2026年学科素养评价练习数学(三)-【衡水金卷·先享题·信息卷】2026年高考数学学科素养评价练习（A卷）

2026年学科素养评价练习 数学（三） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.复数：=2+2i的虚部为 A.4i B.4 C.2 D.-1 2.设p:x>3,q:ax>3(a>0),若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围为 A.(0,1) B.(0,1] C.(0,+∞) D.(1,+∞) 3.已知向量a=(1,一2)，b=(2x,一1)，若a与a一b的夹角为锐角，则x的取值范围为 A.(-,别 B(+ c(》 D.(-,u(分2) 4.已知函数f(x)的图象如图所示，若f(x)与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)的解 析式可能是 A.g(x)=x(9x-9x) B.g(x)=x(9+9r) C.g(x)=(9*+9*)logsx -1o D.g(x)=(9-9)logsxl 5.江南三大名楼是指江西南昌的滕王阁、湖北武汉的黄鹤楼和湖南岳阳的岳阳楼.现有 50名旅游爱好者（每个人都至少去过其中一座名楼），其中去过滕王阁的有26人，去过 黄鹤楼的有23人，去过岳阳楼的有25人，去过滕王阁和黄鹤楼的有13人，去过黄鹤楼 和岳阳楼的有10人，去过岳阳楼和滕王阁的有9人，则三座名楼都去过的人数为 A.8 B.10 C.12 D.15 6.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,A,B为C上的两个动点，P为线段AB的中点， 上的射影为点E,若以线段AB为直径的圆过点F,则PA 值为 A.1 B.√2 C.√3 D.2 数学（三）第1页（共4页) 7.若函数f(x)=2cos(4x十9)(0<9<π)在区间(0，)上存在零点，且在区间 [一是，卺]上单调递减，则9的取值范围为 A(晋】 B. c.[) D.[5) 8.在数列a中，a1=a,十（一号）”a,=1,若存在n∈N,使得。2>0，则A的取 a+1-入 值范围为 A(是 B(合，) c(合 D.(合2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知f(x)=(3-2.x)6=ao十a1x十a2x2十…十a6x6,则 A.a0十a1十a2+…+a6=1 B.a1|+|a2|+|a3|+…+|a6l=5 C.a0-a1十a2-a3+…+a6=5 D.f(一1)除以6所得的余数是2 10.如图，正三棱锥A一BCD的底面边长为m,侧棱长为，E,F,G,H分别为棱AB, AD,CD,BC的中点，则 A.EF∥平面BCD B.BD⊥AC C.当m=n时，异面直线CE与GH所成角的余弦值为 3 D.当m=2√3，n=√7时，正三棱锥A一BCD内切球的表面积 为号 1.已知双线C:号-苦=1的左右焦点分别为R,R过点F:的直线1与C的右支 交于A,B两点，则 A.若点E(2,6),则AF|+|AE的最小值为√37 BA内一A的取值范围为（一号 1 C.若|AF=|BF2|=2AF2,则∠AFB=∠FAB D.存在点A,使得∠AFF1:∠AFF2=3:1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x3-f(1)x2+1,则曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程 为 数学（三）第2页（共4页） 囚 13.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋 顶可近似看作一个圆锥，若该圆锥的底面周长为8π，侧面积为24π，则该圆锥的体积 为 14.任意作一条直线x=t分别与定义域均为[a,b们的函数f(x),g(x),h(x)的图象交于点 A,B,C,若点B始终为线段AC的中点，则称f(x),h(x)是关于g(x)的“对称函数”.已知 定义域均为[0,1]的函数f(x)=√4一2x,h(x)=√/2元是关于g(x)的“对称函数”，若对 Hs∈[0,1]，3t∈[0,1]，使得g(s)<一4t十m,则m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,已知(a十b+c)(b十c一 a)=43S. (1)求角A: 2若点D在BC上AD=2,且商十答与D我线，求证：名+上要 ABI ACI 2 16.