sinm20)=2cos28,因为 -2sin 0 t sin20=cos0,所以 e=c 1 1 3 2cos02cos∠AEE= 四、解答题 15,解：(1)因为S=am+1-1, 所以Sn十1=aa+1=Sn+1-Sn, 即Sn+1=2S.+1, 则S+1+1=2(S+1), (3分) 因为a1=1, 2· 评价练习 数学（四） 所以S,+1=a1+1=2≠0， =P(A2)P(B2)十P(A2)P(B2)=0.26, 所以。十1=2， P(Y=-3000)=P(A2B2) S.+1 所以数列{S十1是首项为2，公比为2的等比数列. =P(A2)P(B2)=0.02, (12分) (6分) 所以Y的分布列为 (2)由(1)可得S.+1=2", Y 7000 1000 -3000 所以a+1=Sn十1=2”， P 0.72 0.26 0.02 则an=2m-1(n≥2)，检验n=1时适合， 所以an=2-1,则nan=n·2-l, (8分) 则E(Y)=7000×0.72+1000×0.26-3000× 则Tn=1·2+2·2+…十n·2-1, 0.02=5240万元， (14分) 所以2Tn=1·2+2·2+…十(n-1)·2-1十n·2”, E(Y)>E(X), (10分) 故从数学期望的角度分析，该公司选择方案乙更优 两式相减得-Tn=2十2十2+…十2r1-n·2 (15分) 17.解：(1)取AB的中点N,连接DN, 号-a…2=0-02-1 则BV=AN=1, 所以Tm=(n-1)·2"+1, (13分) 所以BN=CD=1, 16.解：设事件A1表示“方案甲A技术研发成功”， 又AB∥CD, 事件B表示“方案甲B技术研发成功”， 所以四边形BCDN为平行四边形， 事件A2表示“方案乙A技术研发成功”， 所以BC=DN=1=AB,则AD1BD, (2分) 事件B2表示“方案乙B技术研发成功”， 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 由题可得P(A)=0.6,P(B)=0.7,P(A2)=0.8, 所以PA⊥BD, P(B2)=0.9, 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, 则P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A)=0.2, 所以BD⊥平面PAD, P(B2)=0.1. (2分) 又AMC平面PAD, (1)当公司选择方案甲时，投入研发资金2000 所以AM⊥BD. (4分) 万元， (2)(i)由(1)可知DN⊥AB, 若项目最终不亏损，则净利润≥0，即市场收益≥ 因为PA⊥平面ABCD, 2000万元， 所以DN,AB,PA两两垂直， 当A与B均失败时，市场收益为0万元，此时亏损， 以N为原点，ND,NB所在直线分别为x,y轴，以 所以该项目最终不亏损的概率为1一P(A:B,)=1 过点N且平行于PA的直线为：轴建立如图所示的 -P(A)P(B1)=1-0.4×0.3=0.88. (4分) 空间直角坐标系， (2)由题可知X的可能取值为8000,2000， -2000, 则P(X=8000)=P(AB)=P(A)P(B,)=0.42, P(X=2000)=P(A1B1)+P(A1B1) =P(A)P(B1)+P(A1)P(B)=0.46, P(X=-2000)=P(A1B1)=P(A1)P(B)=0.12, (7分) 所以X的分布列为 设PA=入(A>0), X 8000 2000 2000 则N(0,0,0),A(0,-1,0),D(1,0,0),P(0,-1,), P 0.42 0.46 0.12 M(2,-,含)月 (6分) 则E(X)=8000×0.42+2000×0.46-2000× 由(1)可得AD BD, 0.12=4040万元 (9分) 所以球心O在过点N且垂直于平面ABD的直 方案乙的研发资金为3000万元， 线上， 则Y的可能取值为7000,1000，-3000， 设O(0,0,t), P(Y=7000)=P(A2B2)=P(A2)P(B2)=0.72, P(Y=1000)=P(A2B2)+P(A2B2) 所以oi=(，-合-)，0i=10,-0 ·3 数学（四） 参考答案及解析 由OM=0D,得号++（合-）°=1+， m+t=2+m千t-2 =(my2十t2)十y2(my+t-2) (my1+t-2)(ny2+t-2) 所以0(00，-)，0成-(，-÷+) 2myy十(t=2)(y十必=0， (my1十t-2)(my2十t-2) (9分) 则2my1十(t-2)(y1十y2) 易知平面ABCD的一个法向量为A户=(0,0，A), 2m(3-3)-6mt(t-2_6m(2-》=0,(8分) 若OM∥平面ABCD,则OM·AP=0, 3m2-1 3m2-1 但O成.市=x(合+员)=牛+号>0，盾， 1 2 由m≠0，可得=2： 所以OM与平面ABCD不平行. (11分) 所以t为定值 (9分) (1)由(1)得o驴=(0，-1，+京) (12分) （i)由(1)知l:x=my 2 设直线OP与平面ABCD所成的角为0， 9 则n9=sOi.a1- OP.AP y1十y2= 3m 3m2-1= 3m2-1<0, 婴+ 得m>子，此时△>0恒成立。 (10分) |32+2 6 31 若存在直线AB,使得|AF|=|BT|, √1+（+员 √/9λ+28λ2+4 则(x1-2)2十y=(x2十1)2+y3有解， 化简得9λ一20x2十4=0， 即(m)厂+=(m十号)广+有解， 即(9入2-2)(1-2)=0， 则护=号或=2， 整理得(m2十1)(y-y2)=3(y+y2), 因为y1+y2≠0， 因为1>0， 所以y1一y2= 3m 所以号或-店。 m2+1 则(y1十2)2-4yy2= 所以PA-号政PA=E. () (15分) 3m 9 18.解：(1)因为AF⊥OF, 即（一 3m2-1 -4X 4 3m2-1 所以|AF|=: 整理得5m-13m-m2+1=0, a 3， 又a2+b=4, 令n=m2,则上式变形为5n3-13n2一n十1=0， 所以a=1,b=√5， 问题等价于证明5n2-13n2-n十1=0在n∈ 放E的方程为-苦-1 (3分) (号十)时有解. (13分) (2)(1)易知点A,B在x轴异侧，直线AB斜率存 令fx)=5x-13x2-x+1xe(号，+∞）， 在且不为0. 因为∠AFO=∠BFO, 因为f(x)在（号，十∞）上连续，且f1)=-8<0, 所以直线AF,BF的斜率互为相反数， (4分) f(3)=16>0, 设A(x1,y1),B(2,y2),lB:x=my十t,m≠0， 所以f(x)=0在(1,3)上有解， 联立 x2 =1 3 即5m-13t-n十1=0在n∈（行，十）时有解， x=ny十t 所以存在直线AB,使得|AF|=|BT|.(17分) 得(3m2-1)y2+6mty+3t-3=0, △=36m-4(32-1)(3t-3)=12(3m2+t 19.:(1)f(x)=cos xcos 2x-cos(+2x)=sin xsin 2x =2sin'xcos x=2cos x(1-cosx), (1分) 1)>0,且3m2-1≠0， 6mt 3t-3 令t=cosx∈[-1,1]，g(t)=2t(1-t), y+业=一37-气y=3m-, (6分) 则g'(t)=2-6t, 所以如十如一产气十兰。 令g(=0,得=±， 3 (2分) 4 评价练习 数学（四） 则当[-1，-号)时，g(0<0g单调递减： 2a≥d 则 _43 4,解得0≤a≤E ≤4a≤ 9 (11分) 当e(-号，号)时g>0,8单洞递增： 9 当∈(，1]时，g(0<0,8)单洞递减，(4分) 所以2a≤5、音】 61 又-D=1)=0(-9)=- 所以9、 2 cos 2acos as1, (）-. 由可如g1在（停，1]上单测递波， 所以2sin'acos a≤4a≤2sin2acos2a. (13分) 所以g(t)的值域为 _43457 99」 设F(x)=x- ,02 所以f(x)的值域为 45437 则F'(x)=1-c0sx≥0， Γ99Γ (6分) (2)由(1)可知f(x)=2 sin'xcos x, 所以P在[D,2]上单调递增。 当x∈（受，元）时，sinx>0,cosx<0, 故F(2a)=2a-sin2a≥F(0)=0, 则2a≥sin2a, 所以f(x)<0<lnx. (8分) 所以4a≥2sin2a≥2sin2acos2a, (15分) 当x≥π时，由1)知f)<4 故4a=2sin2acos2a,当且仅当a=0时等号成立， 9 <1=lne<lnπ≤ 经验证a=0符合题意， In x. (9分) 故a的取值集合为{0冫 (17分) 综上，当>受时，f(x)<lnx (10分) 8由1可知)的值域为[-45，] ·52026年学科素养评价练习 答题纸·数学（四） 学校 班级： 姓名 正确填涂 准考证号 考场号： 填 ■ 涂范 错误填涂 以X 0I0I①四I0四0)①四0I 座位号： 语 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 ■ 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 8I88I8I8I888I8I8 99991919191999 缺考 标记 格装蔬程整青发差由华保 选择题 1AIB图MDD 6AB☑D 2IB图CMDD 7 A BI CD 3AB图CM团 8 ABIC四DI 4AB图CD 5IB图CMD 选择题 9AIB图CD四 日 10AIB图CMDI 11 A B CD 非选择题 12. 13. 14 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四）第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四）第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 B 答题纸·数学（四）第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四）第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 B 答题纸·数学（四）第6页（共6页）2026年学科素养评价练习 数学（四） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Z|x-3<3},B={2,4,6,7},则AUB= A.{2,4} B.{1,5,6,7} C.{1,3,8} D.{1,2,3,4,5,6,7} 2.若复数之满足4x=5一3ix,则z A.1 B.√5 C.3 D.5 3.圆C1:x2+y2-2x-2y+1=0与圆C2:x2十y2+6.x+4y-3=0的位置关系为 A.