10.2 事件的相互独立性（分层作业，5大知识点）高一数学人教A版必修第二册

10.2 事件的相互独立性 知识点一 相互独立事件的判断 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 【答案】C 【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： ①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以，，，， 因为事件与事件互斥，所以，又， 所以事件M与事件N不相互独立，故A错误； ，故B错误； 由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确； 因为事件N与事件Y互斥，所以，又， 所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.故选：C． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【解析】对A：掷两次骰子，基本事件有个， 事件“两次掷出的点数之和是6”包含：，，，，共5个基本事件， 所以，故A错误； 对B：事件都包含基本事件有：，，，，，共6个， 所以；事件包含的基本事件有：，所以, 因为，故与不相互独立，故B错误； 对C：事件：“第一次掷出的点数是偶数”，所以, 事件包含的基本事件有：，，，所以， 因为，所以事件，相互独立，故C正确； 对D：因为事件包含：，共2个基本事件，所以， 因为，故事件与不相互独立，故D错误.故选：C 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（    ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误.故选：C. 4．（24-25高一下·重庆·期中）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】由题意得：事件“”的情况有： 共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种，所以； 事件“”的情况有：共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种，所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确.故选：D. 知识点二 相互独立事件的概率计算 1．（24-25高一下·河北沧州·月考）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.357 D．0.275 【答案】D 【解析】由题意， 第一局甲先着子，甲前两局获胜的概率为， 第一局乙先着子，甲前两局获胜的概率为， 故甲前两局获胜的概率为.故选：D. 2．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 【答案】C 【解析】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确.故选：C 3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生， 而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为， 所以事件，都不发生的概率为， 故事件，中至少有一个发生的概率是，故D正确.故选：D 4．（24-25高一下·天津河西·期末）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率故选:D. 知识点一 相互独立事件与互斥事件辨析 1．（24-25高一下·贵州安顺·期末）若，，则关于事件A与B的关系正确的是（    ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 【答案】A 【解析】因为，所以，则， 又因为，所以，则事件A与B相互独立， 由于，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确，故选：A 2．（25-26高二上·广东中山·月考）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【解析】因， 则， 于是， 因，则事件A与事件B不是互斥事件； 又，则事件A与事件B是独立事件.故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【解析】由题意知，所以A、B不是互斥事件， ，所以与独立，所以与独立．故选：B． 4．（24-25高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 【答案】B 【解析】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件， ，即B与不相互独立，故B错误； ，即与不相互独立，C与A互斥，故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点， 此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确；故选：B. 知识点二 电路问题中的独立性 1．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期末）如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件， 则， 电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作， 、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率， 所以整个电路不发生故障的概率为.故选：C. 2．（24-25高二上·广东江门·期中）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为.故选：D. 3．（24-25高二上·四川德阳·月考）如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作， 因为该电路正常工作为事件， 则，故选：A． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为.故选：C. 知识点一 相互独立事件综合应用 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ，解得. 2．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件， 所以，则， 所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为. （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则， 因为， 且， 所以， 即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 3．（25-26高一上·山东日照·月考）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局， 或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 4．（25-26高一上·江苏南京·月考）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． (1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； (2)将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）第一组工人中工作时间小于的有5人，占第一组人数的， 所以从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人， 估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率为； （2）将工作时间段分别记为第一、二、三层，从第一组工人中抽取1人， 该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作； 从第二组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作； 这两人完成生产任务的工作时间不在同一层，记作； 由题意得，， 所以， ，， ，， 所以. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 事件的相互独立性 知识点一 相互独立事件的判断 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（    ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 4．（24-25高一下·重庆·期中）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点二 相互独立事件的概率计算 1．（24-25高一下·河北沧州·月考）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.357 D．0.275 2．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津河西·期末）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 知识点一 相互独立事件与互斥事件辨析 1．（24-25高一下·贵州安顺·期末）若，，则关于事件A与B的关系正确的是（    ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 2．（25-26高二上·广东中山·月考）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 4．（24-25高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 知识点二 电路问题中的独立性 1．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期末）如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东江门·期中）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川德阳·月考）如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 知识点一 相互独立事件综合应用 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 2．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 3．（25-26高一上·山东日照·月考）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 4．（25-26高一上·江苏南京·月考）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． (1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； (2)将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $