10.2 事件的相互独立性分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2　事件的相互独立性 一、必备知识基础练 1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　) A. B. C. D. 2.(多选题)下列事件A,B不是相互独立事件的是(　　) A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上” B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸两次,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数” D.A=“人能活到60岁”,B=“人能活到80岁” 3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为(　　) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b) 4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　) A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立 5.(2025上海静安高二检测)分别是事件A,B的对立事件,如果A,B两个事件独立,那么以下四个概率等式一定成立的是　　　　　.(填写所有成立的等式序号)  ①P(A∪B)=P(A)+P(B) ②P(∩B)=P()P(B) ③P()=[1-P(A)][1-P(B)] ④P()=P()+P() 6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　　,问题得到解决的概率为　　　　　.  7.甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.试求甲学校获得冠军的概率. 二、关键能力提升练 8.(多选题)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有(　　) A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数” B.袋中有5个白球、5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球” C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4” D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面” 9.(多选题)已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=,P(B)=,则(　　) A.若P(B)=,则事件与B相互独立 B.若A与B相互独立,则P(A∪B)= C.若A与B互斥,则P(A∪B)= D.若B发生时A一定发生,则P(AB)= 10.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,那么P(B)=　　　　, P(B)=　　　　.  11.(2025河南平顶山高二检测)如图,用A,B,C三个不同的元件连接成一个系统N.当元件C正常工作且元件A,B至少有一个正常工作时,系统N正常工作.已知元件A,B,C正常工作的概率依次为0.8,0.7,0.9,则系统N能正常工作的概率为　　　　　.  12.某校举行围棋比赛,甲、乙、丙三人通过初赛,进入决赛.决赛比赛规则如下:首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛,丙轮空;第一局比赛结束后,胜利者和丙进行比赛,失败者轮空,以此类推,每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛,直到一人累计获胜三局,则此人获得比赛胜利,比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为,且每局比赛相互独立. (1)求丙每局都获胜的概率; (2)求甲获得比赛胜利的概率. 答案 1.B　解析 两个零件中恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为×(1-)+(1-)×,故选B. 2.BCD　解析 对于A选项,A,B两个事件发生,没有关系,故是相互独立事件;对于B选项,A事件发生时,影响到B事件,故不是相互独立事件;对于C选项,由于投掷的是一枚骰子,A,B是对立事件,所以不是相互独立事件;对于D选项,能活到60岁的,可能也能活到80岁,故A,B不是相互独立事件.故选BCD. 3.C　解析 设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,则正品率为P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b). 4.A　解析 由于是有放回地摸球,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥. 5.②③　①P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故①不一定成立; ②③由事件的独立性定义可得与B,相互独立, 所以P(∩B)=P()P(B),P()=P()∩P()=[1-P(A)][1-P(B)],故②③正确; ④P()=P()+P()-P(),故④不一定成立. 6.　解析 甲、乙两人都未能解决的概率为=. 问题得到解决就是至少有1人能解决问题, ∴P=1-. 7.解 设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为 P=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6. 8.CD　解析 在A中,M,N是互斥事件,不是相互独立事件;在B中,M,N不是相互独立事件;在C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件. 9.AB　解析 对于A,由P(A)=,P(B)=,得P()=1-P(A)=1-, 显然P()P(B)==P(B),因此事件与B相互独立,A正确; 对于B,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=, 因此P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,B正确; 对于C,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=,C错误; 对于D,若B发生时A一定发生,则B⊆A,P(AB)=P(B)=,D错误. 故选AB. 10.　解析 ∵P(AB)=P(AB)P()=P()=, ∴P()=,即P(C)=. 又P(C)=P()P(C)=,∴P()=,P(B)=. 又P(AB)=,则P(A)=, ∴P(B)=P()P(B)=×. 11.0.846　系统N能正常工作,则A,B至少有1个能正常工作且C能正常工作,所以系统N能正常工作的概率为(0.8×0.3+0.2×0.7+0.8×0.7)×0.9=0.846. 12.解 (1)丙每局都获胜有以下两种情况:第一局甲获胜,后三局丙获胜;第一局乙获胜,后三局丙获胜. 第一局甲获胜,后三局丙获胜的概率P1=; 第一局乙获胜,后三局丙获胜的概率P2=,丙每局都获胜的概率P=P1+P2=. (2)设甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,丙获胜为事件C, 比赛进行三局,甲获胜的概率为. 比赛进行五局,有以下6种情况:AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,BCAAA, 甲获胜的概率为×6=. 比赛进行七局,有以下8种情况: AABCCBA,ACBBCAA,ACBACBA,ACCABBA,BBACCAA,BCAACBA,BCABCAA,BCCBAAA. 甲获胜的概率为×8=. 故甲获得比赛胜利的概率为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $