海南省华中师大陵水顺湖中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学

华中师大陵水顺湖中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 命题人：谭星斌 审题人：马振彪 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．给出下列四个命题：①若，则；②，则；③若，则.其中正确的命题有 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【难度】0.94 【解析】利用零向量，向量平行，向量的定义可直接判定. 【详解】对于①，忽略了0与的区别，，故①错误； 对于②，混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误； 对于③，两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等，故③错误. 故选:D 【点睛】本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题. 2．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【答案】A 【难度】0.94 【分析】根据棱柱的定义分析判断即可. 【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A. 3．若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】按照复数运算律计算，再求复数的模. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 4．在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（    ） A．30° B． C．或 D．60°或120° 【答案】C 【难度】0.94 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为，，，由正弦定理得， 所以，所以或， 则或. 故选：C. 5．已知向量，，．若，则实数m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】根据向量的坐标运算法则以及共线定理，计算可得结果. 【详解】由题意可知，， 又，所以，即 得. 故选：C. 6．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（    ）    A．＋ B．＋ C． D．＋ 【答案】B 【难度】0.65 【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解. 【详解】分别为的边上的中线, 则, , 由于，，所以, 故解得 故选：B 7．已知复平面内复数对应向量，复数满足，是的共轭复数，则下列选项中错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C依题意知，，则，故A正确； 又，，，，即，故B正确； 设，由得，， 则 ， ，故C错误； ， ， 故D正确故选C． 8．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法错误的是(     ) A. 若，则 B.若为钝角三角形，则 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】B 【解析】解：在中 ，，， 由正弦定理得， ． 即， 选项A正确； ，为钝角三角形， 当为钝角时，， 由余弦定理得，， 得， 但是也有可能为钝角，则不成立， 选项B错误 ，，，， ． ， 故， 有两解． 选项C正确； ，，， 由余弦定理， 得当且仅当时取得等号， ， ． 故面积的最大值为． 选项D正确． 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．以下说法正确的是（    ） A．两个相等向量的模相等 B．平行向量方向相同 C．若和都是单位向量，则 D．平行向量一定是共线向量 【答案】AD 【难度】0.94 【分析】根据相等向量、平行向量、单位向量、共线向量的概念分析可得答案. 【详解】根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确； 根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确； 若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确； 平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确. 故选：AD. 10．下列命题为假命题的是（ ） A.以直角三角形的一边所在直线为轴，旋转一周所得几何体是圆锥； B.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱； C.有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； D.正四棱锥的侧面都是是等边三角形。 11.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若，则的模为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【难度】0.85 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD． 【详解】对A,由，可得，且，故A错误； 对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确； 对C,若，则的模为，故C错误； 对D,设,若，则， 则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中，则原平面图形的面积为___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】将斜二测直观图还原为原三角形，可知原三角形为直角三角形，确定两条直角边边长，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由斜二测直观图还原为原三角形如下图所示： 由图可知，为直角三角形，且，，， 故原平面图形的面积为. 故答案为：. 13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_____. 【答案】 【难度】0.94 【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模运算即可. 【详解】结合题意可得：， 设与的夹角为，则， 故在上的投影向量为. 故答案为：. 14．设是三角形的内角，若函数对一切实数都有，则的取值范围是___________. 【解析】【分析】 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，函数恒成立问题，二次函数性质等．考查了学生对函数思想的运用，三角函数基础知识的运用． 根据题意可知函数的图象开口向上，所以有，同时判别式小于，综合求得的范围，从而得到的取值范围． 【解析】  解：根据题意可知恒成立， 解得， 且是三角形的内角， ． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 15（13分）.计算以下各题： （1） 求（i为虚数单位）的虚部. （2） 设向量，若与平行，求实数的值. 答案：（1）【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】由复数的运算和复数的概念可得选项. 【详解】，，虚部为-5， 16（15分）.已知复平面内表示复数（）的点为. (1)若点在函数图像上，求实数的值； (2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由复数的几何意义求出点，再代入直线方程解出即可； （2）由向量的夹角为钝角时数量积小于零且除去共线反向的情况解出即可. 【详解】（1）因为点在函数图像上， 所以，解得. （2），， 因为与的夹角为钝角，所以， 所以， 即，即， 当两向量共线且反向时，设， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 17（15分）．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）由正弦定理和，，得到，求出； （2）在（1）基础上，得到，其中，由三角形面积公式得到方程，求出 【详解】（1），由正弦定理得， 又， 所以，即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又CD为的平分线，故， 其中，由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即， 解得. 18（17分）如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设． (1)若米，求cos的值； (2)试用θ表示AE、AF的长； （3）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值 【答案】(1)cosθ= (2) （3） 【分析】（1）在中，利用余弦定理计算可求得，可得的值； （3）利用正弦定理用表示出，再结合条件得到，根据三角函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意知为等腰直角三角形，且， 在中，由，，利用余弦定理可得： ， 即可得； 利用余弦定理的推论可得， 因此 （2）依题意可知，则； 在中由正弦定理， 可得； 在中，由正弦定理， 可得； （3）的面积为 ， 因为，所以，即， 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 故面积的最小值为． 19（17分）．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.4 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【详解】（1）依题意， ， ； （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $华中师大陵水顺湖中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 命题人：谭星斌 审题人：马振彪 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.给出下列四个命题：①若d=0,则a=0:②，→，，，则a=i:③若a1i,则，→， |a月b laHbl 其中正确的命题有 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.观察下面的几何体，哪些是棱柱？() ☑C▣日①工A (1) (2) (3) (4) (5) 6 A.(1)(3)(5) B.(1)(2)(3)(5) C.(1)(3)(5)(6) D.(3)(4)(6)(7) 3.若2=1-i,则2+1=（) A.3 B.√5 c.万 D.0 4.在VABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,若a=25,b=6,A=30°，则C= () A.30° B.60 C.30°或90 D.60°或120 5.已知向量0A=(2,-5),0B=(6,-3),0C=(m,m+1).若AB∥0C,则实数m的值为 () A.2 B司 C.-2 D青 6.已知AD,BE分别为VABC的边BC,AC上的中线，设AD=a,BE=b,则BC=() 试卷第1页，共4页 A. 4- 2 B. c.号a8 D. 7.已知复平面内复数z1对应向量0Z=(1,-√3)，复数z2满足z2=2,z1是z1的共轭复数， 则下列选项中错误的是() A.=0Z B.z7=亿2 C.经1=4 D.z1z2l=.4 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列说法错误的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2<c2 C.若A=30,b=4,'a=3,则△ABC有两解 D.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为V3 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.以下说法正确的是() A.两个相等向量的模相等 B.平行向量方向相同 C.若ā和6都是单位向量，则a=iD.平行向量一定是共线向量 10.下列命题为假命题的是() A以直角三角形的一边所在直线为轴，旋转一周所得几何体是圆锥： B有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻四边形的公共边都互相平行的多 面体是棱柱： C有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台： D.正四棱锥的侧面都是是等边三角形。 11.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确的是() A.若=1，则z=±1或z=±iB.若点Z的坐标为(~1,1)，则z对应的点在第三象限 C.若z=√5-2i,则z的模为7 D.若1≤≤√2，则点Z的集合所构成的图形的面积为元 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的 等腰三角形，其中OA=OB=1,则原平面图形的面积为 13.已知向量ā=(3,0)，6=(1，-2)，则ā在6上的投影向量的坐标是 14.设0是三角形的内角，若函数f(±)=2ccs9-4红sin9+6对一切实数x都有fx)>0,则 日的取值范围是 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。 15(13分)计算以下各题： (1)求z--+8(1为虚数单位)的虚部 i+1 (2)设向量d-8方-8C心，若k.方与d+36平行，求实数k的值。 (3)已知向量a=(-1.3),向量b=(1.2),求a与b夹角的大小 16(15分)已知复平面内表示复数z=(2m-1)+(m+1)i(m∈R)的点为Z (1)若点Z在函数y=2x-6图像上，求实数m的值： (2)若0为坐标原点，点A(2,-1),且OZ与OA的夹角为钝角，求实数m的取值范围 试卷第3页，共4页 17(15分).在VABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C.已知2a-b=2 ccos B (1)求角C: (2)若b=4,点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2√，求边长a的值， 18(17分)如图，某小区有一块空地VABC,其中AB=AC=50米， ∠B4C=,小区物业拟在中同挖-一个小池塘△AEF,E,F在边sC 上(E,F不与B,C重合，且E在B,F之间)，∠EAF=不.设∠EAB=日 4 (1)若BE=10√2米，求cos0的值： (2)试用0表示AE、AF的长； (3)为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小.问：当0为 多大时△AEF的面积最小？并求出△AEF面积的最小值。 19(17分)，如图，在直角梯形OABC中，OA/CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上 靠近A的三等分点，OM交AC于N,D为线段BC上的一个动点. B (1)用OA和0C表示OM: O球MN ON (3)设OB=1CA+uOD,求1：μ的取值范围. 试卷第4页，共4页