2026年学科素养评价练习数学(一)-【衡水金卷·先享题·信息卷】2026年高考数学学科素养评价练习（B卷）

2026年学科素养评价练习 数学（一） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x(x十2)(3-x)≥0}，B={x∈N-1<x≤5}，则A∩B= A.{3} B.[1,3) C.{0,1,2,3} D.{0,1,2} 2.若复数之满足之·之一之=9十3i,则之的虚部为 A.3 B.-1 C.2 D.3 3.在平面直角坐标系xOy中，锐角0的大小如图所示，则tan20= A(1,3) 号 1 B.4 c D.3 4 4.已知数列{an}中，a1=-1,an+1an=am一1，则a2026十a227= A.-1 B.1 c D.2 5.已知a=1og412,b=1og515,c=21.1,则 A.a<c<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c 6.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理， 如图1是以弦为边长得到的正方形，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小 正方形组成.类比“赵爽弦图”，可构造图2，它是由3个全等的三角形与中间1个小等 边三角形拼成的一个较大的等边三角形.现有5种不同颜色可供选择，给图2中的4 个三角形区域涂色，要求相邻的区域不能涂同 B 一种颜色，则不同的涂色方法种数为 勾( 弦(c) A.60 股(bA B.120 D C.320 D.360 图1 图2 数学（一）第1页（共4页) 7.已知点，：分别为双前线C芹 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A为C上一 点，延长直线AF2与y轴相交于点B,以线段AB为直径的圆恰好经过点F1,BF =号AF,,则C的渐近线方程为 A.y=±25 B.y=土5 C.y=士3x D.y=士4x 8.已知lnm-e"=n-m,则”的最大值为 m A号 B C.e D.2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.为纪念抗战胜利八十周年，某校举办了一场关于抗战的知识竞赛，该校某班代表队6 位参赛选手的成绩分别为（单位：分）：83,100,92,94,97,97，则关于该班6位选手的 成绩，下列说法正确的是 A.平均分不超过92 B.众数为97 C.中位数为95 D.第75百分位数是97 10.已知函数f(x)=Bsin(wx十p)(w>0,g<罗)的部分图象如图所示.该图象与y 轴交于点A(0,号)，与x轴交于B,C两点，D为最高点，且△BCD为等边三角形，则 下列说法正确的是 A.w=受9=晋 B.将f()的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)= 3sin(受x+否)的图象 C.f(x)在区间[2,3]上单调递增 D.若关于x的方程f(x)=m在[0,1]上有两个不等的实根，则m的取值范围 为[) 11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l1,过F作直线12交C于A,B两点(A 在第一象限)，且AF=入FB(入>1)，点A,B在11上的投影分别为A1,B1,则下列说 法正确的是 A.当入=2时，l2的斜率为2√2 B.当λ=2时，△AA1F的面积为24√2 C.直线OA,OB(O为坐标原点)的斜率之积为定值一4 D.记△AA1F,△A1FB1,△BB1F的面积分别为S1,S2,S3,则S=4S1S3 数学（一）第2页（共4页） 回 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b满足a=b=2,且2a-b在a上的投影向量为a,则a,b夹角的余 弦值为 13.已知等比数列{an}的公比为q(q>0),a1=64,bn=log2am,数列{bn}的前n项和为 Tm,当且仅当n=4时，Tn取得最大值，则q的取值范围为 .(用区间表示) 14.