(本小题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-A,B1C中，BC=2,D为BC的中点，点P在棱CC1上， 且CP=2PC1=2. B (1)证明：平面PAD⊥平面PAB1; (2)求平面PAD与平面PAB夹角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 为增强学生的法治意识，打造平安校园，某市组织该市的2万名高中学生开展主题 为“智慧法治，平安校园”的知识竞赛.现随机抽取100名学生，对其竞赛成绩（满分100 分)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图. ↑频 组距 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 0405060708090100成绩/分 数学（三）第3页（共4页） 用样本估计总体，解决下列问题： (1)估计此次知识竞赛成绩的中位数； (2)若此次竞赛中学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(76,196),规定竞赛成 绩不低于90分的为“优秀”，据此估计此次竞赛中成绩优秀的学生人数； (3)以频率估计概率，若从参加此次竞赛的所有学生中随机抽取3人，记成绩不超 过70分的学生人数为Y,求Y的分布列及数学期望. 附：若随机变量X~N(,o2),则P(-o<X<u十o)≈0.6827，P(μ一2o<X<u +2o)≈0.9545，P(μ-3o<X<μ+3o)≈0.9973. 18.(本小题满分17分) 已知动圆p与圆E:(x+5)+y=6外切，与圆r:(红-)+y=内切，记 圆心P的轨迹为曲线C (1)求C的方程； (2)记C与y轴正半轴交于点A,过点A分别作斜率为k1,k2的直线11，l2,且l1,l2 关于直线y=x十1对称. (i)证明：k1k2=1; (ⅱ)设L1,l2与C分别交于另一点M,N,试问直线MN是否过定点？若过定点， 求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x一alnx. (1)若f(x)恰有2个零点，求a的取值范围； (2)当x>1时，f(x)>是，求a的取值范围： (3)i证明：n2·ln3ln4,·lnn+)<nl·et(m∈N. n+2 数学（三）第4页（共4页） 》囚评价练习 数学（三） 2026年学科素养评价练习 数学（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 复数的混合运算，求 1 选择题 5 易 0.82 复数的虚部 由充要条件求参数 2 选择题 易 0.75 范围 由平面向量的夹角 3 选择题 5 易 0.70 为锐角求参数范围 由函数的图象判断 4 选择题 5 中 0.60 解析式 5 选择题 集合的实际应用 中 0.55 抛物线定义的简单 6 选择题 中 应用 0.50 由余弦型三角函数 选择题 的零点及单调性求 中 0.32 参数范围 数列与不等式的 8 选择题 5 难 0.28 综合 9 选择题 6 二项式定理的应用 中 0.65 立体几何中线面位 10 选择题 6 中 0.50 置关系的综合 11 选择题 6 双曲线性质的综合 难 0.28 利用导数求曲线的 12 填空题 0.72 切线方程 易 与旋转体有关的情 13 填空题 5 中 0.55 境题 与函数有关的新定 14 填空题 中 0.30 义题 解三角形与平面向 15 解答题 13 中 0.60 量的综合 1 ▣《✉ 。乙· 7z'0 秘 1 号将明旺豫与豫台 暗易越 6I 9z0 教 1 璐回学其·兰关 Lt 酷易提 8L 磊丹明阎鲫与彩草 毒雠 0b"0 中 个 个 素豫Y业巧虹二‘业 SI 品搏 LI 罗卫是异‘喇褲 图4草业马密鲧门 事经卫阳身举 090 中 1 个 1 A 个 里士腳华‘厚垂厘里 SI 骟品斟 9I 拍亚‘判褲判理 (三)索豫 上羧奶 评价练习 数学（三） 参考答案及解析 数学（三） 一、选择题 AA十BB=m十”，因为以线段AB为直径的 2 2 1.B 【解析】：=共十公=29志D十2i=-1十 5i(2+i) 圆过点F,所以∠AFB=90°，所以|AB|2=m2+n, 4i,其虚部为4.故选B 2.A【解析】设A={xx>3},B={xax>3,a>0Y, 所以-2=41-m],又 PQ-（m+n)2 因为心0，所以B={>县}，若p是g的必要不 （m十n)2≥4m,当且仅当m=n时取等号，所以 0≤合所以8≥4×(1-专)=2所 2mn 充分条件，则B是A的真子集，则三>3，解得0<a <1.故选A. 以=≥区当且仅当AF= 3.D【解析】因为a=(1,-2),b=(2x,-1),所以a 时，取等号，所以的量小值为.故选B 一b=(1-2x,-1),因为a与a一b的夹角为锐角， 所以(a-b)·a>0,且a与a-b不同向共线，则1 2x+2>0,且平≠3解得xe(0,)U (什，)故选D 4.C【解析】由题知g(x)是定义在(-o∞，0)U(0, 十∞)上的偶函数，对于A,B,易知函数定义域为R, 不符合题意，故A,B错误；对于D,g(-x)=(9 9)logax=一g(x),为奇函数，不符合题意，故D错 7.D 误.故选C. 【解桥】当x∈[-竞是]时，4r+g∈[-吾十 5.A【解析】设去过滕王阁的人组成集合A,去过黄鹤 g,号+9]，：ge(0,,4x十ge(-号，号)， 楼的人组成集合B,去过岳阳楼的人组成集合C,则 card(A)=26,card(B)=23,card(C)=25,card(A :fx)=2os(4x+p)在区间[一登，]上单调递 B)=13,card(A∩C)=9,card(B∩C)=10,设三座名 楼都去过的人数为x,则card(A∩B∩C)=x,因为 3 card(AUBUC)=50,所以由card(AUBUC)= 减，[-+g,十9]=[0，] card(A)++card(B)++card(C)-card(AB)-card(A 号+9 ∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),得50=26+ 解得号<g<要令f0)=2as(4z十p)=0,则红+ 23十25-13-9-10+x,解得x=8,即三座名楼都去 过的人数为8.故选A 9=受十x(k∈Z),解得x=吾-是十年(k∈Z 6.B【解析】如图，过点A,B分别作C的准线：x= 一4的垂线，垂足分别为A,B,延长PE交1于点Q, :e0,)小答-是∈(-音，晋)：f()在区 则|PQ|=|PE|十4.设|AF|=m,|BF|=n,由抛 间(0，)上存在零点，·当k=0时，-是∈ 物线的定义可得|AA|=|AF|=m,|BB:|= |BF|=n.因为P为线段AB的中点，所以|PQ|= (0,),解得需<9<受，∴9的取值范围为 ·1 数学（三） 参考答案及解析 [牙，号)故选D 中点，∴.EF∥BD,BDC平面BCD,EF丈平面 BCD,∴.EF∥平面BCD,故A正确；对于B,取BD 8.C【解析】由a,+1=a,十(-）广，得a+1-a 的中点O,连接OC,OA,在正三棱锥A一BCD中， AB=AD,BC=CD,.BD⊥OA,BD⊥OC,.OA∩ (-号)广，故当n≥2时，a.=a+(a-a）十 OC=O,OA,OCC平面OAC,∴.BD⊥平面OAC,又 (a-a)++(a.-ai)=1-号+-+ ACC平面OAC,∴.BD⊥AC,故B正确； ,(” 1-(】 1-(-) =号x[1 (一)]当n=1时a=1,符合上式，所以a.= 号×[1-(-之)]当n=2k(∈N)时，a41 G au=(-)=>0,则曲，0>0，得au<d 对于C,连接CF,E,F,G,H分别为棱AB,AD CD,BC的中点，∴EF∥BD∥GH,EF=BD <a41,此时a=号×[1-（-)产门]≥a=号 a=号×[1-(-)》]≤aw=是，所以xe 乞m,∠CEF(或其补角)为异面直线CE与GH 所成的角，若m=n,则△ABC,△ACD均为等边三 (号，子）.当n=2k-1(k∈N)时，as-a1 角形，CE=CF-9m,cos∠CEr (-合）=<0，则由，之0.得as<A CE七CF-,即异面直线CE与GH所成 2CE·EF a,此时a=号×[1-（合）产]≥a=合 角的余弦值为，故C错误：对于D,设内切球的球 a1=号×[1-（-)]≤a=1,所以x∈ 心为I,半径为R,正三棱锥A一BCD的表面积为S, (号1)综上a∈（分1）.故选C 则VA-CD=V1-Ax十Vi-ABD十Vi-AcD十V1-D=3X R 二、选择题 a度+冬SaD=零s,解得R=g业，又S 9.AC【解析】对于(3-2x)i=a。十a1x十a2x2十…十 =Sam十3SaAx=35+3X号X2E×2=9E, a6x,令x=1,得a十a1十a2十…十a=1,故A正 确；(3-2x)二项展开式的通项为Tk+1=C3-· m=子×35×5=3R=8X-号故内 (一2x)=(-2)C3-x,k=0,1,…,6,则展开式 9√3 中偶数项的系数为负数，所以|a1|十a2|+|a3|十 切球的表面积为4R=4红×号-经，故D正确，故 …+|a6|=-a1十a2-a3十…十a6,对于(3-2x) 选ABD =a十a1x十a2x2十…十a6xi,令x=0,得a6=3,令 11.BCD【解析】由题可得F(-3,0),F2(3,0),对 x=-1,得a-a1十a2-ag十…十a6=5,所以 于A,由双曲线定义得|AF|-|AF2|=2a=23, |a1|+|ag|+|a|+…+|as|=5-3°，故B错 则|AF|=|AF2|+2√3，所以|AF|+|AE|= 误，C正确；f(-1)=5°=(6-1)=6°-C·6十 C·64-C·6+Cg·62-C·6+C8=6X(6 |AF2|十|AE|+2W3≥|EF2|+23,当且仅当 C·6+C·63-C·6十C·6-C)+1,所以 点A为线段EF:与C的交点时等号成立，又 f(-1)除以6所得的余数是1，故D错误.故选AC |EF2|=√(2-3)+(6-0)F=√37，所以 10.ABD【解析】对于A,E,F分别为棱AB,AD的 |AF|+|AE|≥√37+2√3，则|AF|+ ·2· 评价练习 数学（三） |AE|的最小值为√37+2√3，故A错误；对于B, f'(x)=3x2-2x,则f(2)=5,f(2)=8,所以曲线 设A(%),>5,号-普=1，则1AF y=∫(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y-5=8(x 6 -2),即8x-y-11=0. √(0+3)+=√（√3x十3）=√3十5， 13.325亚【解析】设圆锥底面圆的半径为r(>0), 3 同理得|AF,=Eaw一尽，所以TAT-TAFT 母线长为1，高为h,则2πr=8π，解得r=4,所以圆锥 -25 的侧面积S=πrl=4πl=24π，解得l=6,则h= +5。-5(3+V)(W5-5) √个-7=25，所以该圆锥的体积V=号h =气∈(-。)放B正确：对于C设 3π×4X25=325x 3 |AF2|=x,则|BF2|=|AF|=2x,所以2a= 14.(√2，十∞)【解析】因为f(x)=√4-2z,h(x) AF-AF2=,BF=BF2+2a=2x +2a=6a,|AB|=3x=6a,所以|BF1|=|AB|, =√2x是关于g(x)的“对称函数”，所以g(x)= 所以∠AFB=∠F1AB,故C正确； f(x)+h(x=A2五+2匹，x∈[0,1门，则 2 g2(x）= 4-2x十2x十4(2-x) =1十 4 W/-x2十2x,因为y=-x2+2x=-(x-1)2+1∈ [0,1],所以√一x十2x∈[0,1]，则g2(x)∈ 1,2],又g(x)≥0，所以g(x)∈[1W2].令 w(t)=t-4t+m=(t-2)2+n-4,则0(t)在 [0,1]上单调递减，所以w(t)∈[m-3,m].若对 Vs∈[0,1]，t∈[0,1]，使得g(s)<-4t+m, 对于D,假设存在点A,使得∠AF,F:·∠AF1F2= 3:1,设∠AF1F2=0,则∠AF2F1=30,∠F1AF2=元 则g(s)mx<(t-4t十m)mx,所以n>√2，故m的 -40,9∈(0，平，由正弦定理可知A5 取值范围为(2，十o). sin 30 四、解答题 IAF⊥=IFF FF2 sin sin(π-48) sin 40 L,因为|FF2=6, 15.解：(1)由题可得(a+b计o)什c-a)=45X号snA, 所以|AF|= 6sin 30 ,|AF2|= 6sin 0 因为 所以a2=(b+c)2-2√3 bcsin A, (2分) sin 40 sin 40' 由余弦定理得a2=十c2-2 bccos A, |AF|-|AF,=25,所以6sin39- 6sin 0 sin 40 sin 40 所以(b+c)2-23 besin A=+c2-2 bccos A, 2,W5,所以6sin30-6sin0=6×2cos30,+9sin30.1 则2bc-2/√3 bcsin A=-2 bccos A, (4分) 2 2 所以W5sinA-cosA=2sin(A-若）=1， =12cos20sin0=2√3sin40,则12cos20sin0= 4√5sin20cos20,所以12sin0=8√5 sin Ocos0,解得 则sin(A-晋)= (6分) cos 0=3 号，则0=吾，所以存在点A,使得∠AF,R: 因为A∈0，，所以A-若∈(-晋，) ∠AF1F2=3:1,故D正确.故选BCD. 所以A吾=晋则A=于 (8分) 三、填空题 12.8x-y-11=0【解析】因为f(x)=x3-f(1)x (2)由1)知A=号， +1,所以f(x)=3x2-2f(1)x,所以f(1)=3 因为、A店 AC 1ABI TACI 一与AD共线， 2f(1),解得f(1)=1,所以f(x)=x3-x2+1, ·3· 数学（三） 参考答案及解析 所以AD是∠BAC的平分线， 所以AB=(-5,1,0),B2=(0,-2,2),BP= 所以∠BAD=∠CAD=若。 (10分) (0,-2,-1) (9分) 设平面PAB的法向量为n=(x,y,x), 由SAAx=SAABD十SAACD, 得sim号-×2sm+×2n吾， 则n~A店=一x+y=0 n.Bp=-2y+2x=0 即9-+6. 取x=1,得y=√3，x=√5， 所以n=(1,3,w3), (11分) 两边同时除以么，相古十上-号 (13分) 由(1)可知B,P⊥平面PAD, 16.解：(1)由题可知△ABC为等边三角形， 所以平面PAD的一个法向量为B产= 因为D为BC的中点， (0,-2,-1) (12分) 所以AD⊥BC, 设平面PAD与平面PAB的夹角为0， 在直三棱柱ABC-AB,C1中，平面BCC1B,⊥平面 则cos0=|cos(n,B,户1=n.B=33」 |n|BP|√7X5 ABC,平面BCCB,∩平面ABC=BC,ADC平 3/105 面ABC, 35 所以AD⊥平面BCCB:, 又BPC平面BCCB, 所以sin9=√1-cos'9=2y西 351 所以AD⊥BP. (3分) 所以平面PAD与平面PAB夹角的正弦值为 由题可得AB=AB+BB=13,AP=AC+CP 2w√70 (15分) =8,B1P2=B1C9+PC=5, 35 所以AB=AP+B1P2, 17.解：(1)前3组的频率之和为10×(0.005+0.010+ 所以BP⊥AP, 0.015)=0.3, 因为AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD, 前4组的频率之和为0.3十10×0.025=0.55， 所以BP⊥平面PAD, (6分) 故中位数位于第4组， 设中位数为t, 又BPC平面PAB, 则0.3十0.025(t-70)=0.5,解得t=78, 所以平面PAD⊥平面PAB. (7分) 所以此次知识竞赛成绩的中位数的估计值为78. (2)由题可知CC⊥平面ABC, (4分) 由(1)可知AD⊥BC, (2)因为X~N(76,196), 以D为原点，DA,DB所在直线分别为x,y轴建立 所以=76，o=14, (5分) 如图所示的空间直角坐标系， 所以P(X≥90)=P(X≥十o) C -1-P(-0X≤+a2≈1-0.6821=0.15865， 2 2 (7分) 所以20000×0.15865=3173， 所以估计此次竞赛中成绩优秀的学生人数约为 3173. (9分) (3)以频率估计概率， 由频率分布直方图可得竞赛成绩不超过70分的概 率为0.05+0.1+0.15=0.3=高 则A(5,0,0),P(0,-1,2),B(0,1,0) B(0,1,3), 则YB(3,高)， (10分) 评价练习 数学（三） Y的可能取值为0,1,2,3， 代入y=k1x十1，得x0=k1(y6-1). 所以P(Y=0)=C×(6) 343 =1000 由点B0(x0y在4上，得y=k2xo十1， 故y%-1=k20, PY=1)=C×品×（） 441 =1000 所以xo=k1k2x0, PY=2)=cx()×名=18 7 189 由x0≠0，得k1k2=1. (9分) (i)设M(x1,y1),N(x2,y2), P(Y=3)=G×() 27 1000: (12分) y=k1x十1 联立 则Y的分布列为 + ,得(4k号+1)x2十8k1x=0, Y 0 1 2 3 -8k1 1-4k 所以=4干少=十，k≠0， (11分) 343 441 189 27 1000100010001000 同理得x2= 一8k2 1-4k 4好十1'少 4k+1' (12分) 189 E(Y)= 343 1000×0 441 27 1000×1+1000×2+1000× 由(1)知k1k2=1, -8k1 好-4 3=品（或EY)=3×是-品） (15分) 所以x,=好十4=+ (13分) k好-41-4k号 18,解：)圆E(+5+y=6的圆心为B-E,0 则直线MN的斜率为，一业= 好+44k好+1 x2一x1 一8k1一8k1 半径为， k+44k2+1 圆F:(一5)十y-器的圆心为F(5,0),半 k十1 3k1 径为只， 以线MN的方程为长背=一安) 设圆P的圆心为P(x,y),半径为r, 即y=- 好+1 3k1 则|PE到=计子，PF1=5-n 所以对任意的≠0，直线MN过定点(0，一号） 所以|PE|+|PF|=4>2√3=|EF|, (2分) (17分) 所以圆心P的轨迹是焦点为E（一，0)， 19.