2026年学科素养评价练习数学(一)-【衡水金卷·先享题·信息卷】2026年高考数学学科素养评价练习（A卷）

2026年学科素养评价练习 答题纸·数学（一） 学校 班级： 姓名 正确填涂 准考证号 考场号： 填 ■ 涂范 错误填涂 以X 0I0I①四I0四0)①四0I 座位号： 语 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 ■ 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 8I88I8I8I888I8I8 99991919191999 缺考 标记 格装蔬程整青发差由华保 选择题 1AIB图MDD 6AB☑D 2IB图CMDD 7 A BI CD 3AB图CM团 8 ABIC四DI 4AB图CD 5IB图CMD 选择题 9AIB图CD四 日 10AIB图CMDI 11 A B CD 非选择题 12. 13. 14 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A 答题纸·数学（一）第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) D以- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答题纸·数学（一）第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A 答题纸·数学（一）第6页（共6页）2026年学科素养评价练习 数学（一） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A=x x-40,B={x∈N-1<x≤5，则A∩B=日 A.{5} B.[1,4) C.{0,1,2,3} D.{0,1,2,3,4} 2.已知关于x的实系数方程x2一4x十m=0的一个根为2一i,另外一个根为之，则 1·z A.-1+2i B.1-2i C.-1-2i D.1+2i 3.在平面直角坐标系xOy中，锐角0的大小如图所示，则tan20= A(1,3) A-日 1 B.4 c是 D青 4.已知数列{an}中，a1=-1,anm+1an=am一1，则a226十a2027= A.-1 B.1 C. D.2 5.已知a=logE3,b=21og35,c=4,则 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 6.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理， 如图1是以弦为边长得到的正方形，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小 正方形组成.类比“赵爽弦图”，可构造图2，它是由3个全等的三角形与中间1个小等 边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形ABC.连接BE,现有5种不同的颜色 可供选择，给图2中的5个三角形区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则 不同的涂色方法种数为 A.280 勾O弦(c) B.540 股(bA C.600 D.640 图1 图2 数学（一）第1页（共4页) 7.已知点，：分别为双前线C芹茶 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A为C上一 点，延长直线AF2与y轴相交于点B,以线段AB为直径的圆恰好经过点F1,BF -昌AF,则C的渐近线方程为 A.y=±25 B.y= 2 C.y=±3x D.y=士4x 8.已知函数f(x)=e-lnx-2a e2a+1恰有2个零点，则a的取值范围是 A.(-∞，0) B.(o2) c(2,+ D.(位e) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.为纪念抗战胜利八十周年，某校举办了一场关于抗战的知识竞赛，该校某班代表队6 位参赛选手的成绩分别为（单位：分）：83,100,92,94,97,97，则关于该班6位选手的 成绩，下列说法正确的是 A.平均分不超过92 B.众数为97 C.中位数为95 D.第75百分位数是97 10.已知函数f(x)=Bsin(wx十p)(w>0,g<罗)的部分图象如图所示，该图象与y 轴交于点A(O,号)，与x轴交于B,C两点，D为最高点，且△BCD为等边三角形，则 下列说法正确的是 A.w=9=晋 B.将f()的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)= 3sinx+否)的图象 C.若关于x的方程f(x)=m在[0,1]上有两个不等的实根， 则m的取值范围为[子） D.设0，若函数)在区间(2，十2)上单调递增，则：的取值范围为[名，2) 11.已知抛物线C:y=8x的焦点为F,准线为l,过F作直线12交C于A,B两点(A 在第一象限)，且AF=入FB(入>1)，点A,B在11上的投影分别为A,B1,则下列说 法正确的是 A.当λ=2时，l2的斜率为2√2 B.当λ=2时，△AAF的面积为24√2 C.直线OA,OB(O为坐标原点)的斜率之积为定值一4 D.记△AAF,△A1FB1,△BB1F的面积分别为S1,S2,S3,则S2=4S1S3 数学（一）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b满足a=b=2,且2a-b在a上的投影向量为a,则a,b夹角的余 弦值为 13.已知等比数列{an}的前n项积为Tm,a1=64,Tg=215,则当Tm取得最大值时，n的 值为 14.已知某正三棱台的上、下底面边长分别为2√3,6√3，球O为该正三棱台的内切球， 则球O的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 近几年来，人工智能（简称A)逐渐兴起，并在各行各业中都得到了较广泛的应用. 某校随机抽查了100名教师，调查他们使用AI技术与年龄的情况，收集整理数据后得 到如下列联表 单位：人 使用AI技术情况 年龄 经常使用 合计 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析是否经常使用AI技术与年龄有无 关联？ (2)现从样本中经常使用AI技术的教师中，按是否超过40周岁分层，利用分层随 机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研 究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为X,求X的分布列和数学期望， n(ad-bc)2 参考公式：X=a+Dc十d(ac)b十d,其中m=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分》 已知函数f(x)=2 cos(wr-+F)(w>0)的图象经过M(m,2),N(20)两点，且 |黑一x的最小值为吾 )求f(x)在区间[-牙，]上的值域： (2)在锐角△ABC中，f(A)=-√2，且A∈(，罗)BC的中点为D,且BC=1,求 AD的取值范围. 数学（一）第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BCD=否，PA⊥PC,PD =PB. (1)证明：BD⊥平面APC; (②)若∠ACP=音，点Q在棱CP上，且cQ-号CP. 求直线BQ与平面ABP所成角的正弦值. D以 B 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C上任意一点P(x,y)满足Wx2+y2一4x十4十 √x2+y2+4x+4=2√6，点A,B在曲线C上运动. (1)求曲线C的方程； (2)点E的坐标为(1，一2)，若O恰好是△ABE的重心，求直线AB的方程； (3)若直线AB经过点F(一2,0)，问：在直线I:x=一3上是否存在点M,使得 △MAB是等边三角形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(2-a)x+xlnx,g(x)= er. (1)当a=1时，求f(x)的极值； (2)设a=2,证明：f(x)与g（x)的图象恰有一个公共点； (3)当x∈(1，+oo)时，f(x)>1一a,求整数a的最大值. 数学（一）第4页（共4页） 》囚评价练习 数学（一） 2026年学科素养评价练习 数学（一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 集合中的交集运算， 1 选择题 其中一个集合涉及 0.80 解分式不等式 2 选择题 5 复数方程问题 易 0.78 3 选择题 5 倍角公式的应用 易 0.72 选择题 周期数列问题 / 次 0.65 比较指数、对数幂的 选择题 5 大小（涉及换底公 / 中 0.55 式) 6 选择题 涂色问题 中 0.40 7 选择题 5 圆与双曲线的综合 中 0.35 8 选择题 5 指对同构问题 难 0.28 统计问题，涉及百分 9 选择题 63 中 0.65 位数、平均数的计算 由正弦型函数图象 10 选择题 6 中 0.55 研究其性质 11 抛物线的焦点弦的 选择题 6 / 难 0.28 性质 平面向量的投影向 12 填空题 易 0.78 量问题 等比数列的前n 13 填空题 5 中 0.60 项积 几何体的内切球 14 填空题 中 0.40 问题 独立性检验，超儿何 15 解答题 13 中 0.65 分布的分布列 ·1 评价练习 数学（一） 三角函数与解三角 形，其中一问研究余 16 解答题 15 弦型函数的单调性 L 中 0.55 与值域，另一问与解 多个三角形相关 以锥体为载体，证明 17 解答题 15 中 0.45 线面垂直，求线面角 18 解答题 1 点的轨迹问题，存在 难 0.28 性问题 以对数型函数为载 体，利用导数求不含 19 解答题 17 参函数的极值，由不 难 0.25 等式恒成立求参数 的最大整数解 ·2 回 评价练习 数学（一） 参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 所以BF:=号1AF,设1AF:=2m(m>0),则 1.C【解析】由题意得A={x|-2≤x<4),B= {0,1,2,3,4,5},则A∩B={0,1,2,3}.故选C |BF2|=3m=|BF1|,|AF,|=2a十2m,由题意得 2.A【解析】将2-i代入x2-4x十m=0中，可得 AF1⊥BF1,则在Rt△ABF1中，9m2+(2a十2m)2= (2-i)2-4(2-i)十m=0,解得m=5,故x2-4x十 25m2,则(a十3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3 5=0→(x-2)2=-1,故x-2=士i,因此另一个虚 (舍去)，所以|AF1|=4a|AF2|=2a,|BF2|= 数根为x=2+i,故i·x=i(2十i)=一1十2i,故选A. |BF:|=3a,则|AB|=5a,故cos∠FAF:= 3.D【解析】因为点A(1,3)是角9+于终边上的一 品-兰台房以在△A,兵中，a∠RA 点，所以tan(叶于）=3，所以tan0=am(g+平） _16g2a-号，整理得5=6e,即5a+ 2X4aX2a tan(叶平）-an 3-1 56=9a,整理得56=4，所以会-25，所以C的 4 1+iam(g+平）·ian妥 渐近线方程为y=士2 2x.故选A. 5 所以tan20=-tan0 2tan 0 1 4 1一 1 ,故选D. 4 4,B【解析】由a+1a,=a,-1,得a1=1-1,且a =-1,所以a=1-1=2,a4=1-1= a a22,a4=1 ⊥=-1，所以数列{a,}是周期为3的数列.由于 2026=3×675+1,2027=3×675+2,因此a226+ a22?=a1十a2=-1十2=1.故选B. 8.C 【解析】令f(x)=0,得一lnx一2a-e“+1 5.D【解析】由题得a=logr3=1og3=log3 x l0g2√2 1 0,即e-lnx-2a-xe2a十x=0,即e十x=lnx十 xe2a+2a=lnx+2a十ea+mx,令h(x)=e+x,即 2l0g23=log2 9>log2 8=3,6=2l0g:5=log:25<loga 27 h(x)=h(2a十lnx),又h'(x)=e+1>0,所以 =3,所以b<3<a,c=43=2号<2，而b=210g5> h(x)在(0，十o∞)上单调递增，所以x=2a十lnx,即 2log3=2,所以c<b<a.故选D. 2a=x-lnx在(0，十∞)上有两个解，令9(x)=x 6.C【解析】先涂△DEF,△BEF,有5×4=20种不同 -n,所以g(x)=1-1=1,由g(x)>0→x x 涂法，再涂△BCD,它的颜色应与△DEF,△BEF都 x 不同，故有3种涂法，下分三种情形：①△AEB与 >1,9(x)<0→0<x<1,所以9(x)在(0,1)上单 △BCD同色，则依次涂△AEB,△AEC的方法有3 调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以p(x)n= 种：②△AEB与△DEF同色，则依次涂△AEB, 9(1)=1,当x→0时，9(x)→十o;当x→+o∞时， △AEC的方法有3种：③△AEB与△BCD,△DEF (x)→十∞，作出(x)的简易图象如图，由图可知 均异色，则依次涂△AEB,△AEC的方法有2×2=4 2a>1a>之，即u∈（分十∞）故选C 种，故由分步乘法计数原理得不同的涂色方法种数为 20×3×(3+3+4)=600.