已知正三棱锥P一ABC的侧面是全等的直角三角形，AB=4√3，点P在底面ABC 内的投影为O,点E在PO上，且OE=1,球H为该三棱锥的内切球，则过点E的球 H的截面面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 近几年来，人工智能（简称A)逐渐兴起，并在各行各业中都得到了较广泛的应用. 某校随机抽查了100名教师，调查他们使用AI技术与年龄的情况，收集整理数据后得 到如下列联表， 单位：人 使用AI技术情况 年龄 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析是否经常使用AI技术与年龄有无 关联？ (2)现从样本中经常使用AI技术的教师中，按是否超过40周岁分层，利用分层随 机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研 究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为X,求X的分布列和数学期望， n(ad-bc)2 参考公式：x=(a十b)(c十d(a+c)b+d) ,其中n=a+b十c十d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.6357.879 10.828 16.(本小题满分15分》 已知函数f()=2cos(ux+)(w>0)的图象经过M(a2),N(x0)两点，且 |工一x的最小值为晋 1)求f(x)在区间[一晋，若】 上的值域： (2)在△ABC中fA)=-2,且A∈（若，），BC的中点为D,AD=5,BC=2, 求△ABC的面积， 数学（一）第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BCD=否，PA⊥PC,PD =PB. (1)证明：BD⊥平面APC; (2)若∠ACP=,点Q在棱CP上，且CQ= 3CP, 求直线BQ与平面ABP所成角的正弦值. D以 B 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C上任意一点P(x,y)满足Wx2+y2一4x十4十 √x2+y2+4x+4=2√6，点A,B在曲线C上运动， (1)求曲线C的方程； (2)点E的坐标为(1，一2)，若O恰好是△ABE的重心，求直线AB的方程； (3)若直线AB经过点F(一2,0)，问：在直线I:x=一3上是否存在点M,使得 △MAB是等边三角形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(2-a)x十xlnx. (1)当a=1时，求f(x)的极值； (2)设a=2,证明：当x≥1时，f(x)≤2(x2-1): (3)当x∈(1，十oo)时，f(x)>1-a,求整数a的最大值. 数学（一）第4页（共4页） 》回2026年学科素养评价练习 答题纸·数学（一） 学校 班级： 姓名 正确填涂 准考证号 考场号： 填 ■ 涂范 错误填涂 以X 0I0I①四I0四0)①四0I 座位号： 语 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 ■ 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 8I88I8I8I888I8I8 99991919191999 缺考 标记 格装蔬程整青发差由华保 选择题 1AIB图MDD 6AB☑D 2IB图CMDD 7 A BI CD 3AB图CM团 8 ABIC四DI 4AB图CD 5IB图CMD 选择题 9AIB图CD四 日 10AIB图CMDI 11 A B CD 非选择题 12. 13. 