解：(1)当a≤0时，f(x)=x一alnx为增函数， F(3,0),长轴长为4的椭圆， 此时f(x)至多有1个零点，不符合题意； (1分) 即2a=4,a=2,c=√3， 当a>0时，f(x)=1-g=二a,x>0, 则62=a2-c2=4-3=1, 令f(x)=0,得x=a, 故C的方程为号+y-1. (4分) 则当x∈(0，a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； (2)(i)易知A(0,1), 当x∈(a,十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 故4：y=k1x十1，l2:y=k2x十1， 且当x趋向于0时，f(x)趋向于十∞；当x趋向于 设B(m,n)是l1上任意异于A(0,1)的一点， 十∞时，f(x)趋向于十∞， B。(xy)是点B关于直线y=x十1对称的点， 若f(x)恰有2个零点， 所以士业=m十+1，则一m=6一为+2，@ 则f(x)m=f(a)=a-alna<0,解得a>e.(3分) 2 2 综上，a的取值范围为(e,十o∞). (4分) 由”二=-1，得n十m=x十w,② m-xo (2)令H(x)=f)-=x-alnx->1, 由①②得 /m=y-1 (7分) n=xw十1 因为当x>1时，f(x)>,所以H(x)>0, ·5· A 数学（三） 参考答案及解析 1 易得H(x)=二ax+1_x十 即21nx<-1,x>1, x x 因为>1叶>2， 所以0<<号>1， x 令x=n+1,n∈N*, 所以a≤2时，H'(x)>0, 则0<ln(n+1)<（n十1)2-1=n(n+2) 则H(x)在(1，十∞)上单调递增， n十1 2(n十1)2 2(n+1)2 所以H(x)>H(1)=0,符合题意： (6分) 故ln2,n3,n4·..·nn十2 当a>2时，对于x2-ax十1=0，△=a2-4>0, 3 4 n十1 则方程x2-ax十1=0有两个不等实根，记为x1, <1.1×3.2X4.3×5..n-1)(m+1. 2 22 32 42 x2(x1<x2), n(n十2) 11.n十21 .n+2 且-a-a<1,=a+a>1, (n+1)=2·2‘1+i=2前·n+1: 2 2 则只需证品·者当。， (15分) 所以H'(x)在(1，十∞)上有唯一的零点x2, 则当x∈(1，x)时，H(x)<0,H(x)单调递减： 即证e受-l≤2+1 所以当x∈(1，x2)时，H(x)<H(1)=0,不符合 两边取对数，整理得号-1一(n十1)1h2≤0， 题意 (9分) 综上，a的取值范围为（一∞，2]. (10分) 即（分-ln2)m-ln2-1<0,a∈N (3）要证n2,ln3·n4·lnn+)<ml 上式显然成立， n+2 e-(n∈N"), ,n+2<+2e号， 所以VneN”2市‘n+1杀n十 只需证些3…<半 3 4 n+1 所以ln2n3ln4·nn+D<m·e号 n+2 e-受(n∈N*). (12分) (n∈N)得证. (17分) 由(2)知，当a=2,x>1时，f(x)>1 62026年学科素养评价练习 答题纸·数学（三） 学校 班级： 姓名 正确填涂 准考证号 考场号： 填 ■ 涂范 错误填涂 以X 0I0I①四I0四0)①四0I 座位号： 语 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 ■ 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 8I88I8I8I888I8I8 99991919191999 缺考 标记 格装蔬程整青发差由华保 选择题 1AIB图MDD 6AB☑D 2IB图CMDD 7 A BI CD 3AB图CM团 8 ABIC四DI 4AB图CD 5IB图CMD 选择题 9AIB图CD四 日 10AIB图CMDI 11 A B CD 非选择题 12. 13. 14 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（三）第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（三）第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) P 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A 答题纸·数学（三）第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（三）第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（三）第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A 答题纸·数学（三）第6页（共6页）