2026年学科素养评价练习数学(五)-【衡水金卷·先享题·信息卷】2026年高考数学学科素养评价练习（A卷）

2026年学科素养评价练习 数学（五） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.如图是2024年10月至2025年10月社会消费品零售总额同比增长速度统计折线图， 则折线图中这组数据的中位数为 (%) 社会消费品零售总额同比增长速度 10 A.3.7 6.4 B.3.85 4.8 595 3.03740 4837343029 C.4.0 D.4.4 2024年11月12月2025年3月4月5月6月7月8月9月10月 10月 1-2月 2.已知全集U={xx=3n-2,n∈Z,x≤8}，A={-5,-2,m2},若CA={-8,1, 7},则m的值为 A.±2 B.-1 C.2 D.4 3.某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为子，现有甲、乙、丙3名患有该疾病 的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为 A号 B c品 27 D.64 4.已知agc(受x小sina=音c0s=一青，则osa2的值为 sin 28 55 A.104 B.一104 55 c品 数学（五）第1页（共4页) 5.如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽AB=300,河水自西向东而流，一艘小 船从河的一边的码头A处出发，以3√3k/h的速度要航行到位于河对岸的码头C 处卸货，其中BC=100√3m.若水流速度与小船航行速度的合速度的大小为4km/h, 则当小船的航程最短时，水流的速度大小为 B →东 A.4 km/h B.√/15km/h C.2 km/h D.(√/5-2)km/h 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(1)=一2，且当x∈ (0,十o)时，f(x)+xf'(x)<0,则不等式(x-1)f(x一1)十2>0的解集为 A.(-1,3) B.(-1,1) C.(0,2) D.(-2,0)》 7.卫知双曲线C:若一若-1(>0，b>0)的左顶点为A,过点A的直线交圆0：x十y y =a2于另一点P,交C的右支于点Q,且2AP=PQ,|OQ=2√3a,则C的离心率为 A号 B号 c号 D.43 3 8.若曲线C:y=x2与C2:y=e十b存在公切线，则b的取值范围为 A.(-o∞，0)B.(0,十∞) C.(2,+oo) D.(-∞，2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知是虚数单位，之是复数，则下列说法正确的是 A.若|之一1|+|z十1=4，则之在复平面内对应的点Z的集合为椭圆 B.若|x-2一|之十2|=2，则之在复平面内对应的点Z的集合为双曲线 C.若之一=|之十，则之在复平面内对应的点Z的集合为实轴 D.若≤1，则之在复平面内对应的点Z的集合确定的图形的面积为π 10.在棱长为4的正方体ABCD一A1BC1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则 A.异面直线DF与AA,所成角的余弦值为号 C B.平面D1EF截正方体ABCD一A1B1C1D1所得的截面图形 为正五边形 C.三棱锥B,一A1BD外接球的表面积为48π D D.平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为2YS4 17 1.已知函数f()=,,x≤0则 lnx+1,x>0, A.f(x)在R上为增函数 B.函数g(x)=f(x)十2f(x)-3有三个零点 C.若关于x的方程f(f(x)=m有三个不同的实根，则m∈(0,1] D.若关于x的方程2f(x)十(6a一1)f(x)一3a=0有四个不同的实根，则a的取值 范围为[--U(-合o 数学（五）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x+2-y） 的展开式中，x2y2的系数是 .(用数字作答) 13.已知直线y=1与函数f(x)=tan(?wx+号)(w>0)图象的相邻两个交点间的距离 为，若f(x)在区间（一m,m)(m>0)上单调递增，则m的最大值为 14.某科幻主题乐园“星际弹射”项目的轨道为抛物线形，且抛物线所在平面α与水平地 面3垂直，设α∩B=l,以l所在直线为x轴在α内建立平面直角坐标系，知轨道起 点为A(-50,0),轨道上“星际加速区”的两个端点B(-10,60),C(90,60)关于抛物 线的对称轴对称，弹射舱沿抛物线轨道飞行（弹射舱视为质点，运动轨迹即该抛物 线).若在轨道正下方地面上设置“矩形能量障碍区”，该障碍区高25米，水平跨度 10米，且关于抛物线对称轴对称，则弹射舱 (填“会”或“不会”)与障碍区发 生碰撞.若在轨道上设置“失重体验点”，要求该点处抛物线的切线斜率为1，则该体 验点的横坐标约为 (精确到0.1).（本题第一空3分，第二空2分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记数列(a.}的前n项和为Sa1=3,S。=a,-n(n-1),数列{b,}满足b,=,1 anan+1 2” am+1一am (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)求数列{bn}的前n项和Tm 16.(本小题满分15分) 某社交平台的热点话题分为“娱乐类”和“时事类”，已知用户浏览的第一个话题为 娱乐类的概率是0.6，为时事类的概率是0.4.若某一个话题是娱乐类，则下一个话题仍 为娱乐类的概率是0.3，转为时事类的概率是0.7；若某一个话题是时事类，则下一个话 题转为娱乐类的概率是0.5，仍为时事类的概率是0.5. (1)记随机变量X为用户浏览的前两个话题中时事类话题的个数，求X的分布列 与数学期望E(X): (2)若用户浏览前两个话题后，继续浏览第三个话题，求第三个话题为时事类的 概率. 数学（五）第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，球O中有一底面边长为2，高为3的内接正三棱柱ABC一A,BC1,D1为 B,C1的中点，连接A1D1并延长交球O的表面于点E. (1)证明：BC⊥OE; (2)求点E到平面AB,C的距离； (3)P为s线段A,E上一动点，当直线CP与平面AB,C所成角的正弦值为3yC时， 40 求号的值 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=二+a心一x (1)当a=0时，判断f(x)的单调性； (2)若f(x)有且仅有一个极值点，求a的取值范围； (3)当a=1时，若xo是f(x)的极值点，且存在x1,x2(x1≠x2),使得f(x1)= f(x2),证明：x1十x2>2xo: 19.(本小题满分17分) 已知椭圆T后+芳-1a6>0)的无右熊点分别为R,R,离心率：-号，且短 轴长为2√6. (1)求T的方程； (2)若P为T上一点，且△PFF2的面积为3√2，求点P的坐标； (3)一般地，平面曲线Ax2+Cy2+Dx十Ey+F=0(A,C,D,E,F为实常数且A2+ C≠0)在点Q(a)处的切线方程为Ax十Cy叶D吉十E士”+F=0.对于 2 T上不同的两点M(xy),N(x2,y2),定义入xx2十yy2为T在M,N两点处的线性 积，并记为Law.若L(信2)=0，记T在M,N两点处的切线的交点为R,求点R的 轨迹方程. 数学（五）第4页（共4页）评价练习 数学（五） 2026年学科素养评价练习 数学（五） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I Ⅲ ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 数据的中位数 易 0.82 由集合的补集运算 2 选择题 0.75 求参 3 选择题 二项分布 / 中 0.68 4 选择题 5 三角恒等变换 中 0.58 与平面向量有关的 5 选择题 5 中 0.50 情境题 由函数的奇偶性和 6 选择题 5 中 0.45 单调性解不等式 7 选择题 5 求双曲线的离心率 / 中 0.30 利用导数研究两曲 选择题 5 难 0.28 线的公切线 与复数的模有关的 选择题 6 中 0.68 轨迹问题 立体几何中的空间 10 选择题 6 中 0.50 角及外接球 11 选择题 6 函数的零点问题 难 0.28 三项展开式的特定 12 填空题 5 中 0.65 项的系数 13 填空题 5 正切型函数的性质 中 0.55 14 填空题 5 抛物线的实际应用 中 0.35 证明数列是等差数 15 解答题 13 的 0.65 列，裂项相消求和 社会热点题，涉及全 16 解答题 15 概率公式，求分布列 / 中 0.50 和期望 ·1 评价练习 数学（五） 证明线线垂直，求点 17 解答题 15 到平面的距离，由线 中 0.40 面角的正弦值求参 以指数型函数为载 体，研究含参函数的 18 解答题 17 L L 难 0.25 极值，极值点偏移 问题 直线与椭圆的位置 19 解答题 17 难 0.22 关系 ·2 >1 评价练习 数学（五） 参考答案及解析 数学（五） 一、选择题 1.B【解析】由图可知12个数据从小到大排序为： 2.9,3.0,3.0,3.4,3.7,3.7,4.0,4.8,4.8,5.1,5.9, 6.4,所以这组数据的中位数为3.7十4.0=3.85，故 2 选B. 2.A【解析】由题可得U={xx=3n-2,n∈Z,x≤ 6.C【解析】因为定义在R上的函数f(x)满足f(x) 8}={-8,-5,-2,1,4,7},因为CA={-8,1,7}, 十f(-x)=0,所以f(x)为奇函数.令g(x) xf(x),则g'(x)=∫(x)十xf(x),因为当x∈ 所以{-5，-2,4}={-5，-2，m2},所以m2=4,解 (0,十∞)时，f(x)十xf(x)<0,所以g(x)在 得m=土2.故选A. (0,十∞)上单调递减，又g(一x)=一xf(一x)= 3.D【解析】由题可得所求概率为P=C()广×】 xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，所以g(x)在 -器故选D (-o∞，0)上单调递增.由(x-1)f(x-1)十2>0，得 g(x-1)>-2,因为g(1)=f(1)=-2,所以 4.B【解析】因为a,8长（受，π），所以由sina=最3，得 g(x-1)>-2等价于g(x-1)>g(1),所以 |x-1|<1,解得0<x<2.故选C. cos a=- ，由cos日=一专，得si血日=子，所以 12 7.D【解析】由题得A(-a,0),设Q(xy), P(;y),因为2A范=P夜，所以2(x十a,y) cos(a+Ay=-sin sin月=(-号)× 红一，y一)，可得=二2g+,=音，因为 3 (-告）是×号-器sm29=2 2sin月=2X号 3 点P在圆O:x2十y2=a2上，所以x品+y=a2,即 33 (仁2g+)广+（学）广=a,化简得r+-ax ×(一专)=一器所以2= 65 55 sin 28 24 104 5a2,又|0及|=2√3a,所以x2+y2=12a2,所以12a 25 故选B. 4ar=5d,解得x=朵，代入r+y=12a,得 5.D【解析】由题可知AB=300m,BC=100√3m,所 -警，因为点Q在C上，所以号 =1,化简 16 以1am∠CAB-6=100-9所以∠CAB=30 AB 300 得答-号所以C的离心率e=台=√+名 3 a 则∠CAD=90°+30°=120°，当小船的航程最短时，合 速度方向为AC的方向，所以合速度的方向与水流的 4B.故选D. 方向成120°，设小船的航行速度为y,合速度为，水 8.A【解析】设公切线与C切于点P(x1,x1),与C2 流速度为v,则有=”十v,则y=2一v,所以M1 切于点Q(x2,e'2十b),由y=x2,得y=2x,由y=e √/（吃-）F=√/2+v2-2·cos120, 十6，得y=e,所以2x=e,则=号，因为公切 即3√3=√I6+v+4v,解得|v|=√5-2.