14 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 B 答题纸·数学（一）第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) D以- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 B 答题纸·数学（一）第6页（共6页）评价练习 数学（一） 2026年学科素养评价练习 数学（一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 集合中的交集运算 易 0.80 2 选择题 5 复数方程问题 易 0.78 3 选择题 5 倍角公式的应用 易 0.72 4 选择题 5 周期数列问题 中 0.65 比较指数、对数幂的 5 选择题 5 大小（涉及换底公 中 0.55 式) 6 选择题 5 涂色问题 中 0.40 7 选择题 5 圆与双曲线的综合 中 0.35 8 选择题 5 指对同构问题 难 0.28 统计问题，涉及百分 选择题 6 0.65 位数、平均数的计算 分 由正弦型函数图象 10 选择题 63 中 0.55 研究其性质 抛物线的焦点弦的 11 选择题 6 难 0.28 性质 平面向量的投影向 12 填空题 5 易 0.78 量问题 等差数列与等比数 13 填空题 5 列的综合，前n项和 中 0.60 的最值问题 几何体的内切球 14 填空题 中 0.40 问题 独立性检验，超几何 解答题 中 0.65 分布的分布列 ·1 评价练习 数学（一） 三角函数与解三角 形，余弦型函数的单 16 解答题 15 调性与值域，三角形 L 中 0.55 的面积问题 17 以锥体为载体，证明 解答题 15 中 0.45 线面垂直，求线面角 点的轨迹问题，存在 18 解答题 17 √ 难 0.28 性问题 以对数型函数为载 体，利用导数求不含 19 解答题 17 参函数的极值，由不 √ √ 难 0.25 等式恒成立求参数 的最大整数解 ·2 >芳回 评价练习 数学（一） 参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 1.C【解析】由题意得A={x|-2≤x≤3}，B= 16d22-青，整理得5配=9d,即5a+ 2×4a×2a {0,1,2,3,4,5},则A∩B={0,1,2,3}.故选C. 2.A【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则乏=a一bi,则 56=9a,整理得56=4d,所以名-25，所以C的 x·之-x=(a十bi)(a-bi)-a-bi=a2+b-a-bi 渐近线方程为y=士2 2x.故选A 5 9+3,因此(a3a9,解得0或，即2 1b=-3 的虚部为-3.故选A 3.D【解析】因为点A(1,3)是角9+于终边上的 点，所以tan(g叶买）=3，所以tan9=1am[(0+于) ] an(9计平）-tan于 3-1 1+iam(g+平)·tan受 1十3X=2, 2tan 1 所以tan28= 1=tanm1-工 3·故选D. 8.B【解析】由lnm-e=-m,得lnm十m=e十n, 即lnm十enm=e”十n(*),因为f(x)=e十x是R 4,B【解析】由au+1an=am-l,得a+1=1- 1,且a 上的增函数，故由(*)可得n=lnm且m>0,则”= a =-1所以a=1-女=2a=1-=子 a22a4=1 m,其中m>0,设函数h(x)=n2,x>0,可得 x a=-1,所以数列{a}是周期为3的数列，由于 1 K(x)=1-n工，当0<x<c时，h'(x)>0,故h(x) 2026=3×675十1,2027=3×675+2，因此a2026+ 在(0，e)上单调递增；当x>e时，h'(x)<0,故h(x) a2o27=a1十a2=-1十2=1.故选B. 在(e,+∞)上单调递减，所以当x=e时，函数h(x) 5.D【解析】因为a=log3十1<2，b=log3+1<2,c 取得极大值，也是最大值，即A(x):=A(e)=。,所 =24>2,所以a<c,b<c,log3=1og4log3= 1og5,而0<1og:4<log5,所以1og43>log:3,即b<a 以”的最大值为。，故选B 二、选择题 <c.故选D. 9.BD【解析】将成绩按从小到大的顺序排序为：83， 6.B【解析】先涂中间三角形，有5种选色，再涂外围 92,94,97,97,100,对于A,平均数为 的三个三角形.由分步乘法计数原理得不同的涂色方 83+92+94+97+97+100=563≈93.8>92，故A 法种数为5×4×3×2=120.