外切 B.内切 C.相交 D.相离 4.有两个小组共60人进行答题，A组共20人，最终得分的平均值为9，方差为5，B组 共40人，最终得分的平均值为6，方差为2，则这60人得分的方差为 A.1 B.3 C.5 D.7 5.已知函数fx)=3m+a(a>0)的值域为[专4小，则a= A.1 B.2 C.3 D.4 6.某校为建设优质食堂随机抽取了200名学生，对他们的饮食习惯进行了调查，得到如 下2×2列联表： 饮食习惯 性别 更偏向素食 更偏向肉食 男生 40 60 女生 60 40 用频率估计概率，现从这200名学生中任意抽取一名学生，记事件A:该学生是男生， 事件B:该学生更偏向素食.定义指标T P(AB)PBA),对于不同的T,得到的 P(AB) 结论如表： T (,2] (合 (1,2] (2,+0∞) 关联性 定向偏弱 定向偏强 综合偏强 综合偏弱 则该校学生性别与饮食习惯的关联性 A.定向偏弱 B.定向偏强 C.综合偏强 D.综合偏弱 数学（四）第1页（共4页) 7.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,其上一点P(2p,t)(t>0)满足PF= ?·则直线PF的斜率为 A号 R c青 D 8.已知正数a,b,c满足2a+lna=3+lnb=5c+lnc,则下列说法错误的是 A.当c=1时，a+b>3 B.a>b>c C.当ac=1时，c>2 D.当ac=1时，a十c> 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若a>b>bc>0,则 A.0<c<1 B.ab C. ] D.abc<a2 a-bca-b 10.已知函数f(x)=x3-3x-3,则 A.f(x)有2个极值点 B.f(x)有3个零点 C.f(π)>f(√2) D.曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线过点（一1,0） 11.如图，在正方体ABCD一A,BCD1中，M为A1B,中点，P为线段BD上一点，记平 面MPC截正方体所得截面为a.当A,P,C三点共线时，MP=√5，则 A.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为64 D M B.当AB的中点在α上时，截面图形的面积为2√⑤ C1 C.记MP的中点为Q,CQ的最小值为66 4 十-D D.BP+PC的最小值为2√2十√2 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若sina+）=4,则co[(2026+号)x-a]= 13.已知单位向量a,b满足a+b=√3，若a+(1-λ)b≤1，则入的取值范围 为 14.已知椭圆E:石十卡=1(a>6>0)的左、右焦点分别为，F,E上一点A调足 2 ∠EAF,=2∠AFE,且cos∠AFE=号，则E的离心率为 数学（四）第2页（共4页） 回 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记数列{am}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=am+1一1. (1)证明：数列{Sn十1}是等比数列； (2)求数列{nan}的前n项和Tm. 16.(本小题满分15分) 为响应国家碳中和的目标，某科技公司计划研发一项新型技术，该技术方案的成功 依赖于A和B两项技术的独立研发.假设这两项技术研发成功与否相互独立，已知净 利润等于市场收益与研发资金的差值，该项目的净利润与两项技术的研发成果有一定 关联，若A与B均成功，则市场收益为10000万元；若A与B只有一项成功，则市场收 益为4000万元；若A与B均失败，则市场收益为0万元.该公司需要从以下研发方案 中选择一种： 方案甲：投入研发资金2000万元，在此方案下，A技术研发成功的概率为0.6，B 技术研发成功的概率为0.7； 方案乙：投入研发资金3000万元，在此方案下，A技术研发成功的概率为0.8，B 技术研发成功的概率为0.9. (1)若公司选择方案甲，求该项目最终不亏损的概率； (2)记方案甲的净利润为X万元，方案乙的净利润为Y万元，请从净利润的数学期 望的角度分析，该公司选择哪种方案更优： 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD= 1,AB=2,M为PD的中点. (1)证明：AM⊥BD; (2)若M,A,B,D四点均在球O的球面上 (ⅰ)证明：OM与平面ABCD不平行； M （1)若直线OP与平面ABCD所成角的正弦值为，求PA, 数学（四）第3页（共4页) 18.(本小题满分17分) 已知双曲线E:名一1(a>0,6>0)上有两点A,B,石焦点F(2,0).当AFDi (O为原点)时，|AF=3. (1)求E的方程； (2)若∠AFO=∠BFO≠且≠0，点(t,0)(0<tK1)在直线AB上，点A在E的右 支上 (i)证明：t为定值； (i)记T(-1,0),证明：存在直线AB,使得AF=BT. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=cos xcos2x-cos3x. (1)求f(x)的值域； (2)证明：当x>5时，f(x)<lnx (3)若a≤xo≤2a,且f(x)=4a,求a的取值集合. 数学（四）第4页（共4页） 》B