10.2 事件的相互独立性分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2　事件的相互独立性 一、必备知识基础练 1.(探究点二)甲、乙两人练习射击,甲击中目标的概率为0.9,乙击中目标的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则他们都击中的概率是(　　) A.0.3 B.0.63 C.0.7 D.0.9 2.(探究点二)一个学生通过一种英语能力测试的概率是,他连续测试两次,这两次测试互不影响,那么其中恰有一次通过的概率是(　　) A. B. C. D. 3.(探究点三)某社区开展“军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　) A. B. C. D. 4.(探究点三)甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛,若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为,且三人是否获得一等奖相互独立,则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为(　　) A. B. C. D. 5.(探究点二)事件分别是事件A,B的对立事件,如果事件A,B相互独立,那么以下四个式子一定成立的是　　　　　　.(填写所有成立的式子序号)  ①P(A∪B)=P(A)+P(B) ②P(B)=P()P(B) ③P()=[1-P(A)][1-P(B)] ④P()=P()+P() 6.(探究点三)有一道数学难题,在半小时内,甲能独立解决的概率是,乙能独立解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未能解决的概率为　　　　,问题得到解决的概率为　　　　.  7.(探究点一·苏教版教材例题)一只不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球. (1)“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B. (2)“从口袋内无放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内无放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B. 试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件. 二、关键能力提升练 8.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是(　　) A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为 C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为 D.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为p+q-2pq 9.如图,用A,B,C三个不同的元件连接成一个系统N.当元件C正常工作且元件A,B至少有一个正常工作时,系统N正常工作.已知元件A,B,C正常工作的概率依次为0.8,0.7,0.9,A,B,C是否正常工作互不影响,则系统N能正常工作的概率为　　　　.  10.事件A,B,C相互独立,若P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　,P(B)=　　　. 11.(2025福建厦门高一期末)若事件A和B相互独立,P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(A∪)=　　　　　.  12.甲、乙2人进行定点投篮游戏,在1次投篮中投进的概率分别为0.7,0.6,且各次投篮是否投进相互独立,各人投篮是否投进相互独立,每人各投篮1次为“一轮游戏”. (1)在一轮游戏中,求2人共投进1球的概率; (2)在两轮游戏中,求2人共投进1球的概率. 三、学科素养创新练 13.(2025江苏镇江高一期末)甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动,每轮活动由甲、乙各猜一个谜题,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也相互不影响,该小队共参加了两轮活动. (1)求小队猜对3个谜题的概率; (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率. 参考答案 1.B　设甲击中为事件A,乙击中为事件B,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.9×0.7=0.63. 故选B. 2.C　由题意知,恰有一次通过的概率为×1-+1-×. 3.C　由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C. 4.D　设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是P(A)=,P(B)=,P(C)=, 则不获一等奖的概率分别是P()=1-,P()=1-,P()=1-, 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=,这三人都获得一等奖的概率为P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)=, 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率P=. 故选D. 5.②③　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故①不一定成立; 由事件的相互独立的定义可得与B,相互独立,所以P(B)=P()P(B),P()=P()P()=[1-P(A)]·[1-P(B)],故②③正确; P()=P()+P()-P(),故④不一定成立. 6.　甲、乙两人都未能解决的概率为1-×1-=. 问题得到解决就是至少有1人能解决问题, ∴P=1-. 7.解(方法1)(1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},A={(1,1),(1,2),(1,3)},B={(1,2),(2,2),(3,2)}. 若A发生,则B发生的概率为; 若A不发生,则B发生的概率为. 可见,事件A发生与否不影响事件B发生的概率,因此,A,B相互独立. (2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}. 若A发生,则B发生的概率为; 若A不发生,则B发生的概率为. 可见,事件A发生与否影响事件B发生的概率,因此,A,B不相互独立. (方法2)(1)P(A)=,P(B)=. 又因为AB={(1,2)},所以P(AB)=,从而P(AB)=P(A)P(B). 因此,A,B为相互独立事件. (2)因为P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)≠P(A)P(B). 因此,A,B不是相互独立事件. 8.ACD　对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为(1-)2×,故A正确.对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能单独破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B错误.对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确.对于D,恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.故D选项正确. 9.0.846　系统N能正常工作,则A,B至少有1个能正常工作且C能正常工作,所以系统N能正常工作的概率为(0.8×0.3+0.2×0.7+0.8×0.7)×0.9=0.846. 10.　∵P(AB)=P(AB)P()=P()=, ∴P()=,即P(C)=. 又P(C)=P()P(C)=, ∴P()=,P(B)=. 又P(AB)=,则P(A)=, ∴P(B)=P()P(B)=. 11.0.58　因为事件A与B相互独立,所以事件A与事件相互独立,故P(A)=P(A)·P()=0.3×0.4=0.12,所以P(A∪)=P(A)+P()-P(A)=0.3+0.4-0.12=0.58. 12.解(1)记一次投篮中“甲投进”为事件A,“乙投进”为事件B,“在一轮游戏中,2人共投进1球”为事件C, 则C=AB,且A与B相互独立,AB互斥, 又P(A)=0.7,P(B)=0.6,所以P(C)=P(A)+P(B)=0.7×0.4+0.3×0.6=0.46,所以在一轮游戏中,2人共投进1球的概率为0.46. (2)记“在两轮游戏中,2人共投进1球”为事件D,则D=CC,CC互斥, 所以P(D)=P(C)+P(C)=0.46×0.3×0.4+0.3×0.4×0.46=0.055 2+0.055 2=0.110 4, 所以,在两轮游戏中,2人共投进1球的概率为0.110 4. 13.解(1)小队猜对3个谜题共有2种情况,①甲队猜对2个,乙队猜对1个;②甲队猜对1个,乙队猜对2个,所以小队猜对3个谜题的概率为×(1-)×2+2××(1-)×. (2)甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有: ①甲猜对1个,乙猜对0个;②甲猜对2个,乙猜对1个;③甲猜对2个,乙猜对0个; 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为2××(1-)××2××(1-)+. 8 学科网（北京）股份有限公司 $