故选B. 6 6 7.A【解析】如图，由C的对称性知BF|=|BF2, 错误；对于B,97出现两次，其他数据只出现一次，所 所以BF,=号1AB,,设AF:=2m(m>0),则 以众数为97，故B正确：对于C,中位数为第3,4个数 |BF2|=3m=|BF|,|AF|=2a十2m,由题意得 据的平均数，为4士92=95.5，故C错误：对于D.6× AF1⊥BF1,则在Rt△ABF1中，9m2+(2a十2m)2= 75%=4.5,所以第75百分位数是第5个数，为97，故 25m2,则(a十3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m D正确，故选BD. (舍去)，所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|= 10.AB【解析】对于A,由题意△BCD的高为5，故 BF1|=3a,则|AB|=5a,故cos∠F1AF2 品-是-号，所以在△AF后中R4R BC=BD=B=2,所以周期T=2BC=2红，解得 sin 3 ·1 >》国 数学（一） 参考答案及解析 w-- ，因为f()的图象与y轴交于点A(0,号)： 12√2，B错误；对于C项，设的方程为x=ty十2， 代入C的方程并整理，得y-8ty一16=0，设 所以后ng=号，即smg号又因为1g<号，所 A(x1,y),B(x2,y2),则y=-16,y十边=8t, 以9=牙，所以f(x)=5sin(受x十号)，A正确： 所以美=》-积=4，所以kkm=丛。 64 丝=y1y丝=一16 对于B,将f(x)的图象向右平移号个单位长度，得 4 =一4，C正确：对于D项，S= 到f(x-3)=sim[受(x-子)+号] 名·AA·=合（十2），同理，S= √sin(受x+否)的图象，故B正确：对于C,当x∈ 1B,1·1=-合(m+2),而S=2(1 y2),故4S1S=-[2(x1十x2)十x1x2十4]·y1y2, [2,3]时4=受x+吾∈[经，g],而函数y= 结合C项，x1十2=t(y十y2)十4=8+4，则 4SS=256(+1),而S号=4(y1-y2)2=4[(y1+ Bsn在[行，]上单调递减，在[受，]上单 y2)2-4y1y2]=256(t+1),则S号=4S1S3,D正确. 调递增，故f(x)在区间[2,3]上有增有减，C错误；对 故选ACD 三、填空题 于D,由f(x)=m,得5sin(受x+号）=m,当x∈ 12.- 【解析】由2a-b在a上的投影向量为号a, [0,1时，受x+晋∈[号，]m吾= 3 得号a=②0的aa=8=ab.a,即 4 n受-万5如号-，因为关于r的方程 a 2 8-a·b,故a·b=-2,即2X2×cos(a,b>=-2, 4 了(x)=m在[0,1门上有两个不等的实根，所以号≤ 所以cosa,b=一 m<√3，故D错误.故选AB. 11.ACD【解析】对于A项，由λ>1，可得l2的斜率为 13.() 【解析】等比数列{an}的公比为q,首 正，如图， a64,bb.=log:a,+-logz a,=logz =log2q,∴.数列{bn}是以log2q为公差，以log2a1=6 为首项的等差数列，.b.=6十(n一1)log2g.由于当 目仅当m=4时工，最大∴log影g<0,且么二0？ {6+4og9<0-2<1ogg<-号， 6+31ogq>0 ,即<g< 停q的取值范周为（子，号）】 过点B作BD⊥AA于点D,则由抛物线的定义知 14.(2√6-2√2-1)π【解析】由题意得PA=PB= BB:|=BF|,AAI=「AFI,所以|AD|= PC=2√6，AB=BC=AC=4√3，设该内切球的半径 |AA|-|BB|=IAF|-IBF|=IBF|,所以 为r,△ABC的外接圆的圆心为O,BC的中点为D, os∠DAB=A0=-令放n∠DAB 连接PO,PD,AD,则点O在AD上，且A0=号AD -cos ZDAB=,2,所以l4的斜率为k =号×9号×45=4,0n=号AD=号×9×4万 in∠DA5=22,A正确：对于B项，因为F(2,0), =2,因为PO⊥平面ABC,AOC平面ABC,所以PO cos∠DAB ⊥AO,所以PO=/PA-AO=√24-16=2√2， 由A项可知直线2的方程为y=2√2(x一2)，代入 PD=√PC-CD=√24-12=2√3，因为VHPx 抛物线方程得8(x一2)2=8x,整理得x2-5x十4= +VH-AB+VH-Pe+VH-ABG=Vp-ABC,所以 0,解得xB=1,xA=4.根据抛物线的定义得 |AF|=|AA|=xn+2=4十2=6，所以△AAF 专(Sae十SaPc十SaB十SaMx)r= 3Sa· 的面积为S=|AF'sn∠DAB=18×22 3 PO,所以2(3BC·PD+BC·ADr=是BC· ·2· 评价练习 数学（一） AD·PO,所以(3PD十AD)r=AD·PO,所以(3X (2分) 23十6)r=6X22,解得r=√6-√2，易知当HE 则二-号解得。=8 与截面垂直时，截面的面积最小，设此时的截面圆半 则f(x)=2cos(3x+开)： (3分) 径为r,则r'2=r2-HE=(6-√2)2-(6-√2 1)2=2√6-2√2-1，所以截面圆的面积为S=π 因为x[-吾，晋]， =(2√6-2√2-1)π. 所以1=8x+∈[-华，]， 由y=2cost的单调性可知此时y∈[-√2,2]， 即f(x)在区间[一号，若]上的值域为[一巨，2， (6分) (2)因为A∈（若，受）， 所以3A+平∈(，)， 又f(A)=2os(3A+开)=E, 四、解答题 所以3A+子-平，解得A=晋 (7分) 15.解：(1)零假设H:是否经常使用AI技术与年龄 设AB=c,BC=a,AC=b, 无关， 因为AD为BC边上的中线， 由表中数据经计算得x 所以2AD=AB+AC, (8分) 100×(20×10-40×30)≈16.667>10.828= 两边平方得4AD=AB+AC+2AB.AC 60×40×50×50 =AB+AC+2AB·AC·cosA, x0.001· (4分) 所以12=c2+b2+bc,① (11分) 依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断 由余弦定理得BC2=AB十AC-AB·AC, H。不成立， 即4=c2+b2-bc,② (13分) 即认为该校教师是否经常使用AI技术与年龄有关， 由①②解得bc=4, (14分) 该推断犯错误的概率不超过0.001， (6分) 所以△ABC的面积S=名inA=之X4X 2 2 (2抽取的6人中，年龄超过40周岁的有品×6=2 (15分) 人，年龄不超过40周岁的有品×6=1人， 17.解：(1)设AC与BD交于点O,连接OP, 因为底面ABCD是菱形， 故X的所有可能取值为1,2,3， 所以AC⊥BD,且O既是AC的中点，也是BD的中 P(X-1)-CC_1 点， (2分) C 又PB=PD, P(X=2)=C3C-3 所以OP⊥BD, (3分) C 又AC∩OP=O,AC,OPC平面APC, PX=3)-8-日， 所以BD⊥平面APC. (4分) (11分) (2)以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y 所以X的分布列为 轴，作O:⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角 X 1 3 坐标系， P 1 5 5 数学期望为E(X)=1× +2 1 号+3x=2 (13分) 16.解：(1)由题意f(x)的图象经过M(x1,2), N(x,0)两点，且|一x的最小值为否， 可得f(x)的最小正周期T=X4=红， 6 3 ·3· 数学（一） 参考答案及解析 设AB=2, (4分) 则由∠BCD=号，得AC=25, 所以商线C的方程为后+苦=1， (2)设A(1y),B(2y), 在R△PAC中，∠ACP=否， 则AB的中点H(巴，古2) 则CP=3,AP=, 因为△ABE的重心是坐标原点O, 又A0=5∠PA0=吾， 所以5十+1=0，y+二2=0， 3 3 所以△APO为等边三角形，OP=√3， 可得x1十x=一1，y1十y=2, 因为BD⊥平面APC,BDC平面ABCD, 得AB的中点H(-合，1)： (7分) 所以平面APC⊥平面ABCD, 又平面APC∩平面ABCD=AC, 所以点P在底面ABCD的射影在AC上，则 +-1 由 得 (x十x2)(x1-x2) 6 十 p(9,） (7分) 1+-1. 易知A(5,0,0),B(0,1,0),C(-3,0,0), (y+2)(一必）=0 2 所以店=(-原，10)，A市-(-0，号）成 即-4。