故选C. 7.A【解析】如图，由C的对称性知|BF|=|BF|, ·1 数学（一） 参考答案及解析 m+号≥-+2km ,k∈知e[-+2， y=(x) +2还+号≤受+2 2 y-=2a +4]k∈z且0<<2，由-吾+2k<-号 3 +4,得>是，令=1，得e[后号]，又0< 2所以[名，2小当≥2时，音+2k>2,不合 二、选择题 9.BD【解析】将成绩按从小到大的顺序排序为：83， 题意，所以1的取值范围为[行，2)，D正确故 92,94,97,97,100,对于A,平均数为 选BD 83+92+94+97+97+100=563≈93.8>92，故A 11.ACD【解析】对于A项，由λ>1，可得l2的斜率为 6 6 正，如图， 错误；对于B,97出现两次，其他数据只出现一次，所 以众数为97，故B正确；对于C,中位数为第3,4个数 据的平均数，为94十97=95.5，故C错误：对于D,6× 2 75%=4.5,所以第75百分位数是第5个数，为97，故 D正确.故选BD. 10.BD【解析】对于A,由题意△BCD的高为3，故 BC=BD=√5=2，所以周期T=2BC=2红，解得 n号 过点B作BD⊥AA于点D,则由抛物线的定义知 w=受，因为f(x)的图象与y轴交于点A(0,号)， BB:|=|BF|,|AA1I=1AF「，所以|AD= 所以w5sn9=是，即sing=号，又因为g<受，所 IAA|-|BB:|=|AF|-|BF|=|BF|,所以 ca∠DaB=0--号故∠Da= AB 以g=号，所以f(x)=5si(受x+号），故A错 小厂乙DA=2,所以6的斜率为长 误：对于B,将f(x)的图象向右平移号个单位长度， sin∠DA5=22,A正确：对于B项，因为F(2,0), cOS∠DAB 得到f(-号)=sin[受(x-专）)+号] 由A项可知直线2的方程为y=2√2(x一2)，代入 √sin(受x十)的图象，故B正确：对于C,由 抛物线方程得8(x-2)2=8.x,整理得x2-5x十4= 0,解得xB=1,xA=4.根据抛物线的定义得 f(x)=m,得Bsin(受x+号）=m,当x∈ |AF|=|AA|=xA+2=4+2=6,所以△AA1F [0,1时，受x+吾∈[受，]5n号=， 3 的面积为S=号|AFs∠DAB=18×2 3 5m登-6v5s如要-号，因为关于上的方程 12√2，B错误；对于C项，设l2的方程为x=ty十2， 2 代入C的方程并整理，得y2-8ty-16=0,设 f(x)=m在[0,1门上有两个不等的实根，所以多≤ A(x1,y1),B(x2y2),则y1=-16,y十=8t, 2 所以x1,=业)2=16 64 64 =4,所以kako路=头· m<√3，故C错误；对于D,由题得t>0,t+2>2t,即 0<1<2,当x∈(2,1+2)时，受x+牙∈ 业=业=一16=一4，C正确：对于D项，S= 4 (+号，2+号)因为了(x)在区间 合AA·y=立十2同理，S=子· (2t,t十2)上单调递增，则 1BB1·1=-合(+29，而S=201 ·2· 评价练习 数学（一） 2),故4S1S4=-[2(x1十x2)十x1x2+4]·y1y, X6√3=9.圆O与AD,DD1,AD相切于E,F, 结合C项，x1十x2=t(y1十y2)十4=8t十4，则 E,其中E,E分别为棱台上、下底面的中心，DD 4SS=256(t+1),而S=4(y-y2)2=4[(y十 )-4y1y2]=256(t+1),则S=4SS3,D正确. 为斜高，因为ED=号AD=1,ED=号AD=3, 故选ACD. 由切线长定理，易得ED=DF,E,D=FD,则DD 三、填空题 =ED十ED1=4,所以EE 12.-号【解析】由2a-b在a上的投影向量为号a, √DD-(ED,-ED)严=23，即该球的半径R 得2a=2a。9.a=8-b.,即号 合EE=厅，所以该球的表面积为S=4R=12元 a 2 4 四、解答题 8-a·b,故a·b=-2,即2X2×cos(a,b)=-2, 15.解：(1)零假设H:是否经常使用AI技术与年龄 4 无关， 所以cosa,b=一子 由表中数据经计算得x=100×(20×10-40×30) 60X40×50×50 13.6或7【解析】由T3=25,得a1a2a=a2=25,所 ≈16.667>10.828=x0.001, (4分) 以a=32,故公比q=之，所以a=ag1=64× 依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断 H。不成立， (3)-()》.法1：所以T.=(3) 即认为该校教师是否经常使用AI技术与年龄有关， (号)厂×…×（侵广=(）》当取得 该推断犯错误的概率不超过0.001. (6分) (2)抽取的6人中，年龄超过40周岁的有积×6=2 最大值时，m”。13)取得最小值，所以n=6或m= 2 人，年龄不超过40周岁的布铝×6=4人， 7.法2：由/a,≥] 得n≤7，又a?=1,所以当n=6 故X的所有可能取值为1,2,3， am+1<1 或7时Tm取得最大值. P(X=1)= C 51 14.12π【解析】记该正三棱台为三棱台ABC P(X=2)= CIC3 ABC,如下图所示： 5 P(X=3)=S-1 (11分) 所以X的分布列为 2 3 P 5 5 A C 数学期望为E(X)=1× -+2× +3× 5 =2 如图，上底面BC边上的中线为AD,下底面BC (13分) 边上的中线为AD1.根据内切球的性质可知，球O 16.解：(1)由题意f(x)的图象经过M(x1,2),N(x2,0) 与三个平面的切点分别在AD,DD,AD上.截面 ADDA:如下图所示： 两点，且x一x的最小值为若 可得f(x)的最小正周期T=吾×4=经。 31 则2红=2匹，解得w=3。 (2分) 3 则f(x)=2cos(3x+开) (3分) E 因为[-受]： 根据勾股定理易知，AD=5×2√3=3，A,D,= 2 所以=3+号∈[-] ·3· 数学（一） 参考答案及解析 由y=2cost的单调性可知此时y∈[一√2,2]， 所以AC⊥BD,且O既是AC的中点，也是BD的中 即f(x)在区间[-吾·若]上的值域为[一万，2] 点， (2分) 又PB=PD, (6分) 所以OP⊥BD. (3分) (2)因为A∈（答，受） 又AC∩OP=O,AC,OPC平面APC, 所以BD⊥平面APC. (4分) 所以3A+平∈（平，）， (2)以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y 轴，作O:⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角 又f(A)=2cos(3A+平)=-E, 坐标系， 所以3A+开-平，解得A=号 4 (7分) 由正弦定理得BC=AC。AB __23 sin A sin B sin C n 3 所以AC-25sinB,AB=2 3 3sin C, 0<B<受 根据△ABC是锐角三角形，可得 l0<C<受 x 设AB=2, 结合B+C=罗，可得Bc(晋，受)）， (10分) 则由∠BCD=号，得AC=2B, 又因为BC的中点为D, 则2AD=AB+AC, 在Ri△PAC中，∠ACP=若， 所以4|A市1：=|AB1:+|AC:+2AB.AC 则CP=3,AP=√5， =号sinC+号sinB+专sinB·sinC 又A0=F,∠PA0=号， =专m(受-B)+专simB十专snB· 所以△APO为等边三角形，OP=√3， 因为BD⊥平面APC,BDC平面ABCD, sin(-B) 所以平面APC⊥平面ABCD, 又平面APC∩平面ABCD=AC, 所以点P在底面ABCD的射影在AC上，则 +4.1-s2B+4snB 2 2 P(90,) (7分) sin(B) 易知A(5,0,0),B(0,1,0),C(-√3,0,0)， =专cas(2B-25)+号， (13分) 所以A=(-5,1.0)A市-(-0，号），- 由Be(告，受)得2B-∈(-受，受)， (--1.).-(90 则co(2B-)∈（分，1]， 由已知得C=C位， 所以÷os(2B-Ξ)+号∈（子，3]， 则cd=(0,) 即4aò∈（子，3]， 则Bà-Bc+à-(-，-1，）： 所以AD的取值范围为（会，号] 设平面ABP的法向量为n=(x,y,x)， (15分) n·AB=-√3x+y=0, 17.解：(1)设AC与BD交于点O,连接OP, 则 因为底面ABCD是菱形， 评价练习 数学（一） 取x=√3，则y=3,x=1,得n=(,3,1),(13分) 设AB的中点为G(xye), 设直线BQ与平面ABP所成的角为日， 又A(x1,y1),B(x2,y2), 则sin8=|cos<BQ,n)|= BQ·nl BQIIn 由片+兰-可得.o心+9y-4my一2-0. (x=my-2 ×5-1×3+2×1 1 2 226 △=16n2十8(m+3)=24m2+24>0恒成立， -2 +1+于×9 13 则十平异 (12分) 所以直线BQ与平面ABP所成角的正弦值为 则%=y十业=2m 2 m2十3 226 (15分) —6 13 由于G在直线x=my-2上，所以x6=m十3， 18.解：(1)由√/2+y-4x+4+√/2+y+4x+4=2√6， 若存在点M使△MAB为等边三角形，则MG⊥AB, 得√/(x-2)+y+√/(x+2)+y=26, 则直线MG的斜率为一m, 其表示点P(x,y)到两点F1(-2,0),F2(2,0)的 所以|MG引=√/I+n s+3 距离之和为2√6， 又F,F2两点间的距离为4<2√6， =V1+m3m+3 m2+3 (14分) 由椭圆的定义可知，曲线C是以F(一2,0)， |AB|=/1+m2|y-y2 F2(2,0)为焦点，2√6为长轴长的椭圆， =√+m√(y+)-4y1y2 即2c=4,2a=2√6， 26(m2+1) 所以b=2, (15分) m2+3 所以曲线C的方程为 21. (4分) 因为△MAB是等边三角形， (2)设A(xy),B(x2y), 所以MG!=B 则AB的中点H(古严，产） 则mi(3m+3)- 2√6(m2+1) 2 因为△ABE的重心是坐标原点O, 解得2=1，即m=士1， 所以西十+1=0，”十”一2=0， 3 3 故直线AB的方程为x-y十2=0或x十y十2=0. 可得x1十x2=-1,y1十y2=2, (17分) 得AB的中点H(-令，1) (7分) 由 得 (x1十x2)(x1-x2) +丝=1， 6 162 G (y十2)(1-y2）=0, 即-。亚+十y一=0， 6 可得ka=二业=1， 19.解：(1)当a=1时，f(x)=xnx十x,其定义域为 x1-x2 6 (0,十0∞). 所以直线AB的方程为y一1=合(x+号)， f(x)=In z+2, 即2x-12y+13=0. (9分) 令f()=0,得x= (3)当直线AB的斜率为0时，易得不存在等边三角 形； (10分) 当x∈(0，号)时，了()<0，fx)单调递减： 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x =y-2, 当x(合，十o∞)时，f'(x)>0,f()单调递增， A 数学（一） 参考答案及解析 所以当x=时，fx)取得极小值f(侵）-， (3)当x∈(1，十∞)时，f(x)>1-a, 即(2-a)x+xlnx>1-a, f(x)无极大值， (4分) (2)当a=2时，f(x)=xlnx, 整理可得a<n'+2红-1=nx+1 x可-=x-1十+2， 令儿)=8)，得h=若 原题意等价于a<中十十2对任意>1恒 即x2-elnx=0, 成立， (11分) 设h(x)=x2-elnx, 则W(2)=2x-enx-兰=2x-c(nx+), 令F(x)-0++2>D. 则F(x)= (1+In z)(z-1)-zIn z 1 (x-1)2 令9(x)=lnx+1, (x-1)2 (5分) =x-lnx-2 则()=立女- (x-1)2 令u(x)=x-lnx-2,x>1, 所以当x∈(0,1)时，9'(x)<0,(x)单调递减， 当x∈(1，十o∞)时，9'(x)>0,g(x)单调递增， 则)=目号>0 所以g(x)=g1)=1,即hx+士 所以u(x)在区间(1，十o∞)上单调递增， 因为u(3)=1-ln3<0,u(4)=2-ln4>0, 令y=e'-ex,则y'=e'-e, 所以u(x)在区间(1，十∞)内存在唯一零点xo 所以当x∈(0,1)时，y'=e-e<0,y=e-ex单调 ∈(3,4)， 递减； 即xo-lnxo-2=0, 当x∈(1，十o)时，y=e-e>0,y=e一ex单调 所以lnxo=xo-2, (14分) 递增， 当x∈(1，xo)时，u(x)<0,即F(x)<0: 所以y=e-ex≥0，即e≥ex, 当x∈(x0,十o∞)时，u(x)>0,即F(x)>0, 所以e(nx+)≥e, (8分) 可知F(x)在区间(1，x。)上单调递减，在区间 (x,十∞)上单调递增， 所以k(x)=2x-e(lnx+是）≤2x-ex 所以F)=F()=h导++2 x(2-e)<0, 所以h(x)在(0，十∞)上单调递减， =622士+2=+1 (16分) x0一1 又h(1)=1,h(e)=e2-e<0, 因为x∈(3,4)，则x十1∈(4,5)， 即h(1)h(e)<0, 即F(x)mim∈(4,5)， 所以由函数零点存在定理知，h(x)在(1，e)上存在 又a为整数，则a≤4， 唯一的零点， 所以整数a的最大值为4. (17分) 即方程f(x)=g(x)有唯一解， 所以曲线f(x)和曲线g(x)恰有一个公共点得证. (10分) 6