故 线过点P,所以切线方程为y=2x1x一x,因为公切 选D. 线过点Q,所以切线方程为y=ex一x2e?十e?十b, 囚 数学（五） 参考答案及解析 所以一=一十e十b,将=号代人，得6= 对于C,三棱锥B,一ABD的外接球即为正方体 ABCD-ABCD的外接球，设外接球的半径为 -en-年令h()=e-C-,r∈R,则 R,则2R=DB1=W√4+4+4=4√5，所以R= )=e+w-e-皆-e-专-e(-号) 2√3，所以外接球的表面积为4πR=4π×(2√) =48π，故C正确；对于D,设BD∩EF=O,连接 令g(0=-号则(x)=1-号，令g()=0,得 D1O,AC,因为E,F分别为AB,BC的中点，所以 x=ln2,则当x<ln2时，9(x)>0,e(x)单调递增； EF∥AC,DE=DF,因为AC⊥BD,所以EF⊥ 当x>ln2时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)≤ BD,易知O为EF的中点，所以DO⊥EF,因为平 pn2)=ln2-空=1h2-1<0,因为e>0,所以 面DEF∩平面ABCD=EF,所以∠DOD即为平 面D,EF与平面ABCD的夹角，易得DO=BD= h'(x)<0,所以h(x)在R上单调递减，又当x→一∞ 时，h(x)→0；当x→十o∞时，h(x)→-o∞，所以h(x) 3E,则在Rt△DDO中，DO=√DD+DOF= 的值域为（一∞，0），则b的取值范围为（一∞，0）.故 选A. 所，所以∠DOD=-3任，放D箱误 17 二、选择题 故选AC. 9.ACD【解析】对于A,由椭圆的定义可知A正确：对 D 于B,由双曲线的定义可知点Z的集合为双曲线的一 支，故B错误；对于C,由垂直平分线的定义易知点Z 的集合为实轴，故C正确；对于D,因为：≤1，所以 ?在复平面内对应的点Z的集合确定的图形为以 (0,0)为圆心，1为半径的圆，以及圆的内部，其面积 为πX12=π，故D正确.故选ACD. 10.AC【解析】对于A,连接DF,因为AA1∥DD1,所 E 以异面直线D1F与AA:所成的角为∠DDF(或其 11.BCD 【解析】作出f(x)的图象如图所示， 1V 补角)，由题得DD1=4,DF=25,则在Rt△DDF 中，D1F=√/DD+DF=6,所以cos∠DD1F= -音-号放A正确：对于B,设直线EF分别 交DA,DC的延长线于点H,G,连接DH,D1G分 别交AA1,CC于点I,J,连接EI,FJ,得到截面图 形为五边形D:IEFJ,易知DI≠EI,所以五边形 D IEFJ不是正五边形，故B错误： 由图易知A错误；对于B,令g(x)=P(x)+2f(x) D -3=0,即(f(x)十3)(f(x)-1)=0,则f(x)=-3 或f(x)=1,结合图象易知直线y=-3,y=1与 f(x)的图象共有3个交点，所以g(x)有三个零点， 故B正确；对于C,令t=f(x),则f(t)=1,若关于 G x的方程f(f(x)=m有三个不同的实根，则f(t) =m有两个不同的实根t,t2,设t<t2,结合图象可 知4<0，是<<1，则0<m<1,故C正确：对于 D,由2f(x)+(6a-1)f(x)-3a=0,得(2f(x) ·2· 囚 评价练习 数学（五） -1)(f(x)十3a)=0,则f(x)=-3a或f(x)= y=一 x一40)+1，由a=高<0，知揽 280 之，由了(x)的图象可知，1(x）)=合有两个不同的 物线开口向下，顶点为最高点，因为障碍区的水平跨 实根，若要使关于x的方程2f(x)+(6a-1)f(x) 度为10米，所以横坐标的范围为[35,45]，关于对 -3a=0有四个不同的实根，则f(x)=一3a有两 称轴x=40对称，将x=35代入y= 3 280(x-40)2 /0<-3a≤1 个不同的实根，所以 -3a≠3 ,解得一 3 ≤a< +1,得y=品×35-40)+1 3 ≈86.52 14 >25,所以弹射舱不会与障碍区发生碰撞.由y= -行或-号<a<0,故D正确，故选BCD, 红-40+1，得y=一品c-40),令 3 3 三、填空题 红-40)=1，得=40一0≈-一67，所以该 3 12.-40【解析】法-：(+兰-y)的通项为T 体验点的横坐标约为一6.7. =C(x+2）(-y),k=01…5,令k=1,得 四、解答题 =-C(x+2)y=-5(+2)' 15,解：(1)因为S,=nam-n(n-1), 所以当n≥2时，Sn-1=(n-1)am-1-(n-1)(n-2), (+名）的通项为Tt=Gx·(2) 所以an=Sn-Sw-1 =[an-n(n-1)]-[(n-1)am-1-(n-1)(n-2)] 2Cx-x,r=0,1,…,4,令4一2r=2,得r=1,则T2 =nam-(n-1)am-1-2(n-1), =2Cx2=8x2,∴.x2y的系数为-40. 化简得(n-1)aa-(n-1)a-1=2(n-1),n≥2， 法二：由组合公式可知xy2的系数为一2CC= (4分) -40. 因为n≥2，所以n一1≠0， 13. 【解析】因为直线y=1与函数f(x)= 所以am一aa-1=2, 又a1=3, tan(2ax+号)(w>0)图象的相邻两个交点间的距 所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列. (6分) 离为一个最小正周期，所以无=受，则。=1，所以 (2)由(1)可得an=2m十1， fx)=tan(2x+号)，令km-受<2x+吾<kr十 所以1 1 a,am+1(2n+1)(2n+3) 受（∈Z,得经-臣<<号+最(e,令 0,所以f(x)在区间（一登音）上单调递增，因为 2 =21, a+1-a=2 f(x)在区间(-m,m)(m>0)上单调递增，所以 所以=专（十）+2 (9分) （一m,m)(-受是)，则0<m≤，所以m的 所以工=合[（兮吉）+（信）+…十 最大值为是 14.不会一6.7【解析】由题可得抛物线的对称轴为 )]+ 直线x=二10，+90=40，所以设抛物线的方程为y= 2 (3-203)+2-1=32++2-1 a(x-40)2+k,代入A(-50,0),得8100a十k=0 (13分) ①，代入B(-10,60),得2500a+k=60②，由 16.解：(1)由题可得X的取值可能为0,1,2， ①@，解得a=一280=1故抛物线的方程为 3 所以P(X=0)=0.6×0.3=0.18, 14 P(X=1)=0.6×0.7+0.4×0.5=0.42+0.2= ·3· 数学（五） 参考答案及解析 0.62, P(X=2)=0.4×0.5=0.2, (4分) 因此X的分布列为 X 0 c2 P 0.18 0.62 0.2 所以E(X)=0×0.18+1×0.62+2×0.2=1.02. (7分) (2)记事件A:第三个话题为时事类， 由题可得BD=CD=1,AD=AD1=3, 事件B。:前两个话题均为娱乐类， 设△ABC所在圆的半径为R, 事件B:前两个话题第一个为娱乐类，第二个为时 事类， 所以由正孩定理得2R=品0= 3 事件B2:前两个话题第一个为时事类，第二个为娱 所以D,E=2R-AD,=45-5-E 乐类， 3 3 事件B:前两个话题均为时事类， 则A(0,-√3,0)，C(-1,0,0),B(1,0,3), 由(1)可得P(B,)=0.18,P(B)=0.42,P(B2) (号 =0.2,P(B3)=0.2, 所以AC=(-13,0),AB=(15,3),A范= P(AB。)=0.7,P(AB)=0.5,P(A|B2)= 0.7,P(AB)=0.5, (11分) （o. (6分) 所以P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(AB)+ 设平面AB,C的法向量为n=(x,y,z), P(B2 P (A B2)+P(B3)P(ABs 「n·AC=-x+5y=0 =0.18×0.7+0.42×0.5+0.2×0.7+0.2×0.5= 所以 n·AB=x+√3y+3x=0 0.576. (15分) 取y=√3，得x=3,x=-2, 17.解：(1)取BC的中点D,连接AD,AD, 所以n=(3,w5,-2). (8分) 因为三棱柱ABC-A1BC为正三棱柱， 设点E到平面AB:C的距离为d, 所以BC⊥AD,AA1⊥平面ABC, 因为BCC平面ABC, 则d=1n:A龙=0+4-6l n /9+3+4 2 所以AA⊥BC, 所以点E到平面AB,C的距离为2 1 (10分) 又AA,∩AD=A,AA,ADC平面AAD, 所以BC⊥平面AAD, (2分) （3)由2)得A(0,-尽3).E(o,93): 由球的对称性及正三棱柱的几何性质可知O AP ∈AD, 设P(0,t,3),AE λ(0≤A≤1)， 又E∈AD,AD∥AD1, 则A产=AA, 所以OEC平面AAD, 所以BC⊥OE (4分) 所以(0+50)=A(o,o小， (2)连接DD1, 则万。 由(1)可知AD⊥BC,且DD⊥平面ABC, 所以AD,BC,DD两两垂直， 所以P(o,-,3)小， 以D为原点，DB,DA,DD所在直线分别为x,y, (12分) 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以C-(1.-.3 章4 评价练习 数学（五） 由(2)知平面ABC的一个法向量为n=(3,W3,一2)， 令g(x)=-2x2+6x-2-e, 设直线CP与平面AB,C所成的角为， 则g'(x)=-4x十6-e, 则sin0=|cos(n,Cp)|= Jn·cp 易知g'(x)单调递减， |n·Icp 又g'(0)=6-1=5>0,g'(1)=-4十6-e=2-e |3+4λ-3-6 <0, 9+3+×√1+(5x-5)+9 所以存在n∈(0,1)，使得g'(n)=0,即-4n十6 =e”, 2λ-3 310 所以当x<n时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 2√9-8a+18 40 当x>n时，g(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)≤g(n)=-2n2+10n-8. (8分) 化简得1122-408λ十243=0， 解得=子或以-贸舍). 因为g0=-2+10m-8=-2(a-名}厂+号n ∈(0,1)， 所以会E是 (15分) 所以g(n)在(0,1)上单调递增， 所以g(n)<g(1)=0,所以g(x)<0, 18,解：(1)当a=0时，f(x)= e 一x 则9'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减， 则f(）=2xe-re-1=2x=2-c 又当x趋向一∞时，p(x)趋向十∞；当x趋向十oo 时，(x)趋向0， 令h(x)=2x-x2-e,则h'(x)=2-2x-e, 所以(x)>0, 易知h'(x)单调递减， 因为f(x)有且仅有一个极值点， 又'(0)=2-1=1>0，（分）=2-1-=1 所以a>0, 所以a的取值范围为(0，十∞). (10分) et<0, 故存在m∈(0，号)，使得(m)=2-2m-e=0. (3)当a=1时，f(x)=二x+2x+e-c e 令H(x)=-x2+2x十e2x-e, (2分) 则H'(x)=-2x十2+2e2x-e, 所以当x<m时，h'(x)>0,h(x)单调递增： 当x>0时，2e2r呈指数增长且远大于其他项， 当x>m时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 故H'(x)>0; 所以h(x)≤h(m)=2m-m2-em=-m2十4m-2 当x≤0时，-2x十2≥2,2e2r-e=e'(2e-1), <0, 0<e≤1，-1<2e-1≤1， 所以f(x)<0, 所以H(x)>0,H(x)在R上单调递增，(12分) 则f(x)在R上单调递减， (4分) 因为H(0)=0, (2)由题得f(x)=2ze二re十ae-1 所以当x<0时，H(x)<0,f(x)<0,f(x)单调 =-x+2x十ae2r-e 递减； e 当x>0时，H(x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增， 令f(x)=0,得-x2+2x十ae2x-e=0, 又f(0)=0,所以f(x)存在唯一的极小值点x=0, 所以a=x-2x十e 则问题转化为证明x1十x2>0. (13分) (5分) 由f(x1)=f(x2)(x1≠x2),不妨设x1<0<x2, 令g(x)=2-2x+e e 要证x1十x2>0,即证x2>-x1, 则g'(x)=(2x-2+c)e-2(x2-2x+c)c2 因为f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 所以x2>-x等价于f(x2)>f(一x1), =-2x2+6x-2-e 又f()=f(x2),所以f(x)>f(-x1). (14分) 数学（五） 参考答案及解析 令F(x)=f(x)-f(-x),x<0, 所以点P的坐标为(0，√6)或(0，-√6).(7分) 则F)-若+e-x-(后+e+) (3)由(1)知a2=9,b=6, =r(日-e)+(e-)-2x, 所以L(分需)=0，即货+=0. (8分) 由题可得T在点M(x1,y)处的切线4的方程为 则F)=2z(是-e）-r(日+e）+e+e-2 +义=1， 9 6 令u(x)=F(x),x<0, 则w=2(位e)+2z(吉-e）-2(是 在点N()处的切线4的方程为等+岩 =1, c)-r(-+e)+e-己 则由于+器=0，得上6 36 (10分) =(r+1)(是-e)-4a(信+e), 当11,2的斜率都存在且都不为0时， 因为x<0, 设(，l2的斜率分别为k1,k2,R(xR,yg),R卡士3 且≠士√6， 所以是 -e>0,4x<0, 过点R的T的切线方程为y一yr=k(x一xR)(k≠ 所以u(x)>0, 0), 所以u(x)即F'(x)在（一oo,0)上单调递增， (y-yR=k(x-IR) 所以F(x)<F(0)=0, 5+苦1 联立〈 所以F(x)在（一o∞，0）上单调递减， 则F(x)>F(0)=0,即f(x)>f(-x), (16分) 得(3k2+2)x2十6k(yR-kxR)x+3(yR-kxR)2 因为x<0,所以f(x1)>f(-1), 18=0, (12分) 所以x1十x2>2x。得证. (17分) 则△=36k2(yR一kxR)2-4(3k+2)[3(yR-kxR) e=c-V3 -18]=0, a 3 整理得(x最一9)k2-2 IRyRk十y呢一6=0， 19.解：(1)由题可得 2b=2√6’ 显然k,k2是上述方程的两个根， a2-6=c 眉6-游昌-1小 解得a=3,b=√6，c=√3， 所以x十项=15(xR≠士3且yR≠士√6).(15分) 所以T的方程为号十苦-1. (3分) 当，2中一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜 (2)由(1)可得|FF,|=23, 率为0时， 则SaA=1EF·|w=1=3E, 可得点R的坐标为(3w6)或(-3w)或 (3,-√6)或(-3，-√6)， 所以|yp|=√6，则yp=士6， 此时点R也满足x片十y%=15. (16分) 将=士5代人号+若-1，得=0， 综上，点R的轨迹方程为x2十y=15. (17分) ·62026年学科素养评价练习 答题纸·数学（五） 学校 班级： 姓名： 正确填涂 填 准考证号 考场号： ■ 涂范 错误填涂 0I0I①四I0四0)①四0I 座位号： 以X 语 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 8I88I8I8I888I8I8 99991919191999 缺考 标记 格装蔬程整青发差由华保 选择题 1AIB图MDD 6AB☑D 2IB图CMDD 7 A BI CD 3AB图CM团 8 ABIC四DI 4AB图CD 5IB图CMD 选择题 9AIB图ID 日 10AIB图CMDI 11 A B CD 非选择题 12. 13. 14 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A 答题纸·数学（五）第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（五）第6页（共6页）