+-=0， 6 (-5,-10).c市=(50，) 可得a=”二业=人】 I-6 由已知得à-号市， 所以直线AB的方程为y一1=合(+子)， 即2x-12y+13=0. (9分) 则-(0，）， (3)当直线AB的斜率为0时，易得不存在等边三角 形： (10分) 则d-B+-(-1,合）月 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x 设平面ABP的法向量为n=(x,y,2), =my-2, n·AB=-5x+y=0, 设AB的中点为G(xGy%), 则 又A(x1,y),B(2,y), 由告+之2=1可得，（m2+3)y-4my-2=0. 取x=√3，则y=3,x=1,得n=（3,3,1),(13分) (x=my-2 设直线BQ与平面ABP所成的角为0， △=16m2十8(m2十3)=24m2十24>0恒成立， 则sin0=cos(B0,m)1=B·n四 -2 (12分) BQ 则1十业=m牛3业m+3’ 则%=y十业=2m 2√26 2 m2十3 √保+1+子x开97 13 由于G在直线x=my-2上，所以x6=m干3' -6 所以直线BQ与平面ABP所成角的正弦值为 若存在点M使△MAB为等边三角形，则MG⊥AB, 2√26 则直线MG的斜率为一m, 13 (15分) 所以|MG引=√I干m 18.解：(1)由V+-4ax+4+v√+y+4x+4=2√6， 得W/(x-2)2+y+√J(x+2)2+y=2√6， =√/+m3m+3 m2+3 (14分) 其表示点P(x,y)到两点F1(一2,0)，F2(2,0)的 |AB1=√1+m|y- 距离之和为2√6， =√1十m√(y十2)一4y1y2 又F,F2两点间的距离为4<2√6， 由椭圆的定义可知，曲线C是以F(一2,0)， =26(m2+1) 7m2十3 (15分) F2(2,0)为焦点，2√6为长轴长的椭圆， 因为△MAB是等边三角形， 即2c=4,2a=2√6， 所以62=2， 所以MG= AB2 评价练习 数学（一） 则m互(3m+3)- 即g'(x)≥0， (8分) 26(m2+1) 2 则g(x)在[1，十o)上单调递增， 解得m2=1,即m=士1， 故对Hx≥1，g(x)≥g(1)=0, 故直线AB的方程为x一y十2=0或x十y十2=0. 所以f(x)≤(x-1D得证。 (10分) (17分) (3)当x∈(1，十o∞)时，f(x)>1-a, 即(2-a)x+xlnx>l-a, 整理可得a+号-+2， 原愿意等价于a<血十占十2对任意>1何 成立， (11分) 令r()-++2>D 则F'（x)=1+lnx)(x-1)-znx- (x-1) （x-1)9 19.解：(1)当a=1时，f(x)=xnx十x,其定义域为 =x-Inx-2 (0,十o∞) (x-1)2 f(x)=In 2+2, 令u(x)=x-lnx-2,x>1, 令f(x)=0,得x=合 则d(x)=1-士0 所以u(x)在区间(1，十∞)上单调递增， 当x∈(0，。)时，f(x)<0,fx)单调递减： 因为u(3)=1-ln3<0,u(4)=2-ln4>0, 当xe(侵，+∞)时，f(x)>0,fx)单调递增， 所以u(x)在区间(1，十∞)内存在唯一零点x ∈(3,4)， 所以当=合时，fx)取得极小值f()=一是， 即xo-lnxo-2=0, 所以lnxo=xo一2， (14分) f(x)无极大值 (4分) 当x∈(1，x)时，u(x)<0,即F(x)<0; (2)因为a=2, 当x∈(x0,+o∞)时，u(x)>0,即F'(x)>0, 所以f(x)=xlnx, 可知F(x)在区间(1，x)上单调递减，在区间 则要证f(x)≤合(：-1D, (x0,十∞)上单调递增， 即证x2-2xlnx-1≥0，x≥1， 所以F(x)m=F()=ln玉十1 令g(x)=x2-2xlnx-1,x≥1， 则g(x)=2x-21nx-2, (5分) 2++=+1, x6-1 (16分) 令h(x)=2x-2lnx-2,x≥1， 因为x∈(3,4)，则x+1∈(4,5)， 则'(x)=2-2=2x-2 即F(x)mi∈(4,5)， x x 又a为整数，则a≤4， 当x∈[1，十oo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以整数a的最大值为4. (17分) 则h(x)≥h(1)=0, 5