2026年学科素养评价练习数学(四)-【衡水金卷·先享题·信息卷】2026年高考数学学科素养评价练习（A卷）

2026年学科素养评价练习 数学（四） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx为素数}，B={a,b},若CaB={xx∈A,x≥4}，则B= A.{3} B.{1,2} C.{2,3} D.0 2.若4x=3x+2√7i,则之= A.1 B.√2 C.2 D.3 3.圆C1:x2十y2一2x-2y+1=0与圆C2:x2+y2+6x+4y一3=0的位置关系为 A.外切 B.内切 C.相交 D.相离 4.某校两个社团共有50名学生，A社团有学生30人，其综合成绩的平均值为80分，方 差为4；B社团有学生20人，其综合成绩的平均值为90分，方差为6.则这50名学生 综合成绩的 A.平均值为84分，方差为28.4 B.平均值为84分，方差为28.8 C.平均值为86分，方差为28.4 D.平均值为86分，方差为28.8 5.已知函数f(x)=ln(sinx+acos x)(a>0)的值域为(-o,1],则a= A.1 B.√2 C.√e D./e2-1 6.某地区举办演唱会时，为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助 检测.已知依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为5，若观众确实携带， 安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有。的概率因误检其他物 品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品 的概率为 A c D. 5 数学（四）第1页（共4页) 7.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为M,过点M的直线 与C在第一象限交于点N(点N在点F右侧)，若5sin∠MFN=7sin∠FMN,则直线 FN的斜率为 A.2√6 B.3√3 c 5 D.12 8.已知正数a,b,c满足2a+lna=3+lnb=5+1nc,则下列说法错误的是 A.当c=1时，a+b>3 B.a>b>c C当ac=1时，c>号 D.当ac=1时a十c>号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知m>n>0,则下列结论正确的是 A.Ig m>lg n B.√m+I>√n C.若c>0,则m-c>n十c D.若+号=2则m<号 m n 10.已知函数f(x)=x3一3x一3，则 A.f(x)有2个极值点 B.f(x)有3个零点 C.f(π)>f(√2) D.曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线过点（一1,0） 11.如图，在正方体ABCD一A1BCD1中，M为A1B1中点，P为线段BD上一点，记平 面MPC截正方体所得截面为α.当A,P,C三点共线时，MP=√5，则 A.正方体ABCD一A1BC1D1的体积为64 D M B.当AB的中点在α上时，截面图形的面积为2√5 B 、 C1 C.记MP的中点为Q,CQ的最小值为 2D D.B1P+PC的最小值为2√2+√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若sin(a+）=4,则cos(2026+专)x-a] 13.已知单位向量a,b满足|a+b=√3，若a十(1-)b≤1，则入的取值范围 为 14.已知稀圆E号+茶=1(0>>0)的左、右焦点分别为F,,E上一点A满足 ∠FAF,=2∠AE,F,且cos∠ABP,=号，则E的离心率为 数学（四）第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记数列{am}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sm=am+1一1. (1)证明：数列{Sn+1}是等比数列； (2)求数列{nan}的前n项和Tm. 16.(本小题满分15分) 2025年正值《巴黎协定》签署十周年，中国宣布了新一轮国家自主贡献目标，其中 新提出的量化指标即到2035年，中国全经济范围温室气体净排放量比峰值下降7%到 10%.某企业为响应国家号召，需选择一项投资方案进行投资.现有以下两种方案： 方案A:投资一项先进的碳捕获技术，投资成本为200万元.该技术成功运行的概 率为0.8，若成功，企业可获得300万元的回报；若失败，则无收益. 方案B:投资两个减排项目，项目1与项目2相互独立.项目1是能源效率提升，投 资成本为120万元，成功的概率为0.7，成功后可获得180万元的回报，若失败，则无收 益；项目2是可再生能源切换，投资成本为100万元，成功的概率为0.6，成功后可获得 200万元的回报，若失败，则无收益.两个项目成功与否相互独立. (1)求方案B中“至少有一个项目成功”的概率； (2)计算两种方案的净收益期望，并据此判断企业应选择哪个方案. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD= 1,AB=2,M为PD的中点 (1)证明：AM⊥BD; (2)若M,A,B,D四点均在球O的球面上. (ⅰ)证明：OM与平面ABCD不平行； M 1B P与平面ABCD所成角的正弦值 数学（四）第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知双曲线E无-1a>0,D>0)上有两点A,B,右焦点F(2,0),当AF1O5 (O为原点)时，AF=3. (1)求E的方程； (2)若∠AF0=∠BFO≠且≠0，点(t,O)(0<t<1)在直线AB上，点A在E的右 支上 (ⅰ)证明：t为定值； (ⅱ)记T(一1,0)，证明：存在直线AB,使得AF=BT. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=asin x十xcos x,x∈[0，π]，a≥1. (1)证明：f(x)不单调； (2)当a=1时，证明：f(x)<2; (3)若存在a≥1，使得当且仅当x∈[受元时，f(x)≤x十k,求k的取值范围. 数学（四）第4页（共4页） 方囚2026年学科素养评价练习 答题纸·数学（四） 学校 班级： 姓名 正确填涂 准考证号 考场号： 填 ■ 涂范 错误填涂 以X 0I0I①四I0四0)①四0I 座位号： 语 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 ■ 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 8I88I8I8I888I8I8 99991919191999 缺考 标记 格装蔬程整青发差由华保 选择题 1AIB图MDD 6AB☑D 2IB图CMDD 7 A BI CD 3AB图CM团 8 ABIC四DI 4AB图CD 5IB图CMD 选择题 9AIB图CD四 日 10AIB图CMDI 11 A B CD 非选择题 12. 13. 14 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四）第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四）第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A 答题纸·数学（四）第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四）第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（四）第6页（共6页）评价练习 数学（四） 2026年学科素养评价练习 数学（四） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) T ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 选择题 有限数集间的运算 易 0.82 复数的运算，涉及复 2 选择题 5 易 0.75 数的模 3 选择题 两圆的位置关系 易 0.70 总体平均值与方差 4 选择题 5 中 0.60 的计算 由复合函数的值域 5 选择题 中 0.55 求参 6 选择题 5 条件概率 中 0.50 抛物线性质的综合 7 选择题 5 中 0.32 应用 选择题 5 比较大小 难 0.28 9 选择题 6 不等式的性质 中 0.60 利用导数研究三次 10 选择题 6 中 0.50 函数的性质 以正方体为载体，截 选择题 6 面问题及中点的轨 难 0.28 迹问题 12 填空题 5 利用诱导公式求值 易 0.72 13 填空题 利用向量解决参数 5 中 0.55 取值范围问题 14 填空题 5 求椭圆的离心率 中 0.30 等比数列的证明，错 15 解答题 13 中 0.60 位相减法求和 社会热点问题，相互 独立事件的概率，利 16 解答题 15 / 中 0.50 用期望解决决策性 问题 评价练习 数学（四） 以锥体为载体，证明 线线垂直，由线面角 17 解答题 15 L 中 0.40 的正弦值求参数 的值 直线与双曲线的位 18 解答题 17 难 0.26 置关系，定值问题 以三角函数为载体 19 解答题 的导数问题，涉及由 17 / 难 0.22 不等式求参、证明不 等式 ·2 > 囚 评价练习 数学（四） 参考答案及解析 数学（四） 一、选择题 8.D【解析】对于A,当c=1时，2十lna=3十lnb 1.C【解析】由题可知集合B中有且仅有2个元素，由 5,易知f(x)=2十lnx与g(x)=3x十lnx均为增函 CB中不含素数2,3，可知B={2,3.故选C. 数，且f(2)=4+ln2<5,g(1)=3<5,所以a>2,b> 2.C【解析】由题得4之=√之+28，故7x 1,则a十b>3,故A正确：对于B,2十lna=3+lnb =28,解得|z|=2.故选C >2+lnb,即f(a)>f(b),所以a>b,同理g(b)=5 3.A【解析】由题得圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,圆 十lnc>3+lnc=g(c),所以b>c,所以a>b>c,故 心为C1(1,1),半径为m=1,圆C2:(x十3)+(y十 2)2=16,圆心为C2(-3,一2)，半径为r2=4,所以 B正确：对于C当ac=1时，2十ha=5时+n是 |CC2|=√(-3-1)+(-2-1)7=5=n+2, 5立-lna,即2+2lna-5z=0,显然h(x)=2r+ 则两圆外切.故选A. 2lnx-5是增函数，而h(2)=4+2ln2-√5>0= 4.B【解析】这50名学生综合成绩的平均值为x h(a),所以0<a<2,则c=>号，放C正确：对于 a 30X8020X0=81分，方差为-器×[4+(80 50 D,当ac=1时，由a十e>号得2+c>号，即2r 84)门+器×[6+(90一840]=28.8放选B 5c+2>0,解得<或>2，由BC选项可知合<( 5.D【解析】由题可知sinx十acos x>0,则sinx十 acos x=√+asin(x十p)∈(0，√I+a].令t= <a<2,c<2或c>2与之矛盾，故D错误.故选D, sinx十acos r,则g(t)=lnt,t∈(0，√a+1],由题 二、选择题 可知g(t)的值域为(-o∞，1]，所以t∈(0，e],所以 9.AB【解析】对于A,因为y=lgx在(0，十o∞)上单 √a2+I=e,又a>0,解得a=√e2-1.故选D. 调递增，且m>>0,所以lgm>lgn,故A正确；对 6.C【解析】设事件A:该观众私自携带应援物品，事 于B,由不等式的传递性可知√m十I>n十I>√n, 件B:安检门亮灯提示，则P(A)=子，P(BA)=合， 故B正确：对于C,当m=2,n=1,c=2时，m一c=0< 3=n十c,故C错误；对于D,因为m>n>0,所以0< ，PBA=0,所以P(B)=PAP(BA P(A)=4 六<女则品<号，因为+只=2，所以号=2 +PPBA=吉×告+片×-会所以AB 则名<2-所以品<2.又m>0,所以> n 1 4 -PA P(_X 2 号故D错误放选AB P(B) P(B) ,故选C 10.ACD【解析】对于A,因为f(x)=x3-3x-3,所 25 以f(x)=3x2-3=3(x2-1),则当x∈(-o∞， 7,A【解析】设直线FN的倾斜角为0，因为点N在点 -1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(-1,1) F的右侧，所以0<<受，过点N作准线的垂线，垂 时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，十∞)时， f(x)>0,f(x)单调递增，故一1与1均为f(x)的 足为H,作x轴的垂线，垂足为T,由抛物线的定义得 极值点，故A正确；对于B,因为f(-1)=一1+3 INH|=|NF|,所以sina= NF时=N 3=-1<0,且f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在 tan∠MNH.因为5sin∠MFN=7sin∠FMN,所以 (-1,1)上单调递减，所以当x∈(-∞，1)时，f(x) <0,又f(x)在(1，+∞)上单调递增，此时f(x)只 sin∠MFN=子sin∠FMN,则在△MNF中，由正弦 有一个零点，则f(x)只有1个零点，故B错误；对于 定理得|MN=子INF=号INHI,则cas∠MNH C,因为1<√2<π，且f(x)在(1，十o∞)上单调递增， 所以f(π)>f(√2)，故C正确；对于D,易得(0) 微-号所以a心NH=动9=25.则ng =-3,f(0)=-3,所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)) 5 处的切线方程为y一（一3）=一3(x一0)，即y =2√6，所以直线FV的斜率为2√6.故选A 一3(x十1)，过点(-1,0)，故D正确.故选ACD. A 数学（四） 参考答案及解析 11.BCD【解析】对于A,当A,P,C三点共线时，P为 2√2+√2，故D正确.故选BCD, BD中点，则MP-√AA+(宁AD)-号AD D √5，解得AD=2,所以正方体的体积V=AD=8,故 A错误；对于B,记AB中点为E,连接CM,CE, ME,显然有CM∥CE,ME⊥CE,故点C在a上，则 截面图形为矩形CEMC,又CC=2,所以CM=√5， 则截面图形的面积为CC×CM=25,故B正确； D 三、填空题 C 12.- 【解析】cos[(2026+专)m-a]=cos(号 a)=eos[2x-号-(a+若门=eo[受+(e+ D E )门=-sim(a+晋)=-子 13.[1,2]【解析】因为|a十b|=√3，所以3=a2十 对于C,取MB中点F,MD中点G,连接FG,易知点 2a…b+6=2+2a·b,解得a…b=号，故1≥a2+ Q的轨迹为线段FG,FG= 之BD=E,易知BCL 2(1-λ)a·b+(1-1)2b2=1+1-λ+(1-A)2= MB,所以FC=VBC+BF-②，因为点G到平 -3入十3，即λ2-3λ十2≤0，解得1≤λ≤2，所以λ的 取值范围为[1,2. 面BB,GC的距离为2，所以CG=√十1+ 14.是 【解析】设∠AF1F2=0,|AF:|=t,则 ,则FC+FG-CG-+2-￥=3>0： ∠EAF:=20,∠AF,F=π-39(0<9<于) 0G+PG-Fc=￥+2-4-1>0，所以∠CFG |AF|=2a-t,由正弦定理得 FF 4 sin∠FAF= ∠CGF均为锐角，故当CQ⊥FG时，CQ取得最小 AF AF 值，因为cos∠CFG= FC2+FG2-CG2 sin∠AFF-sin2AFF,因为|EE,|=2c,所 2FC·FG 以品品弱品G因为s如30=m(2叶) 2a-t t 3 Y年，所以sin∠CFG 42 sin 20cos 0+cos 20sin 0=2sin 0cos20+sin 0(1- 2×②Ix2 2 2sin20)=2sin 0-2sin0+sin 0-2sin0=3sin 0- 4sin0,所以29-1=血0=3-4sin0,所以只 √c0s∠CFG=54,故CQ的最小值为 sin FCsin∠CFG=Y6 2(1-sim20)=2cos'a,因为S=in2 ,故C正确： t 2sin 0 =cos0,所以 4 e= 1 1 3 a=2cos02cos∠AF1F41 四、解答题 B 15.解：(1)因为Sm=am+1-1, 所以Sn十1=a+1=Sn+1-Sn, 即S+1=2Sn+1, 则Sn+1十1=2(S十1)， (3分) 因为a1=1, 所以S:+1=a1十1=2≠0， B 对于D,将△BCD沿BD向下翻折与平面BDD1B 所以计-2， 共面，连接BC,则BP十PC的最小值即为线段 所以数列{S十1}是首项为2，公比为2的等比数列. B1C的长度，P为B1C与BD的交点，易知∠BBC (6分) =135°，所以由余弦定理得B:C=BB十BC2 (2)由(1)可得S+1=2m, 2BB1·BCcos∠B1BC=8+4√2，则BC= 所以am+1=Sn十1=2"， ·2· 1 评价练习 数学（四） 则an=2”-l(n≥2)，检验n=1时适合， 所以an=2-l,则nan=n·2"-1, (8分) 则Tn=1·2°十2·2十…十n·2"-1, 所以2Tn=1·2十2·2+…十(n-1)·2-1十n…2, (10分) 两式相减得一Tn=2十2十22十…十21-n·2” =号-…2=1-02-1 所以Tm=(n-1)·2十1. (13分) D 16,解：(1)方案B的两个项目都失败的概率为 设PA=1(A>0), (1-0.7)×(1-0.6)=0.12, 则N(0,0,0),A(0,-1,0),D(1,0,0),P(0,-1,A), 所以至少有一个项目成功的概率P=1一0.12= 0.88. (4分) M(分合) (6分) (2)设方案A的净收益为X, 由(1)可得AD⊥BD, 由题意可得X的可能取值为100，一200， 所以球心O在过点N且垂直于平面ABD的直 则P(X=100)=0.8,P(X=-200)=0.2, 线上， 所以E(X)=0.8×100十0.2×(-200)=40.(8分) 设O(0,0,t), 设方案B的净收益为Y, 由题意可得Y的可能取值为160，-40，一20， 所以oi=(分，合小.0亦=10，-0 -220, (9分) 由0M=0D,得++（合-）=1+i, 则P(Y=160)=0.7×0.6=0.42, P(Y=-40)=0.7×0.4=0.28, P(Y=-20)=0.3×0.6=0.18, P(Y=-220)=0.3×0.4=0.12, (13分) 所以0(0.0，冬-).o应-（合-立六+） 所以E(Y)=160×0.42-40×0.28-20×0.18 (9分) 220×0.12=26, (14分) 40>26, 易知平面ABCD的一个法向量为A产=(0,0，A), 所以企业应选择方案A. (15分) 若OM∥平面ABCD,则OM·AP=0, 17.解：(1)取AB的中点N,连接DN, 但0成.A泸=x(冬+员)=+>0，矛盾. 则BN=AN=1, 所以BN=CD=1, 所以OM与平面ABCD不平行. (11分) 又AB∥CD, ()由(1)得0市=(0，-1，经+京)， (12分) 所以四边形BCDN为平行四边形， 设直线OP与平面ABCD所成的角为0， 所以BC=DN=1=AB, 则sin0=|cos(OP,AP)|= 1OP·AP 则AD⊥BD (2分) LOPIAPI 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 婴+ √6 所以PA⊥BD, 32+2 3 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, √+（+ /9λ+28λ2+4 所以BD⊥平面PAD, 化简得9入一20x十4=0， 又AMC平面PAD, 即(9入2-2)(a2-2)=0, 所以AM⊥BD. (4分) (2)(i)由(1)可知DN⊥AB, 则=号或=2 因为PA⊥平面ABCD, 因为A>0, 所以DN,AB,PA两两垂直， 以N为原点，ND,NB所在直线分别为x,y轴，以 所以-号支-厄。 过点N且平行于PA的直线为？轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 所以PA-号或PA=E (15分) 18.解：(1)因为AF⊥OF, 所以AF=名-3 又a2+b2=4, ·3 A 数学（四） 参考答案及解析 所以a=1,b=√5， 令fx)=5r-l3x2-x+1xe(号，+∞）， 放E的方程为x-号-1 (3分) (2)(ⅰ)易知点A,B在x轴异侧，直线AB斜率存 因为f(x)在（号，十∞）上连续，且f)=一8<0， 在且不为0. f(3)=16>0, 因为∠AFO=∠BFO, 所以f(x)=0在(1,3)上有解， 所以直线AF,BF的斜率互为相反数， (4分) 即5m-13m-n十1=0在n∈（号，十e)时有解， 设A(x1y1),B(x2,y2),lhB:x=my十t,m≠0， 所以存在直线AB,使得|AF|=|BT.(17分) x-=1 联立 3 19.解：(1)由题得f(x)=(a+1)cosx-xsin x,x∈ (x=my十t [0,π]， 得(3m2-1)y2+6mty十3t-3=0, 则f(0)=a十1≥2>0，f(π)=-(a十1)≤-2<0， △=36m-4(3m2-1)(3t-3)=12(3m2+8 由零点存在定理可知，f(x)在[0，π]上至少存在一 1)>0,且3m2-1≠0， 个变号零点， (2分) 6mt 3t2-3 y十=一3y=3m 所以f(x)在[0，π]上至少存在一个极值点， (6分) 故f(x)在[0，π]上不单调. (3分) 2+ 所以ke十k=y”。 (2)当a=1时，f(x)=sinx十rcos x,x∈[0，π]， 则f(x)=2cosx-xsin x, y y2 my千t-2十m千t-2 当x∈（受，元时，cosx<0,sin≥0，则f()<0, =y(m+t-2)+y(my十t-2) (my1+t-2)(my2+t-2) 所以f()在（受，元]上单调递减： (5分) =2myy+(2)(y十82=0， (my+t-2)(ny2+t-2) 当xe[0,受]时，令g()=2cosx-xsin, 则2my1y2+(t-2)(y1+y2) g'(x)=-2sin x-sin x-xcos x =2m3t-3)-6mt(t-2-6m(21-1D=0,(8分) =-3sin x-xcos x, 3m2-1 3m2-1 由m≠0，可得t= 当xe[0号]时，sinx≥0xeos≥0， 2 则g'(x)≤0， 所以t为定值. (9分) (i)由(1)知B:x=my十 所以g红)即了(x)在[0，受]上单调递减，了分) 2, 9 又∫0)=2>0，f(受)=-受<0， 3m y十=-3mi-M%= m2-1≤0， 所以存在唯一x∈(0，受)，使得∫(x)=0, 得m>号，此时4>0恒成立 (10分) 所以当x∈[0，x)时，f(x)>0;当x∈ 若存在直线AB,使得|AF|=IBT|, (受]时，f<0, 则(x1一2)十y=(x2十1)2十y有解， 所以f(x)在[0，x6)上单调递增，在(x0,π]上单调 即(m一是)'十=(m必十是)广'+有解， 递减， 整理得(m2十1)(y1-y2)=3(y十y2) 所以f(x)≤f(xo)=sin o十o cos x0: 因为y十y2≠0， 由f(xo)=0,得2cosx=o sinx0, 所以y一=m牛十 3m 又西∈(0，受)，所以tan=2 xo 所以f(xo)=sinx十rocos ro=cOSZo(tan xo十ze) 则(y1十y2)2-4y1y2=（ =osx(2+）=+20s, 即() 9 -4× 4 由1+tan'xo= 1 cOS o 且cosx0>0, 311m2- 整理得5m-13m-m2十1=0， 得cosx0 1 o 令n=m,则上式变形为5n-13m2-n十1=0， V1+tano 问题等价于证明5n3一13n2一n十1=0在n∈ +哥 √/6+4 (号，十)时有解. 故f()=号十2 x8+2 (13分) (9分) /x6+4 √x6+4 ·4· 评价练习 数学（四） 则证明f(x)<2等价于证明 x6+2 <2, 满足条件。 (13分) x6+4 即证x6<12, 当xe[0,受]时，令pw=(a+1)eosr-rsin 1, 因为x∈(0，号)，受<1.6 则9'(x)=-(a十2)sinx-xcos a≤0， 所以<（受）广<16<6.6<12. 所以g()即(x)在[0，受]上单调递减， 所以f(x)<2得证. (10分) (3)令h(x)=f(x)-x=asin x十rcos-x, 又h'0)=a≥1>0，（受）=-受-1<0. 则不等式f(x)≤x十k等价于h(x)≤k, 故A()在[0，受]上先单调递增再单调递减， 故当x∈[受元]时，h(x)<k恒成立， 所以当x∈[0，受]时，h()在x=0或x=受处取 当x∈[0，受)时，h()>k恒成立， 得最小值， 由于h(x)的图象是一条连续不断的曲线， 因为(0)=0，h(受)=a-受=， 故当x∈[受，x]时，h(受)≤k,当x∈[0，受)时， 所以h()在[0，受]上的最小值为0或a-受 n(罗)>k, (15分) 所以A=h(受)=a受 (11分) 若a≥受，则≥0， 所以h(0)≤k, 现检验k=a 受满足条件的a的范围， 因为h(x)=asin x十xcos x-x, 不满足当x∈[0，受)时，h(x)>k, 所以h'(x)=(a十1)cosx-rsin x-1, 所以h(0)>k,即a-受<0，a<受， 当x[受，m]时，osx<0,sinx≥0，a+1>0, 所以h'(x)<-1<0, 所以1长a<受， 故h()在[受，m]上单调递减， 所以k=a-受<[1-吾，0) 所以当x[受，]时，h(x)≤h(受)=a-受=k, 故的取值范围为[1一受0) (17分) ·5