精品解析：海南省省直辖县级行政单位陵水黎族自治县陵水高中2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年海南高一年级阶段性教学检测（三） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：必修第一册第五章、必修第二册第六章、第七章. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组角终边相同的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 0或3 4. 在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）. A. . B. . C. . D. . 6. 在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 60°或120° 7. （ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于向量，，的论述，其中错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. D. 10. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部与虚部相等 B. C. 向量对应复数为 D. 若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 11. 已知函数，，，若函数是奇函数，则（ ） A. B. 若，则图象对称中心为 C. 若时取得最大值，则的最小值为6 D. 若方程在内有6个实数解，则实数的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则_____. 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_____. 14. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，且，，若对任意的实数，都有，则函数的解析式为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 平面直角坐标系中，已知点，，. （1）求向量的坐标； （2）若，求值； （3）若，求的值. 16. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）求函数距离原点最近的一条对称轴； （3）求函数的单调递减区间. 17. 已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. （1）求，； （2）设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 18. 如图，扇形面积为，且. （1）求. （2）若，且，求，的值. （3）在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 19. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求的最值； （3）若，方程有实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年海南高一年级阶段性教学检测（三） 数学 1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页. 2.考查范围：必修第一册第五章、必修第二册第六章、第七章. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量减法求解即得. 【详解】依题意得，，则，， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 2. 下列各组角终边相同的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角相差（或）的整数倍，逐项判断可得答案. 【详解】A.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项A错误. B.∵，， ∴与终边相同，选项B正确. C.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项C错误. D.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项D错误. 故选：B. 3. 复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由是纯虚数，得，所以. 故选：A 4. 在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用平行四边形特点结合向量的线性关系应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】因为是平行四边形，且， 所以， 因为，所以是中点， 则. 故选：B. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）. A. . B. . C. . D. . 【答案】D 【解析】 【分析】平移变换：函数向右平移个单位，需将原函数中的替换为，横坐标伸长变换：横坐标伸长到原来的2倍，相当于将替换为，函数表达式对比：通过变换后的函数与目标函数对比，建立方程求解和. 【详解】原函数向右平移个单位后， 得到：， 将横坐标伸长到原来的2倍，即替换为， 得， 根据题意，， 因此： (为整数）， 系数匹配：， 常数项匹配：， 代入，得：， 由于，当时，，满足条件， ， 故选：. 6. 在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为，，，由正弦定理得， 所以，所以或， 则或. 故选：C. 7. （ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简即得. 【详解】. 故选：D 8. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，设，求出，求出和，求出、、和即可求解. 【详解】因为，为锐角，， 所以，设， 因为，所以， 因为， 所以，所以或， 因为为锐角，所以， 所以，根据同角关系式可得，，，， . 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于向量，，的论述，其中错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，存在垂直的情况；对B，可能为0；对C，根据的特殊性即可判断；对D，根据向量数量积的运算律即可判断判断. 【详解】对于选项A，结论少了（且都是非零向量）的情形，故是假命题； 对于选项B，若，则或，故是假命题； 对于选项C，结论，故是真命题； 对于选项D，为与共线的向量，而是与共线的向量，两者一般情况下不等，故D错误. 故选：ABD. 10. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部与虚部相等 B. C. 向量对应的复数为 D. 若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数对应点计算判定C，D，根据复数运算及模长计算可判断选项A，B. 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 11. 已知函数，，，若函数是奇函数，则（ ） A. B. 若，则图象的对称中心为 C. 若时取得最大值，则的最小值为6 D. 若方程在内有6个实数解，则实数的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定性质求得，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】由，得，图象的对称中心为， 由函数是奇函数，得是图象的对称中心，则， 存在，，而，则， 函数， 对于A，，A正确； 对于B，当时，图象对称中心为，B错误； 对于C，当时取得最大值，则， 解得，因此的最小值为6，C正确； 对于D，由在内有6个实数解，得在内有6个实数解， 当时，，则，解得，D错误. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 若复数满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的四则运算即可得到答案. 【详解】由题意知，则. 故答案为：. 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模运算即可. 【详解】结合题意可得：， 设与的夹角为，则， 故在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，且，，若对任意的实数，都有，则函数的解析式为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象分别求出最值及周期得出，再应用特殊点代入求出即可得出解析式. 【详解】因为函数对任意的实数，，都有，所以， ，所以周期为，所以， 因为，所以函数过，所以，， 所以， 所以函数. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知点得出向量坐标； （2）根据向量平行坐标表示计算求参； （3）根据向量垂直坐标表示计算求参； 【小问1详解】 因为点，，，所以向量； 【小问2详解】 若，且， 所以，所以； 【小问3详解】 若，且， 所以，所以； 16. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）求函数距离原点最近的一条对称轴； （3）求函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据以及的范围即可求得； （2）令，再求的最小值即可； （3）令即可求得. 【小问1详解】 由题意可得，， 因，则，则，得. 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 则当时，有最小值，最小值为， 故函数距离原点最近的一条对称轴为. 【小问3详解】 令，则， 则函数的单调递减区间为. 17. 已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. （1）求，； （2）设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设，，根据题意列出方程组，求解即可； （2）找出复数在复平面内对应的点，再将其绕着原点逆时针旋转得到新的点的坐标，即可求出复数.. 【小问1详解】 设，，， 则， 则，得或， 因的虚部比的虚部大，则， 则， 【小问2详解】 ， 则复数在复平面内对应点为， 将点绕着原点逆时针旋转，得， 则将复数逆时针旋转得到复数. 18. 如图，扇形面积为，且. （1）求 （2）若，且，求，的值. （3）在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 【答案】（1） （2）， （3）存在，，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）利用扇形的面积公式即可； （2）利用向量的线性运算将化简为，即可列方程组求解； （3）以为原点建系，设，再通过关系式得出与的关系式，利用即可求得的值，再结合的范围即可. 【小问1详解】 由题意可得，，则. 【小问2详解】 因，则，则， 因，则， 解得，. 【小问3详解】 设存在， 以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则由，可得，即 则， 即，得或， 因，则，则，则， 故存在，使得. 19. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求的最值； （3）若，方程有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的性质解不等式可得结果. （2）令，原函数解析式可化为，结合的范围可得结果. （3）通过分离参数可得，分析函数单调性结合自变量的取值可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由得，，故， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，. 令，则， ∴，故， ∴原函数可化为，二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，，当时，， ∴的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 设函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，且满足. 令，对任意的，且， 则， ∵在区间上为增函数，在区间上为减函数， ∴，故，即， ∴在上为增函数. 由得，整理得， ∵，∴，故， ∴函数在上单调递减，且. 由得，. ∵函数在上单调递增，且，函数在上单调递增， ∴函数在上单调递增，且， ∴函数在上单调递增， ∵时，，时，， ∴，故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$